22直线的方程-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性）

2.2直线的方程备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：点斜式方程；斜截式方程；截距式方程；两点式方程；一般式方程课堂知识小结考点巩固提升知识归纳(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：；适用于斜率存在，且截距不为零且不过原点的直线（5）一般式：（不同时为）（6）特殊直线方程①斜率不存在的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：②斜率为的直线（与轴垂直）：；特别地，轴：③在两轴上截距相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）考点讲解考点讲解考点1：点斜式方程例1．经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为．故A，C，D错误.故选：B.【方法技巧】1.根据直线的点斜式方程进行求解.2.点斜式：；适用于斜率存在的直线【变式训练】【变式1】．在同一平面直角坐标系下，直线总在直线的上方，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】结合直线的图像，利用直线的斜率与纵截距进行判断.【详解】因为直线总在直线的上方，所以直线与直线平行，且直线在y轴上的截距必大于直线在y轴上的截距，所以，．故A，B，D错误.故选：C.【变式2】．过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出两直线交点，再由与直线平行得出斜率，由点斜式写出方程即可求解.【详解】由解得，则直线的交点，又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.故选：C.【变式3】．直线被直线和所截得的线段中点恰为坐标原点，则直线l的方程为______．【答案】【分析】设交点坐标分别为和，根据题意得到，求得的值，进而求得直线的方程.【详解】设直线与和，分别交于点和，因为所截得的线段中点恰为坐标原点，可得，解得，所以和，则，可得直线的方程为，即.故答案为：.考点2：斜截式方程例2．已知直线l的斜率是直线的斜率的相反数，在y轴上的截距为2，则直线l的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】直线的斜率是，因此直线的斜率是，又在y轴上的截距为2，所以直线方程为，故选：C．【方法技巧】1.求得直线斜率，由斜截式得直线方程．2.斜截式：；适用于斜率存在的直线【变式训练】【变式1】．直线的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将直线的一般方程转化为直线的斜截式方程，根据的范围求出的范围，进而求出范围即可求解.【详解】当时，直线的斜率为，因为，所以时，或，由得，当即时，直线的斜率为.因为，所以或，即或.所以直线的斜率的取值范围为.综上所述，直线的斜率的取值范围为.故选：A.【变式2】．若“”是“一次函数的图象不经过第一象限”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据直线的性质可得一次函数的图象不经过第一象限时实数的取值范围，再根据充分与必要条件的性质求解即可.【详解】若一次函数的图象不经过第一象限，则有，解得，故“一次函数的图象不经过第一象限”的充要条件是“”．因此，如果“”是“一次函数的图象不经过第一象限”的充分不必要条件，则．故选：D．【变式3】．已知直线l与直线的斜率相等，直线l与x轴的交点为，且a比直线l在y轴上的截距大1，则直线l的斜截式方程为________．【答案】【分析】根据已知条件求得直线的斜率和截距，从而求得正确答案.【详解】由题意知，直线l的斜率为，故设直线l的方程为，令，得，所以，得，所以直线l的斜截式方程为．故答案为：考点3：截距式方程例3．（1）若过点的直线在y轴上的截距比在x轴上的截距大，求此直线的方程，并画出图形；（2）求过点，且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线方程，并画出图形.【答案】（1）或，图象见解析；（2）或，图象见解析.【分析】（1）设直线的方程为，代入点坐标求出a的值即可求直线方程，从而可画出图形；（2）分在x轴、y轴上的截距都是0与在x轴、y轴上的截距都不是0讨论，代入点坐标求出待定参数，即可求直线的方程，从而可画出图形.【详解】解：（1）设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由题意可知且，则此直线的方程为.又此直线过点，所以，解得或，故所求的直线方程为或，可化为或.画出图形如图1.（2）①当在x轴、y轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，将代入中，得，此时直线方程为，即.②当在x轴、y轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，将代入中，得，此时直线方程为.综上所述，所求直线方程为或.画出图形如图2.【方法技巧】1.设出方程，使用公式截距式：；适用于斜率存在，且截距不为零且不过原点的直线2.注意分类讨论【变式训练】【变式1】．已知直线，则下述正确的是（

）A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等【答案】BD【分析】根据斜率的定义和截距的定义即可求得答案.【详解】解：因为直线，若，则直线的斜率不存在，故B正确；若，则直线的斜率存在，且斜率，不可能为，故A错误；将点代入直线方程得，故C错误；令，则直线方程为，横纵截距均为，故D正确．故选：BD【变式2】．过点，且在轴与轴上的截距的绝对值相等的直线方程是________．【答案】，或【分析】分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论，分别设出直线方程，代入点坐标，可求得直线方程．【详解】若该直线过原点，设直线的方程为，则，故直线的方程为；若该直线不过原点，设直线的方程为或，又直线过点，所以，解得；或，解得，所以直线的方程为或；故答案为：，或．【变式3】．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________.【答案】或【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解.【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0.设直线方程为，则.因为，即，所以，所以时，，当时，，所以直线方程为或.故答案为:或.考点4：两点式方程例4．若直线l过点和，且点在直线l上，则b的值为（

