第6讲比的认识-六年级上册数学讲义（思维导图知识梳理例题精讲易错专练）北师大版（含答案）

第6讲比的认识（思维导图+知识梳理+例题精讲+易错专练）一、思维导图二、知识点梳理知识点一：生活中的比1.生活中两个量之间存在倍比关系。2.比的意义：两个数相除，又叫作这两个数的比。3.比的各部分名称：“∶”是比号，读作“比”。比号前面的数是比的前项，比号后面的数是比的后项。比的前项除以比的后项，所得的商叫作比值。4.求比值的方法：用比的前项除以后项得到一个数，这个数就是比值。比值可以是分数，也可以是小数或整数。5.比与除法、分数的关系：(1)比的前项相当于被除数、分子，比的后项相当于除数、分母，比值相当于商、分数值，比号相当于除号、分数线。因为除数和分母不能为0，所以比的后项也不能为0。(2)用字母表示比与除法、分数三者之间的关系，可以表示为a∶b=a÷b=ab知识点二：比的化简1.最简整数比。比的前项和比的后项都是整数，并且比的前项和后项的最大公因数是1。2.把一个比化成最简整数比的过程，叫作化简比。3.比的基本性质。比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值的大小不变。4.比的前项和后项不能同时乘或除以0的原因。(1)因为除数不能为0，所以比的前项和后项不能同时除以0。(2)因为比的前项和后项同时乘0后，比的后项变为0，而0不能作比的后项，所以比的前项和后项也不能同时乘0。5.化简比的方法。(1)整数比的化简方法：方法一，先把比改写成分数的形式，再把这个分数进行约分，最后改写成最简整数比;方法二，把比改写成除法算式，根据商不变的规律，把被除数和除数同时除以它们的最大公因数，求出商后再化成最简整数比;方法三，把比的前项、后项同时除以它们的最大公因数，直接化成最简整数比。(2)分数比的化简方法：方法一：根据比与除法的关系，将比改写成除法算式，并求出结果，商用最简分数表示，然后将最简分数转化成最简整数比的形式;方法二：把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数，然后按照整数比的化简方法化成最简整数比。(3)小数比的化简方法：方法一：根据比与除法的关系，将比改写成除法算式，根据商不变的规律，将被除数与除数同时扩大到原来的相同的倍数(0除外)，从而化成整数比，然后按照整数比的化简方法化成最简整数比;方法二：根据比的基本性质，先把比的前项和后项的小数点向右移动相同的位数，将小数比化成整数比，然后按照整数比的化简方法化成最简整数比。知识点三：比的应用1.按一定的比进行分配的意义。在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比进行分配，这种分配方法通常叫作按一定的比进行分配。2.按一定的比进行分配问题的解法。(1)按一定的比进行分配的问题，应先求出总量一共被平均分成了几份，再找出各部分量占总量的份数，采用平均分的方法求出每份具体的数量，最后用分数乘法求出各部分相应的具体数量;(2)先求出总量一共被平均分成了几份，再用相应的分数来表示各部分量，最后用分数乘法来解答;(3)列方程解答，先设每份的量为x，再用每份的量乘分成的份数，表示各部分量，最后根据“部分量+部分量=总量”列方程解答。3.按一定的比进行分配解决问题方法的应用。(1)已知总量及两个部分量间的比的关系，求部分量。(2)已知一个部分量及两个部分量间的比的关系，求总量。(3)已知一个部分量及两个部分量间的比的关系，求另一个部分量。三、例题精讲考点一：生活中的比【典型一】大圆的半径是9厘米，小圆的半径是4厘米，大圆和小圆的半径比是________，面积比是________。【分析】根据比的意义，用大圆的半径∶小圆的半径，即可求出大圆和小圆半径比；再根据圆的面积公式：圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出大圆和小圆的面积，再根据比的意义，用大圆面积∶小圆面积，即可解答。【详解】大圆半径∶小圆半径＝9∶4大圆面积：π×92＝81π（平方厘米）小圆面积：π×42＝16π（平方厘米）大圆面积∶小圆面积＝81π∶16π＝81∶16【点睛】本题考查比的意义，以及圆的面积公式的应用，关键是熟记公式。【典型二】（1）分别写出亮亮和明明所走路程和时间的整数比。（2）分别求出这两个比的比值，填在表格中，再说说比值表示的意义。路程时间路程和时间的比值亮亮900米15分明明900米20分【分析】（1）由题意可知，亮亮：路程∶时间＝900∶15；明明：路程∶时间＝900∶20；把结果化为最简整数比；（2）由“路程÷时间＝速度”可知，路程和时间的比值表示速度，据此解答。【详解】（1）亮亮：900∶15明明：900∶20答：亮亮路程和时间的比是900∶15，明明路程和时间的比是900∶20。（2）900∶15＝60（米/分）900∶20＝45（米/分）路程时间路程和时间的比值亮亮900米15分60米/分明明900米20分45米/分60米/分表示亮亮每分钟走60米；45米/分表示明明每分钟走45米【点睛】路程和时间不是同类数量，路程和时间的比值表示的是速度。考点二：比的化简【典型一】给4∶9的前项加16，要使比值不变，后项应该加（

