光纤传输理论

第三章光纤传输理论研究光纤中光能量的传输形式和场分布。常有两种分析方法：光线理论和波动理论。光波如何进入光波导？（模式的激励）光波在光波导中如何传播？(模式分布)光波导的基本特征参数？主要问题：参考文献：[1]廖延彪.光纤光学，清华大学出版社，2000，3[2]刘德明，向清，黄德修.光纤光学，国防工业出版社，1999[3]马军山.光纤通信技术，人民邮电出版社，2004学习方法：了解光纤传输理论的推导过程。掌握其基本概念及重要结论。3.1光纤的基本结构回顾RefractiveIndex(n)Diameter(r)CladdingPrimarycoating

(e.g.,softplastic)

Core1.4801.460SiO2Glass140

m100

m多模光纤的纤芯直径2a为50~62.5μm，包层外直径2b为125μm，单模光纤的2a为8.3μm，2b为125μm。几何光学方法更简单直观，但用波动理论可以对光纤的传输特性和传输原理有更精确的分析光线理论（几何光学方法）把光看作射线，并引用几何光学中反射与折射原理解释光在光纤中传播的物理现象；波动理论（波动光学方法）把光波当作电磁波，把光纤看作光波导，用电磁场分布的模式来解释光在光纤中的传播现象。3.2光纤的光线理论

几何光学方法波动光学方法适用条件l<<2al~2a研究对象光线模式基本方程射线方程波导场方程研究方法折射/反射定理边值问题主要特点约束光线模式波动理论和射线理论之比较3.2.1传输条件光的全内反射现象？数值孔径的物理意义？光的反射与折射光的全反射现象光的反射和全反射现象阶跃光纤中光线的传播在光纤中存在两类光纤：子午光线和偏斜光线。子午光线是指在子午平面（与纤轴相交的且与纤壁垂直的所有平面）上传播的光线。偏斜光线则是与纤轴既不相交也不平行的光线。3.2.2子午光线的传播限制在子午平面内传播的锯齿形折线。光在阶跃光纤中的临界传播轨迹n0/n1界面，Snell定律：n1/n2界面，发生全反射时，Snell定律：光学参数数值孔径折射率差

NA表示光纤接收和传输光的能力。NA（或

）越大，表示光纤接收光的能力越强，光源与光纤之间的耦合效率越高。NA越大，纤芯对入射光能量的束缚越强，光纤抗弯曲特性越好。NA太大时，则进入光纤中的光线越多，将会产生更大的模色散，因而限制了信息传输容量，所以必须适当选择NA。单模光纤的NA在0.12附近，多模光纤的NA约为0.21。

数值孔径(NumericalAperture,NA)

长度L的光纤中，总光路S′和总反射次数

′分别为：单位长度内的总光路和全反射次数的表达式：光线在光纤中传播的光路长度只取决于入射角和相对折射率，而与光纤直径无关；全反射次数则与纤芯直径成反比。3.2.3偏斜光线的传播光纤中斜光线传输满足的条件：斜光线的全反射条件为：单位长度光纤中斜光线的总光路和全反射次数为：斜光线的数值孔径：斜光线的数值孔径比子午光线的要大，其具有较大的入射孔径角，对入射光线所允许的最大可接收角要比子午光线入射得大。分析：斜光线绕光纤轴线成螺旋形传播。斜光线是三维空间光线，而子午光线只在二维平面内传播。补充：光纤的弯曲光线弯曲时的孔径角：单位长度内全反射的次数：单位长度内的总光路：光纤端面的倾斜效应为端面的倾斜角，和′是端面倾斜时光线的入射角和折射角。当折射率不变时，倾斜角越大，接收角就越小。当光纤入射端面倾斜后，要接收入射角为的光线，其值大于正常端面的孔径角。反之，若光线入射方向和倾斜端面的法线方向分别在光纤中心轴的两侧，接收光的范围增大。3.2.4变折射率光纤的光线理论程函方程/光线方程：见光纤光学（刘德明，向清，黄德修）P9面若媒介是各向同性而又均匀，有轨迹为直线。变折射率光纤，折射率分布的一般形式：径向分量：轴向分量：圆周分量：光线方程求解光线方程的过程：光纤入射端处折射光线波矢量K的圆柱分量:不变变化自聚焦透镜的折射率服从平方率分布规律：光线路径在z方向的周期为P，与光线的初始位置r0及轴向角有关，不同角度的子午光线并不能会聚于一点。但对于近轴光线，有则平方率分布光纤对于近轴光线具有相当好的会聚效果。由一点发出的各角度光线经过一周期长度P的传播后会聚于一点。称这种平方率光纤为自聚焦透镜。

