2023届高考数学二轮复习试题专题11 极坐标与参数方程 （解析版）

专题11极坐标与参数方程

一、核心先导

二、考点再现

【考点1】极坐标方程的概念

（1）、极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点。，叫做极点，自极点。引一条射线Qt,叫做极轴;再选定一个长度单位,

一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面

直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平

面坐标系.

（2）、极坐标

设M是平面内一点,极点。与点M的距离|0M|叫做点M的极径,记为夕；以极轴Ox为始边,射线0M为终

边的角ZJCOM叫做点的极角，记为仇有序数对（0,，）叫做点M的极坐标,记作

一般地,不作特殊说明时，我们认为Q20,。可取任意实数.

特别地,当点、M在极点时,它的极坐标为（0,。）（8£R）.和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数

种表示.

如果规定夕＞0,042不，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（.8）表示；同时，极坐标

（",。）表示的点也是唯一确定的.

常见圆与直线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为一

p=r(0<0<2万)

的圆

圆心为（几0）,半径为°(^),x

p=27-cos0(——<0<—)

22

厂的圆

圆心为（一,£）,半径

2p=2/*sin0(0<^?<^)

为r的圆

OX

过极点，倾斜角为。(1)9=a(ps/?)或。=乃+。(/wR)

的直线(2)0=a(p>0)和0=几+a(p>0)

过点（4,0）,与极轴垂

pcos3=a(--<0<­)

直的直线030)?

IL

过点（〃,工），与极轴

2ps\n0=a(0<0<TT)

平行的直线O\X

【考点2］极坐标与直角坐标的互化

（1）、互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度

单位，如图所示:

（2）、互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是），），极坐标是（A^）（/?>0）,于是极

坐标与直角坐标的互化公式如表:

点M直角坐标（x,y）极坐标（p,e）

222

X=PCQS0u-y

互化公式<

y=psin6tan(7=—(x^O)

在一般情况下，由tan。确定角时,可根据点M所在的象限最小正舛.

【考点3】直角的参数方程

直线参数方程中/的几何意义的应用：

<+?sin/'为参数），表示直线上任意一点到定点产（飞，为）的距离.

直线参数方程为参数）（1为参数），椭圆方程C:二十[=1,相交于两点，直

[y=yo+/sm。crb-

线上定点P（x（），x））

将直线的参数方程带入椭圆方程，得到关于/的一元二次方程，则：

M+U他>0

⑴|阴二小寸="产2）2-4格1PAi+归却=闻+冏=

ki-^l秘2<()

|P41P目=|他|若"为A8的中点，则|PM|二悖J

【考点4】曲线的参数方程

1.圆的参数方程

如图所示，设圆。的半径为r,点”从初始位置M。出发，按逆时针方向在圆。上作匀速圆周运动,

设M（x,y）,则1As，（以参数）。

y=rsinO

这就是圆心在原点。，半径为r的圆的参数方程，其中。的几何意义是OM。转过的角度c

圆心为（a,b）,半径为r的圆的普通方程是（x-a）2+（y-b）2=r2,

它的参数方程为：产广小寅脑参数）。

[y=〃+rsin9

2.椭圆的参数方程

x2v2

以坐标原点。为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为r+gr=l（a>〃>0）,其参数方程为

a"lr

/=：COSq°为参数），其中参数。称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是

y=bsin（/）

£+[=1（4>/7>0）,其参数方程为1="85"（0为参数）,其中参数0仍为离心角，通常规定参数0的

cTb~[y=asin°

范围为夕£[0,2万）。

【名师提醒】：椭圆的参数方程中，参数。的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的

旋转角a区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2乃的范围内），在其他

任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有在其他象限为类似。

3.双曲线的参数方程（了解）

X2V2

以坐标原点。为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为=1（〃〉0力>0）,其参数方程为

a~b~

x=asec（p斗公蛇、,„_、口n3%

,,（夕为参数），其中夕£[0r,2万）且夕=一—.

y=btan（p22

22

焦点在y轴上的双曲线的标准方程是5-二=1（〃>0,。>（））,其参数方程为

alr

X=bCQ\.（p、，,.“.L

,（。为参数4V，其中。£（0,24）6且0工乃.

y=acsc（p

以上参数0都是双曲线上任意一点的离心角。

4.抛物线的参数方程

以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线y=2px（p>0）的参数方程为*=2〃1。为参数）.

