第6讲四则混合运算的运算顺序和运算律（解析）

基础版（通用）20222023学年小升初数学精讲精练专题汇编讲义第6讲四则混合运算的运算顺序和运算律知识精讲知识精讲知识点一：四则混合运算的运算顺序1.分级的标准四则混合运算分为两级，加法和减法叫作第一级运算；乘法和除法叫作第二级运算。2.四则混合运算的运算顺序（1）在没有括号的算式里，如果只含有同一级运算，要从左往右依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算，再算第一级运算（也就是先算乘除法，再算加减法）。（2）算式里有括号的，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的知识点二：四则混合运算定律运算定律文字叙述用字母表示加法加法交换律两个数相加，交换加数的位置，和不变a+b=b+a加法结合律三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变(a+b)+c=a+(b+c)乘法乘法交换律两个数相乘，交换两个乘数的位置积不变ab=ba乘法结合律三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，积不变(ab)c=a(bc)乘法分配律两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把它们的积相加(a+b)c=ac+bc知识点三：运算性质1.减法的性质：abc=a(b+c)ab+c=a(bc)2.除法的性质（除数不等于0）:a÷（b×c）=a÷b÷ca÷b÷c=a÷c÷b3.商不变的性质:被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。a÷b=（a×m）÷（b×m）（mQUOTE≠≠0，bQUOTE≠≠0）a÷b=（a÷m）÷（b÷m）（mQUOTE≠≠0，bQUOTE≠≠0）重点提示：在利用减法和除法的运算性质进行简便计算时，等式的两边可以颠倒过来，要根据算式的特点灵活地进行去括号或添括号。知识点四：四则混合运算中的速算技巧：1.加减法中的速算与巧算（1）分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．（“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”）（2）加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．（3）数值原理法：先把加在一起为整十、整百、整千…的数相加，再与其它的数相加．（4）“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）2.乘法凑整技巧：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：，，3.分数与小数混合运算的技巧在分数、小数的四则混合运算中，到底是把分数化成小数，还是把小数化成分数，这不仅影响到运算过程的繁琐与简便，也影响到运算结果的精确度，因此，要具体情况具体分析，而不能只机械地记住一种化法：小数化成分数，或分数化成小数。技巧1：一般情况下，在加、减法中，分数化成小数比较方便。技巧2：在加、减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时，就不能把分数化成小数。此时要将包括循环小数在内的所有小数都化为分数。技巧3：在乘、除法中，一般情况下，小数化成分数计算，则比较简便。技巧4：在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定。技巧5：在计算中经常用到除法、比、分数、小数、百分数相互之间的转化，掌握这些常用的数互化数方法对学习非常重要知识点五：定义新运算1.定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。（2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算。（3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。2.一般的解题步骤是:一是认真审题，深刻理解新定义的内容；二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号；三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。