2n1n3.3光纤的波动理论光线理论分析法虽然可简单直观地得到光线在光纤中传输的物理图像，但由于忽略了光的波动性质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布以及其他许多特性。尤其是对单模光纤，由于芯径尺寸小，光线理论就不能正确处理单模光纤的问题。在光波导理论中，更普遍地采用波动光学的方法，即把光作为电磁波来处理，研究电磁波在光纤中的传输规律，得到光纤中的传播模式、场结构、传输常数及裁止条件。分析思路1、光纤介质的特性响应的局部性各向同性线性均匀无损(1)响应的局部性。在介质中，介质对所加电场的响应是局部的，即介质在某处的极化P只与该处所加电场E有关，而其他部分所加的电场E对P没有影响，这一特性对工作在0.5～2μm波长的光纤是一个很好的近似。

(2)各向同性与各向异性（双折射）。各向同性介质是指材料的电磁特性（如折射率、偏振、传播常数等）在所有的方向都是一样的，且其电场矢量E、极化矢量P取向相同的介质。SiO2材料的圆柱形光纤都是各向同性介质。如果光纤的圆柱特性被破坏，如不对称，则不是各向同性介质。如果材料的折射率在任意两个方向上不同，如X、Y方向，则称为双折射。由于光纤沿长度方向很难保证圆柱对称性，因而它是双折射材料。(3)线性与非线性特性。当介质所加的电场E较弱时，其电极化强度P与电场E近似成线性关系。电极化P与所加电场E之间的线性关系只有在光纤中信号的功率和所传比特率适中的情况下才保持正确，当光功率增加到一定的阈值时，系统的非线性会影响系统的性能。

(4)均匀性与不均匀性。如介质在其所有点上的电磁特性都相同,则介质称为均匀介质。光纤不是均匀介质，因为纤芯的折射率与包层的折射率不相等。然而对于阶跃光纤,在其纤芯域和包层域分别是均匀介质。梯度光纤在纤芯域不是均匀介质。(5)无损耗特性。尽管光纤不是无损耗介质，但其损耗值较小，可以忽略不计，因此在讨论传播模时可以假设损耗为零。玻璃光纤中传导电流J=0，电导率σ=0；无自由电荷ρ=0，所以光纤中麦克斯韦方程组微分形式为：电位移矢量D与电场强度E：磁感应矢量B与磁场强度H：2、光纤中麦克斯韦方程组ε介电系数µ导磁系数同性介质高斯定理：对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分。在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限

为矢量场A在该点的散度。在连续可微的矢量场A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径L积分，△S=△S是L围成的面积元矢量,并且约定：面积元△S的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则。当△S缩小成某点P（x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限

为矢量场A的旋度。斯托克斯定理：对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分。

分离变量电矢量与磁矢量分离:

可得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；时、空坐标分离:

亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；空间坐标纵、横分离：波导场方程，是关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。电矢量与磁矢量分离：波动方程时空坐标分离：亥姆霍兹方程边界条件：光纤纤壁处电磁场满足边界条件：E与H的切向分量以及D与B的法向分量均连续。对折射率均匀分布的光纤：1、只是说明是x,y变量的函数，但在x,y,z方向上都有可能存在分量。2、的正负决定了解的性质：振荡解还是衰减解。3圆柱坐标系下正规光波导的波动方程圆柱坐标系下用纵向场表示横向场光纤中场的纵向分量：贝塞尔函数4阶跃折射率光纤中的场解数学模型圆柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析数学模型数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。由电磁场的特性（电磁分离、时空分离、纵横坐标分离），采用分离变量法表示电场光纤圆波导中电磁波在时间上正弦振动，并沿z轴传播。光纤圆波导中电磁波在φ方向具有2π的周期，

波导场方程：

波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程。当给定波导的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”。模式的基本特征每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波；每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件；模式具有确定的相速群速和横场分布。模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。数学表达式：物理意义：光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸）相互正交，模式独立载运光能量，光波场总功率等于各个模式携带功率的迭加；光波导实际场分布可以表示为各个模式本征函数的迭加。模式正交归一性模式命名根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否，可将模式命名为：