）。A．46 B．16 C．45 D．36【分析】给4∶9的前项加16，4＋16＝20，前项4乘5变为20，根据比的基本性质，要使比值不变，后项也应该乘5，9×5＝45，45－9＝36，即后项应该加36。【详解】4＋16＝2020÷4＝59×5＝4545－9＝36故答案为：D【点睛】本题考查比的基本性质。把前项“加16”，转化为前项“乘5”是解题的关键。【典型二】张敏爸爸的身高是178cm，她的身高是1m，张敏说她和爸爸的身高比是1∶178，她说的对吗？你认为是多少呢？【详解】1m＝100cm100∶178＝50∶89答：张敏的说法不对，张敏的身高和爸爸的身高的比是50∶89。【点睛】此题主要是考查比的意义及化简。不同单位的名数比，要化成相同单位的名数再比。【典型三】12∶9.6

9.1∶5.6

【分析】根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。【详解】12∶9.6＝（12×10）∶（9.6×10）＝120∶96＝（120÷24）∶（96÷24）＝5∶49.1∶5.6＝（9.1×10）∶（5.6×10）＝91∶56＝（91÷7）∶（56÷7）＝13∶8＝（×20）∶（×20）＝35∶42＝（35÷7）∶（42÷7）＝5∶6考点三：比的应用【典型一】预防“新冠”使用的酒精溶液，用无水乙醇和蒸馏水按照3∶1的体积进行配置，现有蒸馏水360L，需配备（