提高达标百分练提高达标百分练一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2022•高淳区）下面计算中能准确反映竖式计算过程的是（）A．25×48＝25×4×12＝100×12＝1200 B．25×48＝25×50﹣25×2＝1250﹣2＝50＝1200 C．25×48＝25×40+25×8＝1000+200＝1200【思路点拨】根据两位数乘两位数的计算法则，先用第二个因数个位上的数乘第一个因数，乘积的末位与个为对齐，再用第二个因数十位上的数乘第一个因数，出积的末位与十位对齐，然后把两次的乘积相加。再根据乘法分配律的意义，25×48＝25×（40+8），据此解答。【规范解答】解：下面计算中能准确反映竖式计算过程的是：25×48＝25×40+25×8＝1000+200＝1200故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握两位数乘两位数的乘法法则，并且能够正确熟练地进行计算。2．（2分）（2022•吉首市）4×37×25＝37×（4×25），这是根据（）A．乘法分配律 B．乘法交换律 C．乘法结合律 D．乘法交换律和乘法结合律【思路点拨】4×37×25变成37×（4×25），是先交换了4和37的位置，然后把后两个乘数结合在一起，由此求解。【规范解答】解：4×37×25＝37×4×25（乘法交换律）＝37×（4×25）（乘法结合律）所以是根据乘法交换律和乘法结合律进行的变形。故选：D。【考点评析】①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变，如a×b＝b×a。②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变，如a×b×c＝a×（b×c）。3．（2分）（2022•邱县）3.8×（97+3）＝3.8×97+3.8×3运用的运算定律是（）A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法分配律【思路点拨】根据乘法分配律进行计算。【规范解答】解：3.8×（97+3）＝3.8×97+3.8×3运用的运算定律是乘法分配律。故选：C。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义，并且能够灵活运用乘法分配律进行计算。4．（2分）（2022•济南）超市进了一批鲜花，共259枝，每12枝扎成一束，可以扎成几束？如图，可以用竖式计算出结果，那竖式中箭头所指的这一步表示（）A．用240枝鲜花扎成了20束 B．用24枝鲜花扎成了20束 C．用20枝鲜花扎了24束 D．用20枝鲜花扎成了240束【思路点拨】“24”即240，是由12和20相乘所得，表示用240枝鲜花扎成了20束。【规范解答】解：12×20＝240（枝）所以竖式中箭头所指的“24”表示用240枝鲜花扎成了20束。故选：A。【考点评析】本题主要考查了两位数除三位数除法的竖式计算方法，明确各步的意义是关键。5．（2分）（2022•蕲春县）亮亮想用计算器验算“56×14“，但计算器中“4“的按键坏了，下面的算式在（）不能算出正确的答案。A．56×7×2 B．56×15﹣56 C．56×15﹣15 D．56×13+56【思路点拨】根据乘法运算定律，可以把14拆成7×2，用乘法结合计算即可，或者拆成13+1或15﹣1，然后根据乘法分配律“a×（b±c）＝a×b±a×c”进行计算。【规范解答】解：56×14＝56×（7×2）＝56×7×256×14＝56×（13+1）＝56×13+5656×14＝56×（15﹣1）＝56×15﹣56因此A、B、D选项可以算出正确的答案，C选项不可以。故选：C。【考点评析】本题考查乘法运算定律的运用，熟练掌握乘法运算定律是解题的关键。二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）6．（2分）（2022•漳平市）如图是一个两位数乘两位数的计算过程。第一步的得数是A，第二步的得数是B，那么A与B相比，A小于B。（填大于或小于）【思路点拨】根据题意，〇在个位上，□在十位上，68×〇不足10个68，而68×□至少10个68，所以，68×〇小于68×□，据此解答。【规范解答】解：A＝68×〇，B＝68×□〇在个位上，68×〇不足10个68；□在十位上，68×□至少10个68；所以68×〇＜68×□，即A＜B。