专题09拿高分题目强化卷（第三篇）

冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷第一期【北京版】专题93月一模精选压轴卷（第9卷）1．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为e，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，且，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，，，，，，设，则，，由双曲线定义可得：，，，，故，解得，则．在中，由勾股定理可得：，即，得，，故选．2．已知函数则不等式的解集为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】．①当时，，，不等式②当时，，，不等式③当时，，，不等式④当时，，，不等式．综上，不等式的解集为，故选C．3．已知矩形中，，当每个取遍时，的最小值是_____，最大值是_______．【答案】0【解析】建立如图所示坐标系：，则由题意若使模长最大，则不妨设为则当时模长最大为；当时模长最小值为0，故答案为：0；．4．数列的前n项和为，若数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，…，，…有如下运算和结论：①；②数列，，，，…是等比数列；③数列，，，，…的前项和为；④若存在正整数，使，，则．其中正确的结论是_____．（将你认为正确的结论序号都填上）【答案】①③④【解析】①前24项构成的数列是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，所以，故①正确；②数列，，，，…是，1，，2，…，，，由等差数列定义（常数），所以数列，，，，…是等差数列，故②不正确；③因为数列，，，，…是等差数列，所以由等差数列前项和公式可知：，故③正确；④由③知：，，，，，，是，1，，2，，．因为，，所以存在，使，，且，故④正确．故答案为：①③④．5．已知椭圆C：的离心率为，过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，，过点的任意一条直线与椭圆交于，两点，求证：．【解析】（1）解：因为，令，得，因为过焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，所以，根据离心率为，得，结合，解得，，所以椭圆的方程为．（2）证明：要证明，只需证明，过，分别作轴的垂线段，，易得：，所以只需证明，所以只需证明，只需证明．当直线的斜率不存在时，易得．当直线的斜率存在时，不妨设其为，则直线的方程为，联立消去y，得，设，，则，，直线的斜率，直线的斜率，．综上所述，．6．已知函数．（1）求在点处的切线方程；（2）若方程有两个实数根，，且，证明．【解析】（1）解：，，，所以切线方程为．（2）证明：由（1）知在点处的切线方程为．设，构造，，，所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以．当且仅当时取“”∵方程的根．又，由在上单调递减，所以．另一方面，在点处的切线方程为．设，构造．，．所以在上单调递减，在上单调递增．又，，，所以在上单调递减，在上单调递增．所以，当且仅当时取“”，∵方程的根，又，由在上单调递增，所以．所以，得证．7．若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是等比数列，，，．判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知．求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”．【解析】（1）解：因为，所以，，，．所以，又因为，解得（2）解：的公差为，所以，的公比为，所以所以，所以，，，因为，所以不具有性质．（3）证明充分性：当为常数列时，．对任意给定的，只要，则由，必有．充分性得证．证明必要性：用反证法证明．假设不是常数列，则存在，使得，而．下面证明存在满足的，使得，但．设，取