）L无水乙醇。A．1080 B．120 C．90【分析】酒精溶液中无水乙醇和蒸馏水按照3∶1的体积进行配置，也就是说无水乙醇是蒸馏水的3倍；据此求解即可。【详解】360×3＝1080（升）故答案为：A【点睛】本题主要考查了比的应用，解题有关键是明确酒精溶液中无水乙醇和蒸馏水的关系。【典型二】甲、乙两校原有学生人数的比是6∶5，甲校毕业了200人，乙校毕业了125人后，两校学生人数的比为8∶7。原来甲校比乙校多()人。【分析】根据甲、乙两校原有学生人数的比是6∶5，设甲校原有学生人数是6x，乙校原有学生人数是5x，那么原来甲校比乙校多x人。列出等量关系：（6x－200）∶（5x－125）＝8∶7，再根据比的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，求出x的值。【详解】根据分析，设甲校原有学生人数是6x，乙校原有学生人数是5x。（6x－200）∶（5x－125）＝8∶78×（5x－125）＝7×（6x－200）40x－1000＝42x－140040x－1000－40x＋1400＝42x－1400－40x＋14002x＝4002x÷2＝400÷2x＝200所以甲校比乙校多200人。【点睛】本题主要考查的是比的应用，列出等量关系是解题的关系。【典型三】试验小学图书馆购进一批科技书和文艺书，购进的科技书和文艺书的数量比是5∶4，已知文艺书购进540本，则购进科技书多少本？【分析】把购进的文艺书本数看作单位“1”，科技书本数占文艺书本数的，根据分数乘法的意义，用文艺书的本数乘，就是购进科技书的本数。【详解】540×＝675（本）答：则购进科技书675本。【点睛】此题是考查比的应用，关键是把比转化成分数，再根据分数乘法的意义解答。【典型四】用一根总长为96cm的铁丝剪断后，焊接成一个长、宽、高之比为3∶2∶1的长方体框架。（1）将这个长方体框架的外面用彩纸糊上，至少需要准备多少平方厘米的彩纸？（2）这个长方体的体积是多少立方厘米？【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用96÷4＝24（厘米）就是长、宽、高的总和；根据长宽高的比求出长宽高的长度，再根据长方体的体积和表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高。解答即可。【详解】96÷4＝24（厘米）长：24×＝12（厘米）宽：24×＝8（厘米）高：24×＝4（厘米）（1）（12×8＋12×4＋8×4）×2＝（96＋48＋32）×2＝176×2＝352（平方厘米）答：至少需要准备352平方厘米的彩纸。（2）12×8×4＝96×4＝384（立方厘米）答：这个长方体的体积是384立方厘米。【点睛】此题考查的是比的应用、长方体的特征、长方体的体积和表面积公式的应用。解答此题的关键是掌握长方体的体积和表面积公式。四、易错专练一、选择题（满分16分）1．把白糖放入水里，水和糖的比是（

）。A． B． C． D．2．某小学本学期参加课后延时服务的同学比不参加延时服务的同学多40%，参加课后延时服务的同学与全校同学的比是（

）。A．4∶5 B．5∶7 C．6∶9 D．7∶123．60平方米的教室与40平方分米的课桌。它们的面积比是（

）。A．3∶2 B．15∶1 C．150∶1 D．1500∶14．如果6∶13的前项加上6，要使比值不变，则后项应加上（

）。A．6 B．12 C．13 D．265．张阿姨把40本书分给了笑笑和淘气，笑笑和淘气得到的书的比可能是（

）。A．2∶5 B．3∶5 C．3∶46．笑笑和6名同学进行乒乓球比赛，如果每两名同学之间都要进行一场比赛，那么一共要进行（

）场比赛。A．6 B．12 C．15 D．217．一道减法算式，被减数与减数的比是4∶1，被减数、减数与差的和是160，则减数是（

）。A．32 B．96 C．60 D．208．一个三角形，三个内角度数之比是3∶4∶7，这个三角形是（

）三角形。A．锐角 B．直角 C．钝角二、填空题（满分16分）9．淘气和笑笑都攒了一些零花钱，两人所攒钱数的比是5∶7，在支援灾区捐款活动中，淘气捐了20元，笑笑捐了36元，这时两人剩下的钱数相等。笑笑原来有()元钱。10．大圆的半径是9厘米，小圆的半径是4厘米，大圆和小圆的半径比是________，面积比是________。11．一个三角形三个内角的度数比是4∶4∶8，这个三角形是()三角形。12．一个长方形的周长是18厘米，长与宽的比是5∶4，它的面积是()平方厘米。13．买6支钢笔共用了27元，钢笔的总价与数量的比是()∶()。比值是()，比值表示()。14．一个直角三角形，两个锐角度数比是5∶13，这两个锐角分别是()度和()度。15．小李、小张分别骑车从甲地到乙地，小李用了4小时，小张用了3小时，小李、小张所用时间比是()，速度比是()（均填最简整数比）。16．配置一种药水，药液和水的比是1∶150，现在有药液0.2千克，应加水()千克。三、判断题（满分8分）17．两个圆的半径比也是它们的直径比，还是它们的周长比｡()18．从A地到B地，甲要5分钟，乙要4分钟，甲、乙的速度比是4∶5。()19．从甲城到乙城，货车要行5小时，客车要行6小时，货车与客车的速度比是6∶5。()20．在3∶2中，如果前项加上9，要使比值不变，后项应该加8。()四、化简比（满分6分）21．(6分)化简比。时∶15分