故答案为：小于。【考点评析】考查了整数乘法的计算方法的运用。7．（2分）（2022•腾冲市）小红的爷爷今年63岁，小红今年7岁，爷爷的年龄是小红的9倍。【思路点拨】用小红爷爷的年龄除以小红的年龄，可以计算出爷爷的年龄是小红的几倍。【规范解答】解：63÷7＝9答：爷爷的年龄是小红的9倍。故答案为：9。【考点评析】本题考查倍数问题的解题方法，掌握求一个数是另一个数的几倍用除法计算。8．（2分）（2022•泌阳县模拟）马小虎在计算6.5×（口+2.5）时，错算成6.5×口+2.5，他得到的结果比正确结果少13.75。【思路点拨】依据乘法分配律的意义：两个数的和乘一个数，可以把这两个数分别与这个数相乘，再把求得的和相加，结果不变，把6.5×（口+2.5）去掉括号，再与6.5×口+2.5比较即可解答。【规范解答】解：6.5×（口+2.5）＝6.5×口+6.5×2.56.5×2.5﹣2.5＝16.25﹣2.5＝13.75答：他得到的结果比正确结果少13.75。故答案为：13.75。【考点评析】完成本题的关键是据乘法分配律得出错写后的算式比原算式少加了多少。9．（2分）（2022•淅川县）在全国人民抗击疫情时，某呼吸机厂师徒两人装配呼吸机，师傅每天装配31台，徒弟每天装配22台，经过8天后，师傅比徒弟多装72台。【思路点拨】师傅每天装配31台，徒弟每天装配22台，先用31台减去22台，求出师傅每天比徒弟多装多少台，再用多装的总台数除以每天多装的台数即可求解。【规范解答】解：72÷（31﹣22）＝72÷9＝8（天）答：经过8天后，师傅比徒弟多装72台。故答案为：8。【考点评析】解决本题先求出每天多装的台数，再根据除法的包含意义求解。10．（2分）（2022•灌南县）如图，3个杯子叠起来高16厘米，5个杯子叠起来高22厘米。7个杯子叠起来的高度是28厘米。【思路点拨】用5个杯子叠起来的高度减去3个杯子叠起来的高度，可以计算出2个杯子叠加部分的高度，再除以2，计算出一个叠加部分的高度，再用3个杯子叠起来的高度减去2个杯子叠加部分的高度，可以计算出最下面一个杯子的高度，最后用7个杯子叠加部分的高度，加上最下面杯子的高度，计算出7个杯子叠起来的高度是多少厘米。【规范解答】解：22﹣16＝6（厘米）6÷2＝3（厘米）16﹣6＝10（厘米）（7﹣1）×3+10＝6×3+10＝18+10＝28（厘米）答：7个杯子叠起来的高度是28厘米。故答案为：28。【考点评析】本题解题关键是先计算出一个叠加部分的高度和最下面一个杯子的高度，最后计算出7个杯子叠起来的高度是多少厘米。11．（2分）（2022•遵义模拟）张老师带领36名学生乘车去小西湖研学旅行，每辆车限载4名乘客，至少需要10辆车才能一次坐完。【思路点拨】乘车总人数为1名老师+36名学生，用总人数÷4等于所需车的数量。【规范解答】解：（36+1）÷4＝37÷4＝9（辆）......1（名）9+1＝10（辆）答：至少需要10辆车才能一次坐完。故答案为：10。【考点评析】解题时注意不要忽略老师也需要乘车。12．（2分）（2021•瑞安市）小学即将毕业，六（1）班家委要给42个同学买毕业纪念册。如图竖式中，箭头所指的数表示买40本纪念册的价钱；这些纪念册一共需要756元。【思路点拨】根据毕业纪念册的单价乘2的积是36，可以求出毕业纪念册的单价，用单价乘42即可求出总价；竖式中箭头所指的数表示单价与40的乘积，也就是40本纪念册的价钱。【规范解答】解：故答案为：40，756。【考点评析】本题考查了利用两位数乘两位数解决问题，重点考查了对竖式中数据的分析能力。13．（2分）（2022秋•甘谷县期末）明明在做乘法算式时，将一个因数21看成了12，结果计算得到的积比正确的少207，正确的积是483。【思路点拨】红红在计算时，只是把其中一个因数21看成了12，另一个因数没变，21比12少了9，也就是少算了9个第一个因数，这时积少了207，就能求出不变的因数，再两因数相乘即可。【规范解答】解：21﹣12＝9207÷9＝2321×23＝483故答案为：483。【考点评析】此题是有关乘法的灵活运用，关键是明白，另一个因数是对的，出错的因数有什么变化积就有什么变化，找到关系即可解决。三．判断题（共5小题，满分10分，每小题2分）14．（2分）（2022•市南区模拟）把“300﹣170＝130，130×11＝1430”写成综合算式是300﹣170×11。×（判断对错）【思路点拨】“300﹣170＝130，130×11＝1430”是先算300减去170求出差，再用求出的差乘11，要想先算减法，需要给减法加上小括号，由此求解。