三、考点解密

题型一:函数平移问题与极坐标、参数方程与直角坐标方程的互化

例1.（江西省2022-2023学年高三上学期11月阶段联考检测数学试题（理））在直角坐标系中，曲

线。：『+）?=i经过伸缩变换卜：3"后得至〔J曲线,以原点。为极点中轴的正半轴为极轴建立极坐标系，

直线/的极坐标方程为：psin夕+?=一2夜.

（1）写出曲线C2的参数方程和直线/的直角坐标方程；

⑵已知点尸为曲线上一动点，求点尸到直线/距离的最小值，并求出取最小值时点P的直角坐标.

，r-r-

【答案】⑴X=3COS«,为.参…数），x+V5y+4&=0

y=sina、

3731

⑵最小值2应-6,此时点。的坐标为「子,一]

【分析】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求

解，

（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解

fx=cosa.fy=3x

【详解】（1）由题意，曲线G的参数方程为.（。为参数），经过伸缩变换,,

[y=snia,[y=y

（=3cosct

"’（a为参数），

｛y=sina、

由psin（8+V）=-2应得：p（4sin0+gcos0=一2夜，

化为宜角坐标方.程为x+x/5y+4&=0

(2)设P(3cosa,sina),a£[0,2兀)，

点P到直线/的距:离为|3cosa+Gsina+4\/I|~"sin[a+3卜4。

a=--------------------------=------------------------

22

当sin（a+f]=7时，即°+乙=九，得a==时，

k37326

点P到直线/的距离d取到最小值2夜-百，

此时,

x，=2x

【变式训练1・1】、（2023•全国•高三专题练习）在直角坐标系xQy中，曲线。】：/+），2=1经过伸缩变换「

!>1=>'

后得到曲线。2,以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为:

X?sin（夕+?=-2\/2.

（1）写出曲线C2的参数方程和直线/的直角坐标方程；

⑵在曲线C?上求一点P，使点。到直线/的距离最小并求出最小值.

x=2cosa,

【答案】（1）（a为参数）；x+y+4=0：

y-sma,

Q）最小值吟画小竽/

【分析】（1）根据伸缩变换的公式，结合两角和的正弦公式、直角坐标方程与极坐标方程互化公式进行求

解,

（2）根据参数方程，利用点到直线距离公式，结合辅助角公式进行求解

（I）

x=cosa,（〃为参数），经过伸缩变换。Y，='JX后'曲线G的参教方程为

由题意，曲线G的参数方程为

y=sina,

*=28sa，（Q为参数）,

y=sina,

由psinR+；）=-2应得:sinO+'^cosO=-2V2,

化为直角出标方程为x+V+4=0,

Y=7mt

所以，曲线的参数方程为一二’（a为参数），直线，的直角坐标方程为x+y+4=0.

y=sincr,

(2)

设P(2cosa,sina),

12cosa+sina+4||75sin(a+e)+4]

点P到直线/的距离为人

V2

/甘t+i>2\/5y/5、

(央'I',sin9?=—,cos(p=—)»

当sin(a+9)=-l时，即a+0=2E-g,ZeZ时、点P到直线〃勺距离d取到最小值生巨二叵

22

71

此时，cosa-cos2kn----(p=-sin^>=-----,kEZ,

<2J5

sina=sinf-ssL*,kwZ,

所以，点”的坐标为

题型二:直线的参数方程的应用

例2.(2022•四川•宜宾市叙州区第二中学校模拟预测(理))在平面直角坐标X。)•中，曲线C的参数方程

2®

X~~,--2

为(f为参数，ztR),以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

26r

⑴求曲线C的普通方程和极坐标方程;

(2)在平面直角坐标文Qy中，若过点尸(-3,0)且倾斜角为丁的直线/与曲线C交于AB两点，求证:

O

|PA|,|48|,|P8|成等差数列.