36∶0.72

五、作图题（满分6分）22．(6分)请你在下面边长为1cm的方格图中画一个周长为12cm，长和宽之比为2∶1的长方形。六、解答题（满分48分）23．(6分)某校六年级三个班共植树210棵，一班植了总数的，二班与三班植树棵数比为2∶5，这三个班各植树多少棵？24．(6分)奶粉冲调适宜的浓度，取决于配方奶粉中各种营养成分的比例和宝宝不同生长阶段的消化吸收能力，一周后的宝宝，奶粉和水的调配比例一般是1∶4，若调制300克牛奶，需要奶粉多少克？水多少克？25．(6分)停车场停放小汽车和客车数量的比是5∶2，已知停车场有小汽车45辆，停车场共停放汽车多少辆？26．(6分)服装厂生产一批校服，已经完成了总套数的。如果再生产60套，已完成的与剩下的套数的比是2∶3，这批校服有多少套？27．(6分)一批零件，已加工完的个数与未加工的个数之比是1∶3，如果再加工150个零件，则加工的零件个数与未加工的零件个数之比为5∶3，则这批零件共有多少个？28．(6分)爸爸出差买回了一罐高档糖果，爸爸按照5∶4的比例把糖果分给了晓冬和晓妮。已知晓冬比晓妮多分到5颗糖果，那么这罐糖果共有几颗？29．(6分)新华书店要向两所小学捐赠图书500本，东山小学有120名学生，南岭小学有280名学生，按学生数分配图书，南岭小学可以分得多少本图书？30．(6分)学校组织的踢毽子比赛有63人参加，按照2∶4∶3的比例评选出大赛的一、二、三等奖。一、二、三等奖各评出多少人？参考答案1．B【分析】求水和糖的比，用水的质量∶糖的质量并化简即可。【详解】水∶糖＝200∶25＝8∶1故答案为：B【点睛】本题主要考查比的意义及其化简。2．D【分析】将不参加延时服务的同学人数看成单位“1”，则参加课后延时服务的同学人数是1＋40%，总人数是不参加延时服务的同学人数的1＋1＋40%，由此写出参加课后延时服务的同学与全校同学的比并化简即可。【详解】参加课后延时服务的同学∶全校同学＝（1＋40%）∶（1＋1＋40%）＝7∶12故答案为：D【点睛】理清数量关系，找准单位“1”是解答本题的关键。3．C【分析】先统一单位，再写出教室面积与课桌面积的比，化简即可。【详解】60平方米＝6000平方分米教室与课桌的面积比是6000∶40，化简得150∶1。故答案为：C【点睛】此题主要考查了比的意义，注意要先统一单位。4．C【分析】根据比的性质，比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，解答即可。【详解】如果6∶13的前项加上6，相当于前项乘2，后项也要乘2，此时后项是13×2＝26，所以后项应该加上26－13＝13。故选择：C【点睛】此题考查了比的性质，需牢记并能灵活运用。5．B【分析】根据选项给出的比，把40本书所给出的比进行比例分配，求出笑笑可能得到的书，可以整数分配的，才能是得到书的可能的比。据此选择即可。【详解】A．2∶5，40×＝，不可整数分配，选项错误；B．3∶5，40×＝15，可以整数分配，选项正确；C．3∶4，40×＝，不可整本书分配，选项错误。故答案为：B【点睛】此题考查了按比例分配问题。注意可以把比转化成分数，根据分数乘法的意义求出可能得到的书的数量来选择。6．D【分析】由笑笑和6名同学进行乒乓球比赛可知共有7名同学参加比赛，由于每个人都可以和另外的6个人组合，一共有：6×7＝42（种）组合；又因为两个人只有一种组合方式，去掉重复计算的情况，实际只有：42÷2＝21（种）组合，然后据此解答即可。【详解】（7－1）×7÷2＝42÷2＝21（场）故答案为：D【点睛】本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果人比较少可以用枚举法解答，如果人比较多可以用公式：比赛场数＝n（n－1）÷2解答。7．D【解析】被减数是4份，减数是1份，则差就是3份，这样就能写出被减数、减数与差的比，减数占三个数和的，由此根据分数乘法的意义求出减数即可。【详解】被减数、减数、差的比是：4∶1∶3，减数：160×＝20故答案为：D。【点睛】本题主要考查了比的应用，以及被减数、减数、差的关系。8．B【解析】根据最大角的度数即可判断三角形的种类。最大角的度数＝三角形的内角和×，再用最大角与90°比较大小即可，大于90°为钝角三角形；等于90°为直角三角形，小于90°则为锐角三角形。【详解】最大角＝180°×＝180°×＝90°所以这个三角形是直角三角形。故答案为：B【点睛】本题主要考查比的应用和三角形的分类，用按比例分配的方法求出最大角的度数是解题的关键。9．56【分析】根据题意，淘气和笑笑两人所攒钱数的比是5∶7，设淘气有5x元，则笑笑有7x元；淘气捐了20元，笑笑捐了36元，这时两人剩下的钱数相等，列方程：5x－20＝7x－36，解方程，即可解答。【详解】解：设淘气有5x元，则笑笑有7x元。5x－20＝7x－367x－5x＝36－202x＝16x＝16÷2x＝8笑笑：8×7＝56（元）【点睛】根据方程的实际应用，利用淘气和笑笑所攒钱数的比，设出未知数，找下相关的量，列方程，解方程。10．