）A．183 B．182 C．181 D．180【答案】A【详解】因为直线l过点和，由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即.由于点直线l上，所以，解得.故选:A.【方法技巧】1.根据两点坐标可利用两点式求直线的方程2.两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线【变式训练】【变式1】．过两点和的直线在y轴上的截距为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线方程，令x＝0，即可求出纵截距.【详解】由题可知直线方程为：，即，令x=0，则，故直线在y轴上的截距为.故选：C.【变式2】．已知点、，则直线AB的两点式方程是______．【答案】【分析】根据直线的两点式方程代入即可.【详解】直线的两点式方程为：将点、代入得：.故答案为：.【变式3】．一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是______．【答案】【分析】根据题意，若要求反射光线，可求得点关于轴对称的点，又过即可得解.【详解】首先求点关于轴对称的点，所以反射光线过和两点，故直线方程为：，即，故答案为：.考点5：一般式方程例5．经过点，且斜率等于直线的斜率的2倍的直线的一般式方程为________．【答案】【详解】因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率．又所求直线经过点，所以所求直线的方程为，即．故答案为：.【方法技巧】由已知求得所求直线的斜率，运用直线的点斜式方程，从而求出直线的一般式方程．【变式训练】【变式1】．如果且，那么直线不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】通过直线经过的点来判断象限.【详解】由且，可得同号，异号，所以也是异号；令，得；令，得；所以直线不经过第三象限.故选：C.【变式2】．（多选）已知直线，则（

）A．恒过点 B．若，则C．若，则 D．当时，不经过第三象限【答案】BD【分析】对于选项A，将直线的方程化为，再由可求得定点；对于选项B，通过斜率相等可以求解；对于选项C，通过斜率之积等于可以求解；对于选项D，将直线化为斜截式，再根据斜率和截距建立不等式可以求解.【详解】直线，则，由，得，所以恒过定点，所以A错误；由可得：，所以，B正确；由可得：，，所以C错误；由，当时，，不过第三象限；当时，，不过第三象限，只需要，解得，所以的取值范围为，所以D正确；故选：BD.【变式3】．已知①直线的倾斜角为30°；②直线不经过坐标原点．写出一个同时满足①②的直线方程：________．（用一般式方程表示）【答案】（答案不唯一）【分析】根据题意可知直线的斜率为，再由于直线不过原点，可求出直线方程【详解】由题意得，直线斜率为，又直线不经过坐标原点，即一般式方程中的常数项非零，所以符合题意的一个直线方程为．故答案为：（答案不唯一）知识小结知识小结根据需要选择合适的求直线方程的式子。熟练掌握一下求直线的方法(1)点斜式：；适用于斜率存在的直线（2）斜截式：；适用于斜率存在的直线注：为直线在轴上的截距，截距不是距离，截距可正，可负，可为零（3）两点式：；适用于斜率存在且不为零的直线（4）截距式：；适用于斜率存在，且截距不为零且不过原点的直线（5）一般式：（不同时为）巩固提升巩固提升一、单选题1．经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线的点斜式方程进行求解.【详解】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为．故A，C，D错误.故选：B.2．直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将直线变形为，则且，即可求出定点【详解】将变形为：，令且，解得，故直线恒过定点故选：A3．直线与直线的位置关系是（

）A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直【答案】B【分析】根据直线的解析式判断位置关系即可.【详解】根据题意，化简得，由于和解析式完全相同，所以直线与直线重合.故选：B.4．过点，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】根据直线过原点和不过原点两种情况讨论，分别设出所求直线的方程，结合过点，即可求解.【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为，因为直线过点，代入可得，即；当所求直线过原点时，设直线方程为，因为直线过点，代入可得，即，综上可得，所求直线的方程为或.故选：B.5．过点且与直线平行的直线方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，设所求直线为，代入A点坐标，求得m值，即可得答案.【详解】因为所求直线与直线l平行，所以设所求直线方程为：，又所求直线过点，代入可得，解得，所以所求直线为，即.故选：A6．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率则的欧拉线的方程为，即故选：D．7．已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，，求出直线与两坐标轴的交点，，再由均值不等式即可求出截距之和的最小值，即可求出直线方程.【详解】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，令，所以直线与轴的交点为，令，所以直线与轴的交点为，所以，当且仅当即时取等，所以此时直线为：.故选：C.8．已知，，则下列直线的方程不可能是的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解.【详解】，直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2，故D正确，当时，,故B不正确，当时，或，由图象知AC正确.故选：B二、多选题9．（多选）已知等边三角形ABC的两个顶点，，则BC边所在直线的方程可能是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】由题得直线BC的倾斜角为60°或120°，由点斜式直线方程得解.【详解】解：由题得直线BC的倾斜角为60°或120°，故直线BC斜率为或，由点斜式得所求直线的方程为或．故选：BC10．已知直线，，下列命题中正确的有（

）A．当时，与重合 B．若，则C．过定点 D．一定不与坐标轴平行【答案】AC【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D．【详解】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确；当时，有且，解得，故B错误；因为，所以直线过定点，故C正确；当时，直线与x轴平行，故D错误；故选：AC．三、填空题11．点在直线上，则实数_____________．【答案】－8【分析】点在直线上，则点的坐标是直线方程的解，代入即可计算出m．【详解】∵点在直线上，∴4×1－m×(－2)＋12＝0，解得m＝－8．故答案为：－8．12．已知直线l的斜率是1，在y轴上的截距是，则直线l的斜截式方程是______．【答案】【分析】根据直线的斜截式方程公式代入即可.【详解】由直线的斜截式方程得：直线的斜截式方程为：，故答案为