【答案】(l)/+(y-G),=3,yw(0,2x/f|,p=2x/3sin<9(p^O)

(2)证明见解析

/T=厂+»

【分析】(I)利用消参法求曲线C的普通方程，并注意y的取值范围，再利用X=QCOS。未曲线。的极

y="sin0

坐标方程；(2)先求直线/的参数方程，根据直线参数方程的几何意义运算求解.

2囚

x=-——「

【详解】(1)由《J二得，=£,代入丁=竺整理得/+),2一26》=0,即/+()，-6丫=3,

2x/3)'1+r、/

y=--7

1+r

Vl+/2>1,则。<币/l,0<y<2^,

故曲线C的普通方程为=3,ye（0,26],

又•:夕？+y\y=psin。，则，一2>/Jpsine=0,

整理得夕=2石sin夕

曲线C的极坐标方程为夕=26311。（〃=0）

一3+乌

（2）由题意可得：直线/的参数方程为2C为参数），

尸5

代入％2+）尸一2G.y=0,整理得/_46+9=0，

△=48-36=12>0,。+5=9，

则|P41+1PB|=鼠+tB\=4万JAB\=\tA-tB\=J（U+5）2-4%B=273,

即|PA|十|PB|=2|/网，

・•・IPA|,II尸B|成等差数列

9

【变式训练2.1】、（2022•河南•一模（理））在直角坐标系xqy中，直线/的参数方程为〈L（，为

0t

x=sina+百cosa

参数），曲线C的参数方程为厂r（〃为参数）.

y=y/3sina73cosa

（I）求直线/与曲线C的普通方程，并说明C是什么曲线？

⑵女M,N是直线/与曲线C的公共点，点/>的坐标为（1,0）,求的值.

【答案】（1）见解析

⑵|则-|叫=±应

【分析】（1）消去参数即可得到宜.线/与曲线。的普通方程即可说明曲线C.

（2）将直线参数方程代入圆的普通方程即可得到乙与G，根据参数的几何意义讨论求得尸N|的值.

*+\

2

【详解】（1）由题意可得：直线/的参数方程为《消去参数J

>/2

得：y=x-i.

x=Vasina+V3cosflf

曲线C的参数方程为＜r.消去参数。

-73sina-\J3cosa

得：f+),2=6

曲线C表示以原点为圆心，以后为半径的圆.

x&i

(2)由(1)知：将直线的参数方程〈2代入./+),2=6

尸g

2

得：/+"-5=0

可知乙+4=-&，…4=巧，故：与I2异号.不妨设加=乙＜。,PN=t2＞0

易知同＞同，故归"|-|叫=小⑷＞。

|网-冲|=用一同=一6+0=&

同理PN=t、<0,PM=r2>0

易知同＞以，故|P"HPN|421一同V。

隰|一冲1=同制r+『-夜

综上：\PM\-\PN\=±>/2

题型三:圆或椭圆的参数方程的应用

x=2cosa

例3.(2022・青海•模拟预测(理))在平面直角坐标系工0)，中，曲线。的参数方程为〈(a为参

y=sina

数)，以坐标原点。为极点，工轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程是

夕cose+2>/5/7sin®+9=0.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

⑵若尸是曲线。上的动点，求点P到直线/距离的最大值，并求此时点尸的坐标.