9∶4

81∶16【分析】根据比的意义，用大圆的半径∶小圆的半径，即可求出大圆和小圆半径比；再根据圆的面积公式：圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出大圆和小圆的面积，再根据比的意义，用大圆面积∶小圆面积，即可解答。【详解】大圆半径∶小圆半径＝9∶4大圆面积：π×92＝81π（平方厘米）小圆面积：π×42＝16π（平方厘米）大圆面积∶小圆面积＝81π∶16π＝81∶16【点睛】本题考查比的意义，以及圆的面积公式的应用，关键是熟记公式。11．等腰直角【分析】三角形的内角和为180°，三角形三个内角的度数比是4∶4∶8，根据按比例分配方法可计算出每个角的度数，得出答案。【详解】可将内角和看作分为：份，而其中有两个角都是占了其中的4份，即这两个角的度数相等，度数为：°；另一个角度数为：°。有两个内角相等的直角三角形是等腰直角三角形。【点睛】本题主要考查的是按比例分配问题的应用，解题的关键是熟练运用按比例分配方法，进而得出答案。12．20【分析】长方形的周长÷2＝长＋宽，再根据长与宽的比，按比例分配求出长、宽分别是多少，相乘即可。【详解】18÷2＝9（厘米）9×＝5（厘米）9×＝4（厘米）5×4＝20（平方厘米）它的面积是20平方厘米。【点睛】此题主要考查了按比例分配问题，先求出长与宽分别是多少是解题关键。13．

9

2

4.5

钢笔的单价【分析】根据比的意义，用买钢笔的总价钱∶买的支数，再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变；求出最简比；再用比的前项除以比的后项，求出比值；根据总价÷数量＝钢笔的单价，即比值表示的意义。【详解】27∶6＝（27÷3）∶（6÷3）＝9∶29÷2＝4.5买6支钢笔共用了27元，钢笔的总价与数量的比是9∶2，比值是4.5，比值表示钢笔的单价。【点睛】本题考查比的意义，比的化简，以及求比值。14．

25

65【分析】在直角三角形中，两个锐角的度数之和是90°，根据两个锐角度数比，按比例分配，即可求出这两个锐角各自的度数。【详解】90°×＝25°90°×＝65°这两个锐角分别是25度和65度。【点睛】此题主要考查了按比例分配问题，明确两个锐角之和是90度是解题关键。15．