【规范解答】解：把“300﹣170＝130，130×11＝1430”写成综合算式是：（300﹣170）×11，而不是300﹣170×11。原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】解决这类题目，要分清楚先算什么，再算什么，根据运算顺序列出综合算式，注意合理利用小括号。15．（2分）（2021春•长兴县期中）35与50的和除以10与5的差，商是多少？这道题列式为：35+50÷10﹣5．×（判断对错）【思路点拨】先用35加上50求出和，再用10减去5求出差，最后用求出的和除以求出的差即可，为了先计算加法和减法，分别给加法和减法加上小括号．【规范解答】解：（35+50）÷（10﹣5）＝85÷5＝17答：商是17．原题的算式是错误的．故答案为：×．【考点评析】这类型的题目要分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式求解．16．（2分）（2022秋•揭阳期中）在没有括号的算式里，按照从左往右的顺序进行计算．×（判断对错）【思路点拨】四则运算时，没有小括号时：1、如果是同一级运算，一般按从左往右依次进行计算；2、如果既有加减、又有乘除法，先算乘除法、再算加减，由此求解．【规范解答】解：在一个既有加减又有乘除，就先算乘除，再算加减，不能按照从左到右的顺序计算；如：25+5×6，就先算乘法，再算加法，所以原说法错误．故答案为：×．【考点评析】熟练的掌握四则混合运算的运算顺序是解决本题的关系．17．（2分）（2021•集安市）因为37÷9的余数是1，所以3700÷900余数也是1．×．【思路点拨】被除数和除数同时扩大100倍，商不变，但余数扩大100倍；可以利用余数的性质：被除数＝除数×商+余数来验证．即可得解．【规范解答】解：37÷9＝4…1，37＝9×4+1，3700÷900＝4…100，3700＝900×4+100；故答案为：×．【考点评析】此题考查了商不变的性质，若有余数，则余数是变化的．18．（2分）（2022秋•上思县期末）（72﹣35）×16÷4和（72﹣35）×（16÷4）的计算结果不相同。×（判断对错）【思路点拨】分别计算出两个算式的结果，看结果是否相等即可。【规范解答】解：（72﹣35）×16÷4＝37×16÷4＝592÷4＝148（72﹣35）×（16÷4）＝37×4＝148两个算式的计算结果相同。原题说法错误。故答案为：×。【考点评析】解答本题需熟练掌握四则混合运算顺序，准确计算。四．计算题（共2小题，满分20分）19．（8分）（2022•武宁县）直接写出得数。493×61≈＝8÷＝36×25%＝1%÷1%＝＝0.25×0.8＝798÷204≈【思路点拨】把整数估算成与它相近的整百的数或几十的数，再进行口算即可；一个数除法分数等于这个数乘分数的倒数；把百分数化成小数，再按小数除法的计算方法计算。【规范解答】解：493×61≈30000＝8÷＝1036×25%＝91%÷1%＝1＝0.25×0.8＝0.2798÷204≈4【考点评析】本题考查了学生的计算能力及估算能力。20．（12分）（2022•璧山区）计算下面各题，能简算的要简算。57.6﹣18.15+32.4﹣11.8578×25+1764÷492.5×32×12.53.6×[（37.5+18.5）÷2.8]÷[（﹣）×]199×99+178+21【思路点拨】（1）根据加法交换律和减法的性质进行简算；（2）先算乘法、除法，再算加法；（3）把32分成4乘8，再根据乘法结合律进行简算；（4）先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算乘法；（5）先算小括号号里的减法，再算中括号里的乘法，最后算除法；（6）根据加法结合律先算（178+21），再根据乘法分配律进行简算。【规范解答】解：（1）57.6﹣18.15+32.4﹣11.85＝（57.6+32.4）﹣（18.15+11.85）＝90﹣30＝60（2）78×25+1764÷49＝1950+36＝1986（3）2.5×32×12.5＝（2.5×4）×（8×12.5）＝10×100＝1000（4）3.6×[（37.5+18.5）÷2.8]＝3.6×[56÷2.8]＝3.6×20＝72（5）÷[（﹣）×]＝÷[×]＝＝（6）199×99+178+21＝199×99+（178+21）＝199×99+199＝199×（99+1）＝199×100＝19900【考点评析】考查了运算定律与简便运算，四则混合运算。