【答案】⑴工+)3=1,K+2G)，+9=0

4

(2)713,

【分析】(1)结合8s?a+si112a=1消元即可得出曲线。的普通方程;由x=『8say=psin。即可得出直

线1的直角坐标方程；

（2）设点P（2cosa,sina）,结合点线距离公式，讨论最大值即可

X=2COS<Z22

【详解】⑴由〈.（。为参数），得二r+），2=1,故曲线。的普通方程为土r+,，2=1.

y=sina44

由°cos0+2G/?sin0+9=O,得工+2&），+9=0,故直线/的直角坐标方程为x+2x/5y+9=O.

（2）设点尸（2cosa,sina）,

则点P到直线I的距离,_|2ssa+2氐ina+9|_4sin（a+力+9.

-J1+12"历

/X

故当sina+g=1时，点P到直线/的距离取得最大值Ji5.

此时，点P的坐标为,¥）.

x=2+2应cosa,

【变式训练3・1】、（2022•四川•模报预测（理））在直角坐标系他y中，曲线C的参数方程为广

y=-2+2V2sina

（a为参数），以坐标原点。为极点，x轴的非负半箱为极轴建立极坐标系，点M的极坐标为（2,g）,直

Z\

线【的极坐标方程为apcose+J+1=0.

（1）求点M的直角坐标和直线/的直角坐标方程；

（2）若N为曲线C上的动点，求MN的中点P到直线/的距离的最小值及此时点P的极坐标.

【答案】⑴点M的直角坐标为（。，-2）,直线/的直角坐标方程为x-y+l=0；

⑵MN的中点P到宜线/的距离的最小值为近，此时点P的极坐标为［g）.

【分析1（1）利用极坐标与直角坐标互化公式进行求解；（2）先设N（2+2挺cosa,-2+2夜sina）,进而

表达出MN的中点P的坐标尸（l+&cosa,-2+VIsina）,用点到直线距禽和三角函数的有界性求出最小值

及点P的极坐标.

（1）

由x=2cos与=0,y=2sin^=-2,所以点M的直角坐标为（0,-2）,

&pcos（0+：）+l=0彳七简得：/cos。一夕sin0+l=0,gpx-y+1=0,

（2）

设N(2+2>/2cosa,-2+2\/2sina),则尸(l+&cosa,-2+4sina)

所以MN的中点。到直线/的距离

1+cosa+2->/2sina+12cos（a++4

gV2

当cos［a+：］=-l,即a=¥+2tar,AeZ时，t/niin=75,

I4J4

此时cosa=—孝,sina=亭，所以P（0,—l）,

由p=C77=l,0=q,可知P点的极坐标为

所以MN的中点P到直线/的距离的最小值为夜，此时点尸极坐标为］

题型四:极坐标方程的应用

例九（2022•全国・安阳市第二中学模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为

x=2+t,

a为参数），以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标

y=2①瓜

方程为2='+2&os。.

P

（1）求直线/的极坐标方程以及曲线C的参数方程;

1I

（2）若直线/与曲线C交于M,N两点，求由『+西的值•

【答案】⑴。43R），卜二石：2管。通为参数）

3y=2sin6

⑵5

【分析】（I）以直角坐标方程为桥梁分别求得极坐标方程和参数方程.

（2）将极坐标方程联立即可得到|。叫与|例可得扁？+加.

x=2+h

【详解】(1)由已知、消去参数f得,y-5/3A,

3=273+73/

将了=24!！。，X=/9COS。，代入上式化简整理得：

故直线/的极坐标方程为。（peR）

由p=q+2Gcose得：p2=l+275pcos^

所以一2G工+丁=1,故(x-S)+y2=4

x=百+2cos6

曲线C的参数方程为（（为参数）

y=2sin。

（2）将直线/的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：p2-V3p-i=0

解得：夕=6了,不妨设|OM|=G；五,\0N上行丁

1144

」10例『|ON『IO+2V2TIO-2V2T

【变式训练4-1】、（2022•四川资阳•一模（理））下图所示形如花瓣的曲线G称为四叶玫瑰线,并在极坐

标系中，其极坐标方程为夕=2COS26.