4∶3

3∶4【分析】把两地之间的距离看作单位“1”，那么两人的速度分别是和，分别写出两个人的时间比和速度比，需要化简的化到最简即可。【详解】小李、小张分别骑车从甲地到乙地，小李用了4小时，小张用了3小时，小李、小张所用时间比是4∶3，速度比是∶，化简得3∶4。【点睛】此题考查了比的意义，两个数相除又叫做两个数的比。注意比的前后项位置。16．30【分析】一种药水的药液和水的质量比是1∶150，也就是药液是水质量的，因此现在有药液0.2克，用除法即可求出应加水的质量。【详解】0.2÷＝30（千克）【点睛】根据药液和水的质量比，可知药液是水质量的，由此解答。17．√【分析】根据圆的特征：同圆或等圆中，圆的直径＝半径×2；两个圆的半径比＝两个圆的直径比；圆的周长公式：周长＝π×半径×2；由此可知，两个圆的半径比＝它们的周长比，据此解答。【详解】根据分析可知，两个圆的半径比也是它们的直径比，还是它们的周长比。原题干说法正确。故答案为：√【点睛】根据圆的特征、圆的周长公式以及比的意义进行解答。18．√【分析】把从A地到B地的路程看作单位“1”，先根据速度＝路程÷时间，表示出两人的速度，再求出两人的速度比即可判断。【详解】甲、乙的速度比：（1÷5）∶（1÷4）＝∶＝4∶5故答案为：√【点睛】解答此题用到的知识点：（1）比的意义；（2）路程、时间和速度三者之间的关系。19．√【分析】根据题意，把甲城到乙城的距离看作单位“1”，根据“速度＝距离÷时间”，求出货车的速度和客车的速度，再根据比的意义，用货车速度比客车速度，化简，即可解答。【详解】（1÷5）∶（1÷6）＝∶＝（×30）∶（×30）＝6∶5货车与客车的速度比是6∶5原题干说法正确。故答案为：√【点睛】解答本题的关键是单位“1”的确定，再根据“速度、时间、距离三者关系”以及比的意义，进行解答。20．×【解析】略21．8∶3；50∶1；4∶3【分析】（1）先把时化成40分，再根据比的基本性质，把比的前、后项同时除以5即可；（2）先把比的前、后项同时乘100，化成3600∶72，再同时除以72即可；（3）把比的前、后项同时乘10即可化成最简比。【详解】时∶15分＝40分∶15分＝（40÷5）∶（15÷5）＝8∶3

36∶0.72

＝3600∶72＝（3600÷72）∶（72÷72）＝50∶1

＝（0.4×10）∶（×10）＝4∶322．见详解【分析】由长方形的周长是12厘米，可知：长＋宽＝12÷2＝6厘米，又长和宽之比为2∶1，根据按比例分配的方法分别求出长与宽的值，再画图即可。【详解】长：（12÷2）×＝4（厘米）宽：（12÷2）×＝2（厘米）画图如下：【点睛】本题主要考查按比例分配的简单应用，求出长方形的长、宽的值是解题的关键。23．一班植树84棵，二班36棵，三班90棵【分析】根据题意可知：把三个班植树的总棵数看作单位“1”，一班植了总数的，用乘法可求出一班植树的棵数，再用总棵数减去一班植树的棵数，可知二、三班的总份数是2＋5＝7（份），然后用除法求出一份的棵数，进而求出二班和三班分别植了多少棵树。【详解】一班：210×＝84（棵）210－84＝126（棵）2＋5＝7（份）126÷7＝18（棵）二班：18×2＝36（棵）三班：18×5＝90（棵）答：一班植树84棵，二班36棵，三班90棵。【点睛】解答本题的关键是知道求一个数的几分之几用乘法计算，按比分配，可以先求出总份数，然后用二三班的总棵数除以总份数，求出一份的棵数，再用乘法求出每一班植树的棵数。24．奶粉60克，水240克【分析】把300克平均分成（1＋4）份，先用除法求出