注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。五．应用题（共8小题，满分39分）21．（4分）（2023•海淀区模拟）某摩托车厂6月份生产了570辆摩托车，其中有10辆不合格。合格的产品用大卡车运往各销售公司，一辆大卡车一次可以运35辆，每次需要运费480元。一共需要支付运费多少钱？【思路点拨】先计算出合格产品的数量，即（570﹣10）辆，用合格产品的数量除以每辆卡车运送的数量，就是需要卡车的数量；用需要卡车的数量乘每次需要的运费，就是一共的运费；据此解答即可。【规范解答】解：（570﹣10）÷35×480＝560÷35×480＝16×480＝7680（元）答：一共需要支付运费7680元钱。【考点评析】考查了整数复合应用题，先计算出合格产品的数量，再运用整数乘除法的意义解答即可。22．（5分）（2022•临漳县）李校长和三位老师带领39名学生乘车去北山游玩。（1）王红认为：李校长大约要带1000元钱，才够他们的往返车费。（2）刘晓认为：李校长大约要带2000元钱，才够他们的往返车费。你认为他们谁说得对？请写出你的理由。【思路点拨】根据单价×数量＝总价，分别求出老师和学生需要多少元钱，再把需要的钱数相加，求出去的时候一共需要多少元钱，再乘2，即可求出往返一共需要多少元钱，再进行比较即可。【规范解答】解：学生票价：38÷2＝19（元）19×39+38×4＝741+152＝893（元）893×2＝1786（元）1000＜1786＜2000所以刘晓的说法正确。答：刘晓的说法正确。【考点评析】本题主要考查了两位数乘两位数乘法、一位数除两位数除法的实际应用以及整数大小的比较，明确单价、数量和总价之间的关系是解答本题的关键。23．（5分）（2022•章丘区）绿化队为一个居民社区栽花。栽月季花240棵，再加上16棵就是所栽丁香花棵数的2倍。栽了多少棵丁香花？【思路点拨】用栽月季花的棵数加上16，再除以2，计算出栽了多少棵丁香花。【规范解答】解：（240+16）÷2＝256÷2＝128（棵）答：栽了128棵丁香花。【考点评析】本题解题关键是根据整数加法与除法的意义，列式计算，熟练掌握整数四则混合运算的计算方法。24．（5分）（2022•腾冲市）购物。（1）买一辆自行车和一个电饭煲大约要多少元钱？（2）爸爸带800元买这两样东西够吗？【思路点拨】（1）用一辆自行车的价钱加上一个电饭煲的价钱，把428看作430，399看作400进行估算即可；（2）用一辆自行车的价钱加上一个电饭煲的价钱，求出一共需要多少元钱，再和爸爸带的钱数进行比较即可。【规范解答】解：（1）428+399≈430+400＝830（元）答：大约要830元钱。（2）428+399＝827（元）827＞800答：爸爸带800元买这两样东西不够。【考点评析】本题主要考查了千以内加法、数的估算以及整数大小的比较方法。首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，列式解答，注意估算方法的灵活运用。25．（5分）（2022•酉阳县）北京冬奥会滑雪比赛“平行大回转”项目，有A票座位1000个，2500元/人，B票座位4800个，500元/人，共收入4300000元。本场观众最多有多少人？【思路点拨】求本场观众最多有多少人，则B票座位全部售出；先用500元乘4800，求出B票座位全部售出的收入；再用4300000元减去B票座位全部售出的收入，用所得的差除以2500元，求出A票座位售出的票数，然后加上4800即可。【规范解答】解：（4300000﹣500×4800）÷2500+4800＝1900000÷2500+4800＝760+4800＝5560（人）答：本场观众最多有5560人。【考点评析】解答本题需准确分析“本场观众最多”的含义，熟练掌握单价、总价和数量之间的关系。26．（5分）（2022•钱塘区）2022年参加北京冬奥会的总人数为2892人，比第一届夏蒙尼冬奥会的12倍少204人，第一届冬奥会参加人数是多少人？（两种方法计算）【思路点拨】方法一：根据2022年参加北京冬奥会的总人数比第一届夏蒙尼冬奥会的12倍少204人，可知，北京冬奥会的总人数加上204人就是第一届夏蒙尼冬奥会的12倍，所以用2022年参加北京冬奥会的总人数2892人加上204人后，除以12就可以得到第一届夏蒙尼冬奥会的人数；方法二：用方程解，设第一届冬奥会参加人数是x人，然后根据“第一届冬奥会的人数×12﹣204＝2892”来列方程，最后解方程。【规范解答】解：方法一：（2892+204）÷12＝3096÷12＝258（人）答：第一届冬奥会参加人