（1）若射线/：夕=g与G相交于异于极点。的点尸，G与极轴的交点为Q,求归。；

6

2兀

（2）若A,8为G上的两点，且乙的用二彳，求.AOB面积S的最大值.

【答案】⑴J5-2。

⑵毡

4

【分析】（1）根据已知得到P、。两点的极坐标，代入距离公式即可；

⑵设小幺,。）（0"«乃），川外,暮+夕），根据极坐标方程求出外、PB，将三角形面积表示为6的三

角函数，根据三角恒等变换求三角函数的最大值.

【详解】（1）将。=g代入方程7=2cos2，，

得，/=2cosg=l,则尸的极坐标为

又G与极轴的交点为。的极坐标为（2,0）.

则|PQ|=『+22-2x1x2x837=7^^.

⑵不妨设43，。）（0"为，小/彳+",

\/

=2cos(26+引

则PA=2cos20,PH

所以，的面积s=必闻singl=(•以闻

=—x4cos2^cosf20+—=x/3cos20---cos2^+—sin20

4I3J22

=-^^-cos22/7+—sin2/ycos2/?3

+COK4/?)+—sin4〃

22

=^2sin40-l-cos4,卜去

2sin4^---1

I6J

所以,当4崂点，即®点时，5皿=卒

所以，人。8面积S最大值为毡.

4

四、分层训练

A组基础巩固

1.（2007•全国•高考真题（理））设曲线C的方程是），=丁-犬，将C沿1轴、），轴正向分别平行移动八s

单位长度后得曲线G.

⑴写出曲线C1的方程；

（2）证明:曲线C与G关于点4仁，小对称；

\/乙）

（3）如果曲线。与C1有且仅有一个公共点，证明：$=匚-/且

4

【答案】⑴y=（XT），—（x—，）+s；

（2）证明见解析;

（3）证明见解析.

【分析】（1）根据图象平移有x变为1-人变为y-s代入曲线。即得G的方程；

（2）在曲线c上任取以为,凹），应用中点公式求对称点。（々，乃）之间横纵坐标的数量关系，代入曲线c即

可判断对称性，同理证C1上点的对称点在C上.

（3）将问题化为3a2-3小+（---5）=0有且仅有一个根，结合二次函数的性质即可记结论.

[A=0

【详解】（1）由题设，将。沿工轴、y轴正向分别平行移动/、$单位长度，

所以x变为xT,丁变为y一5,代入了=/一%得：y-5=（x-r）J-（x-r）,

所以y=（xT）'-（xT）+s.

（2）在曲线C上任取8（芭,y）,若。（孙必）是8关于的对称点，

所以y：）’2=5,可得％=1-.，y=s-M，

乙乙乙乙

3

代入曲线C得：5-y2=（r-A：2）-i/-A：2）,

3

整理得:y2=（x2-t）-（x2-t）+s,故。（马,为）在G上,

同理，可证G上任意•点关于八佶5]的对称点在曲线。

27

所以曲线c与G关于点人心怖]对称.

（3）由曲线C与G有且仅有•个公共点，

y=x3-x

所以〈，、3,、有且仅有一组解，

J=_（XT）+S

消去九整理得：3a2——$）=0有且仅有一个根，

若1=0,则s=0,两图象重合，不合题意；

所以LC4□小、八，可得”4,3、，故S=—T且C0.

A=9z-12/（/-/-5）=0[3/=4/（/--r-5）4

r

t=2cosCL

2.（2022•四川・间中中学高三阶段练习（文））在直角坐标系X。），中，曲线G的参数方程为‘一，（a

y=2+2sina

为参数），用足C1上的动点，尸点满足OP-2。3/点的软迹为曲线C2.

（1）求G的参数方程；

（2）在以。为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与G的异于极点的交点为A,与G的异

于极点的交点为9,求|A8|.

x=4cosa

【答案】（1）,（a为参数）.

y=4+4sina

(2)2^

【分析】（1）设P*,y）,可知弓），代入G的参数方程即可求得G的参数方程;

乙乙

（2）先求出C1和G的极坐标方程，再根据极径的几何含义即可求得|AB|.