(1)横电磁模(TEM)：Ez＝0，Hz＝0；

(2)横电模(TE)： Ez＝0，Hz≠0；

(3)横磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；

(4)混杂模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。第一类贝塞尔函数曲线第二类贝塞尔函数曲线当r趋向0时，纤芯处的解为有限值。当r趋向无穷时，包层处的解为零。由波导场方程求取Ez；场解的选取依据：导模场分布特点：在空间各点均为有限值；在芯区为振荡形式，而在包层则为衰减形式；导模场在无限远处趋于零。贝塞尔函数形式：Jn呈振荡形式，Kn则为衰减形式。本征解选取：在纤芯中选取贝赛尔函数Jn，在包层中选取变态汉克尔函数Kn。求解方程有电磁场解的轴向分量形式：由波导场方程求取Ez；光纤中电磁场的纵向分量和在纤芯内沿径向场量用第一类贝塞尔函数描述，场量在径向呈驻波分布；包层内沿径向场量用第二类贝塞尔函数来描述，随r的增加呈指数迅速衰减。在圆周方向，场量按规律变化，呈驻波分布，m是贝塞尔函数的阶数；沿z轴方向呈行波状态，传播常数为解的分析：径向归一化相位常数U：径向归一化衰减常数W：归一化频率V：有效折射率neff： 归一化传播常数b：导波模：电磁场能量在纤芯中按简谐函数变化，在包层中按指数规律衰减的模式。辐射模：电磁波能量在向z轴方向传输的同时又在包层中形成径向的辐射。5、阶跃光纤中光波的模式方程导波模存在条件：n2k0＜β＜n1k0场分布特点:

在rg1<r<rg2的区域内为传播场;在其它区域内为消逝场。因此导模被限制在rg1＜r＜rg2的园筒内向前传播。对于SIOF,rg2＝a,对于GIOF,rg2＜a;对于TE模或TM模(ι＝0,与子午光线对应),rg1＝0;对于EH模或HE模(与偏斜光线对应)，rg1＞0。辐射模存在条件：0<β<√n22k02－(ι2－1/4)／a2场分布特点:在r>rr1的所有区域均为传播场。这时,光能量直接地、不受阻挡地向包层中辐射并被损耗掉,光纤已经完全失去了波导约束模式功率的作用。很明显,辐射模,是一种不受约束的模式。泄漏模存在条件：√n22k02－(ι2－1/4)／a2<β<n2k0场分布特点:

在rι1＜r＜rι2的区域以及r＞rι3的区域均为传播场；在其它区域为消逝场。这时，原来限制在纤芯内传播的导模功率透过rι2＜r＜rι3的隧道泄漏到包层之中，故又称为“隧道模”。由于包层材料具有较大损耗，这就引起了传输损耗。边界条件：边界条件：光波导方程的导出以上四方程构成线性齐次方程组有解，必须当其系数矩阵的行列式为0，才能有唯一解。故有关于传播常数

的本征方程。又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时,对于不同的n值,可求得相应的β值。由于贝塞尔函数及其导数具有周期振荡性质,所以本征值方程可以有多个不同的解βmn

(m=0,1,2,3...n=1,2,3...),每一个βmn都对应于一个导模。本征值方程本征方程解（模式）的讨论：当m=0时，Ez=0的模式，称为TE0n模（横电模），Hz=0的模式，称为TM0n模（横磁模）。当m不等0时，所有模式均为混合模式EHmn或HEmn。

当m=0时，就可得到两个本征值方程：TE0n模TM0n模模式分类的物理意义偏振特性:

TE模与TM模是偏振方向相互正交的线偏振波；HE模与EH模则是椭圆偏振波,其中HE模偏振旋转方向与波行进方向一致(符合右手定则),EH模偏振旋转方向则与光波行进方向相反。场强关系: EH模电场占优势,而HE模磁场占优势;(Ez,Hz)<<(Et,Ht),模式近似为横场分布；相位关系: EH模的Hz分量超前于Ez90°,HE模的Hz分量落后于Ez90°。