(1)

设P（x,y）,由OP=20M可知加或4），

—=2cosa(,

2x=4cosa

•••有

2=2+2sina，则1产4一+4.涧a

2

x=4cosa

故G的参数方程为尸4+4sin/为参数).

（2）

曲线G的普通方程为：x2+（y-2）2=4,

由极坐标与直角坐标的互化公式得曲线C的极坐标方程为：2=4sin6,

同理，曲线G的极坐标方程为：。=8sin0,

射线。=g与C的交点A的极径为A=4sin?,

JJ

射线。与G的交点8的极径为d=8sin9，

JJ

所以|4即=|Q「R=2G.

3.（2021•陕西汉中•高二期末（理））在平面直角坐标系xQv中，曲线C1的方程为/+），2-4工=0,点、P为

曲线G上任意一点，记线段OP的中点Q的轨迹为曲线C?，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立

极坐标系.

⑴求曲线的极坐标方程；

（2）若点M,N分别是曲线G和G上的点，且OM1ON,证明：|OM『+4|ON|2为定值.

【答案】⑴P=2cos6；

（2）证明见解析.

【分析】（1）首先得到曲线a的极坐标方程，然后根据P,Q的位置关系可得答案；

⑵设〃（小4）小（自©）,然后可得月=4cosq,p^c",a=a土;，即可得答案.

（1）

曲线C1的方程为/+/_以=0,

x=pcos/?

根据（y=pcos夕可得曲线G的极坐标方程为夕=4cos火

，22

x~+y=p~

设尸则”=3夕，

所以曲线g的极坐标方程为p=2cos0,

⑵

设/（夕］，4）W（夕20），贝ijQ1-4co$q,p2-2COS6>2,

因为OM_LON,所以a二4±],

22222

所以|OM『+41ON|=p~+4居=16cos^+16cos%=16sin024-16cos2=16.

4.（2023・全国•高三专题练习）在平面直角坐标系xQy中，以坐标原点。为极点，1轴正半轴为极轴建立极

尸2+争

坐标系（取相同的单位长度），胜线G的极坐标方程为夕=4cos。，曲线G的参数方程为

y-2+冬

x'=x+2

为参数），曲线C?相交于A、H两点，曲线G经过伸缩变换,；后得到曲线G.

），二2），

（1）求曲线G的普通方程和线段AB的长度：

⑵没点尸是曲线G上的一个动点，求APAB的面积的最小值.

【答案】（1）（工一2）2+），2=4,|4目=2/

⑵4-6

【分析1（I）利川极坐标与直角坐标的互化公式可求出G的普通方程，求出G的普通方程，然后求出圆

心到直线的距离，再由圆心距，弦和半径的关系可求出A8的长度，

（2）由伸缩变换可求出曲线g的方程为£+），2=I,设点p（2cosgsine）,求出点尸到直线AB的距离，化

4

简后利用三角函数的性质可求出其最小值，从而可•求出，.八伤的面积的最小值

（1）

由p=4cos夕，得p?=4pcos0,又"=V+），2,x=0cos。，所以“-2）2+）尸=4.

’x=2怎

由2（r为参数），消去参数得x-y=4,

,=-2+A

/2

G的圆心为（2,0）,半径为2,则圆心到直线1-），=4的距离为

所以|=2,2?一（可=272.

（2）

X'=JC+22

曲线G经过伸缩变换［、二2〉，后得到曲线CI，则（x+2-2『+（2），『=4,即曲线G的方程为:+产=1,

-----cos。----sin。-4

设点P(2cos*,sin。)，则点尸到直线AB的距离为_|2cosp-sin8-4|、55,

46二~ir

卜万sin(a一夕)-4|_4->/5sin(a-^)(其中sina=^^,cosa=—),

V2拒55

故当sin(a-0)=1时，/U又得最小值，且4nm=±W，

7Z

因此，当点P到直线AB的距离最小时，一B4B的面积也最小,

所以的面积的最小值为邳Mmin=;x2五x±=^=4—6.