补充：当

=k2时，模式截止，横电模和横磁模的截止条件为：第一个根为ua=2.405，对应的横电模和横磁模的截止条件。当m不等0时，当m=1时，得到混合模EH1n和HE1n模的截止条件为J1（ua）=0，其第一个根对应u=0，也就是说它所对应的模在任何条件下都不会截止，这个模为最低阶模，称为基模，HE11。uam=0m=16、线偏振模LinearlyPolarizedMode采用简单有效的近似方法分析光纤的模式。（弱导光纤）TE0n模TM0n模弱导条件：n1

n2n光线与纤轴的夹角小；芯区对光场的限制较弱；消逝场在包层中延伸较远。弱导光纤的特点：HEl+1,m模式与EHl-1,m色散曲线相近；场的横向分量线偏振，且远大于纵向分量；可以在直角坐标系中讨论问题可以得到简化的本征解与本征值方程。HE模在弱导近似下，由相同j和m表征的所有模式满足相同的本征值方程。（这些模式是简并的。这些简并模式称为线偏振模LP）线偏振模:弱导近似下得到的标量模，是矢量叠加而成的线性偏振模，矢量模的简并模式。线偏振模LP模的基本出发点是：不考虑EM,TM,EH,HE模的具体区别，仅仅注意它们的传输常数，并用LP模把所有弱导近似下传输常数相等的模式概括起来。LPlm模只有四个不为零的场分量,可以是Ey、Hx、Ez和Hz；也可以是与之正交的Ex、Hy、Ez和Hz。它们分别沿y方向和x方向偏振。LPlm模由HEl+1,m模式与EHl-1,m迭加构成。导波模截止是指电磁能量已不能集中在纤芯中传输而向包层弥散的临界状态。导波模远离截止是指归一化频率远大于归一化截止频率、能量几乎完全集中在纤芯中的模式状态。导波模截止和远离截止条件模式的截止与远离截止:临近截止:W=0,场在包层中不衰减远离截止:W→∞,场在包层中不存在截止与远离截止条件:

模式 临近截止 远离截止

TE0m(TM0m) J0(Uc)＝0 J1(U∞)＝0

HElm

Jl-2(Uc)＝0 Jl-1(U∞)＝0

EHlm

Jl(Uc)＝0 Jl+1(U∞)＝0*除了HE1m模式以外,U不能为零模式本征值:

Uc

<U<U∞数学条件阶跃光纤中的导模数目V模式导模总数0--2.4052.405--3.8323.832--5.1365.136--5.5205.520--6.380..LP01LP11LP02,LP21LP31LP12.22+4=66+6=1212+4=1616+4=20..近似估算V值光纤中允许存在的导模数目。LP模场分布图LP01模LP11模LP21模LPlm模沿径向的亮斑数为m，沿角向的亮斑数为2l。LP02模3.3.2单模光纤的模式理论光纤单模传输的条件及截止波长纤芯中功率流及模场直径单模光纤的偏振现象单模条件:单模光纤尺寸:单模光纤截止波长:单模光纤截止频率:仅当波长大于截止波长时方可在光纤中实现单模传输。这时，在光纤中传输的是HE11模，称为基模或主模。紧邻HE11模的高阶模是TE01、TM01模和HE21模，其截止值均为2.405。光纤单模工作条件2.405单模传输原理纤芯中功率流及模场直径导波电磁场的能量一部分由纤芯承载，另一部分由包层承载。远离截止条件的导模的能量大部分集中在纤芯内，而接近截止的模式能量更多在包层中传输。光功率流（轴向波印廷矢量）：经验公式：基模LP01场分布近似为高斯分布：LP01模的模场直径：2a2wE0/e经验公式：e=2.71828模场直径：基模场强在空间分布集中程度的一种度量，其大小对光纤连接及与其他光器件的耦合有重要意义。单模光纤的偏振现象一般轴对称单模光纤可同时传输两个线偏振正交模式。（沿x方向偏振的线偏振模和沿y方向偏振的线偏振模；也可分为沿左旋方向的圆偏振模和沿右旋方向的圆偏振模）。理想的均匀各向同性的直圆柱单模光纤的两个正交模式具有相同的传播常数，合成光场是一个方向不随时间变化的线偏振模。但实际光纤由于存在非轴对称和弯曲，两个模式不再具有相同的传播常数，两正交模式在传播过程中，发生模式耦合，导致基模的偏振态沿光纤长度方向变化，产生线偏振—椭圆偏振—圆偏振—椭圆偏振—线偏振周期变化。椭圆偏振的特征参量：EmaxEmin仰角ξ：椭圆度η：偏振度P：差拍长度Lb：η为正，电场向量沿偏振椭圆逆时针旋转，η为负，电场向量沿偏振椭圆顺时针旋转。η=0（P=1）代表圆偏振；η=1（P=0）代表线偏振；0<η<1（0<P<1）代表