22V2

户+22

x=IV2

5.(2022,贵州贵阳•模拟预测(理))在直角坐标系x。'，中，曲线C的参数方程为l(r>0,

)'一

/为参数).以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为

pcos^-psin^-1=0.

(1)求C和/的直角坐标方程;

⑵已知直线/与x轴的交点为F,且曲线C与直线/交于A,B两点,求I必|・|尸臼的值.

【答案】⑴9=4X，x-y-1=0.

(2)8

【分析】(1)根据完全平方公式以及基本不等式，结合整体换元，利用极坐标等量公式，可得答案；

(2)利用直线的直角坐标系方程，求得点尸的坐标，根据直线参数方程代入抛物线方程，利用韦达定理,

可得答案.

2

【详解】⑴由曲线C的参数方程为，1JJ，则/=("一半]=2/2-8+尚=4([+>2卜4%，

二十2-222-2=0,当且仅当二=4,即，=&时，等号成立，

2r2v

故曲线。的直角坐标方程：丁=公，

咋x=5pcomsO且直线,的极坐标方程为吟——肛则曲线/的直角坐标方程…"=。.

(2)由直线/方程为％-y—1=。，则尸(i,o),

直线/的参数方程为厂2（7为参数），代入曲线C：）,2=以，

可得52一2万一4二0,

所以也=-8,由直线参数方程的意义可知|融H物/H「1=8，

所以|叩|尸6|=8.

=£、

6.（2022・四川•盐亭中学模拟预测（文））在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为尸2+'8‘。（［为

y=tsina

参数，0<a<7i）,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为乡9co啜s0.

sin~0

（1）求曲线C的直角坐标方程；

⑵没直线/与曲线。相交于4,3两点，若HH=8,求。的值.

【答案】⑴J=2x

,八、兀f57t

Q）丁或T

66

【分析】（I）根据极坐标和直角坐标之间的转化即可求解，

（2）根据直线的参数方程以及参数的几何意义即可求解弦长.

(1)

2cos0

由°=品万得psin2^=2cos^,

p'sin'O=2pcos<9,即y2=2x.

（2）

）/=2x的焦点为亶,0,直线侬过焦点，

将自线，的参数方程代入曲线C的方程得rsin2a-2rcosa-l=0,

设*%是方程的根，

2cosa\

则卡金衰

sin%

X|AB|=8,11-21=*2丫Y邛J==8,

sinex

.1＞1T7•1兀_p,57t

:sm~a=—,又0＜。＜兀，/.sina=—,「.a=一或一.

4266

x=3cos。

7.（2022•四川・盐亭中学模拟预测（理））已知在直角坐标系X。5•中，曲线C的参数方程为

为参数），直线/经过定点以2,1）,倾斜角为

6

（1）写出直线/的参数方程和曲线C的标准方程；

（2）设直线，与曲线C相交于A,8两点，求|川|冏的值.

x=2+S,,

【答案】（1）2（，为参数），土+二=1;

.194

【分析】（1）由直线的参数方程的标准形式和同角的平方关系，即可得到所求方程；

（2）将直线的参数方程代入椭圆的标准方程，可得关于，的一元二次方程，由韦达定理及参数的口何意义，即

可得到|期・|用的值.

(1)

解：因为直线/经过定点P（2,l）,倾斜角为

0

x=2+rcos-

所以直线/的参数方6

（，为参数），

y=1+zsi•n—兀

r6

（f为参数）；

,1

V=1+—Z

-2

x=3cos0

因为曲线。的参数方程为今,△（8为参数），

y=2smU

cos0=—

所以

sin^=—

2

又因为cos?e+sin?夕=1,

所以曲线c的标准方程为工+E