专题15三角恒等变换三角函数的应用（重难点突破）（原卷版）-2021年秋季高一数学上学期讲义（人教A版2019）

专题15三角恒等变换、三角函数的应用一、考情分析二、考点梳理1同角三角函数的基本关系式：，=，2正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3和角与差角公式;;.=(由点的象限决定,).3二倍角公式及降幂公式..4三角函数的周期公式函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期；函数，(A,ω,为常数，且A≠0)的周期.三角函数的图像：

三、题型突破重难点题型突破1和差公式的化简及求值例1．（1）、（2021·全国·高一课时练习）化简，得（）A． B． C． D．（2）、（2021·全国·高一课时练习）已知，，若，，则的值为（）A． B． C． D．【变式训练11】、（2018·浙江诸暨·高一期末）化简的结果为（）A． B． C． D．【变式训练12】、（2021·江苏·扬州中学高三月考）已知，则___________.【变式训练13】、（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知，则（）A． B． C． D．例2、（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【变式训练21】、（2021·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）；（4）.

重难点题型突破2二倍角公式与半角公式的顺用与逆用例3、（1）、（2021·全国·高一课时练习）已知，则值为（）A． B．C． D．（2）、（2021·广东·肇庆市第一中学高三月考）（多选题）下列三角式中，值为1的是（）A． B．C． D．【变式训练31】、（2020·江苏·南京二十七中高二月考）（多选题）下列说法正确的是（）A． B．C． D．【变式训练32】、（2021·北京·东直门中学高三期中）若sin，则sin2α=_____________．【变式训练33】、（2021·江苏·常州市武进区礼嘉中学高一月考）若，则=_____．

重难点题型突破3简单的三角恒等变换例4．（2021·上海市嘉定区第二中学高三期中）设函数.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，的最小值为1，求函数的最大值及对应的的值.例5．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三月考）已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.

【变式训练51】、（2020·福建省厦门市高三质检（理）已知函数.（1）求的单调递减区间；【变式训练52】、（2021·北京·东直门中学高三期中）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最小值为，求的最大值．

重难点题型突破4三角函数的图像与性质例6．（1）、（2021·甘肃·静宁县第一中学二模（理））如图，函数的部分图象经过点和，则（）A． B．C． D．（2）．（2021·湖南·长郡中学高三月考）（多选题）已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．的最小正周期为2B．的图象关于点对称C．的图象关于直线对称D．把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象【变式训练61】、（2021·四川省资中县第二中学高三月考（文））已知函数的部分图象如图所示．（1）求的最小正周期及解析式；（2）设，求函数在区间上的值域．

【变式训练62】、（2021·河南·高三月考（理））函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）先将函数图象上所有点向左平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求方程在区间上的实根之和.

重难点题型突破6三角函数的实际应用例7．（1）如图所示，“伦敦眼（TheLondonEye）”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，同时也是伦敦的地标.“伦敦眼”为庆祝新千年2000年而建造，因此又称“千禧摩天轮”.乘客可以乘坐“伦敦眼”升上半空，鸟瞰伦敦.“伦敦眼”共有32个乘坐舱，按旋转顺序依次为1~33号（因宗教忌讳，没有13号），并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等.已知乘客在乘坐舱距离地面最近时进入，后距离地面的高度，“伦敦眼”的旋转半径为，最高点距地面，旋转一周大约，现有甲乘客乘坐号乘坐舱，当甲乘坐“伦敦眼”时，乙距离地面的高度为，则乙所乘坐的舱号为（）A．或 B．或C．或 D．或(2)、（2022·全国·高三专题练习）健康成年人的收缩压和舒张压一般为和．心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为标准值．高三同学在参加高考之前需要参加统一的高考体检，其中血压、视力等对于高考报考有一些影响．某同学测得的血压满足函数式，其中为血压为时间，其函数图像如上图所示，则下列说法错误的是（）A．收缩压为 B． C．舒张压为 D．【变式训练71】、（2021·全国·高一课时练习）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转；且旋转一周用时60s．经过后，水斗旋转到P点，设P的坐标为，其纵坐标满足．则下列结论正确的是（）A．，，B．当时，点P到x轴的距离的最大值为6C．当时，函数是减函数D．当时，【变式训练72】、（2020·广西桂林·高一期末）港口水深是港口重要特征之一，表明其自然条件和船舶可能利用的基本界限，如图是某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：）的最大值为__________.

例8．（2021·江苏·高一课时练习）某港口海水的深度y(m)是时间t(时)(0≤t≤24)的函数，记为y＝f(t)．已知某日海水深度的数据如下：t(时)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察，y＝f(t)的曲线可近似地看成函数的图象．（1）根据以上数据，求出函数y＝f(t)＝Asinωt＋b的振幅、和表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?

四、定时训练（30分钟）1．（2021·重庆南开中学高三月考）___________.2．（2021·上海市第二中学高一期中）函数的最小正周期为________3．（2021·四川成都·高三月考（理））函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于､两点，且在轴上，圆的半径为，则___________.4．（2021·上海·上外浦东附中高一月考）设函数在的图像大致如图，则的最小正周期为______5．（2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中）（多选题）下列等式成立的是（）A．B．C．D．6．（2021·湖南新邵·高一期末）（多选题）已知函数，则（）A．为偶函数 B．在区间单调递减C．最大值为2 D．为奇函数7．（2022·全国·高三专题练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆的半径为4米，盛水筒从点处开始运动，与水平面的所成角为，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒距离水面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的函数关系式是（）A． B．C． D．8．（2021·江苏·高一课时练习）一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s（单位：）和时间t（单位：s）的函数关系式是，.（1）求小球摆动的周期；（2）已知，要使小球摆动的周期是1s，线的长度应当是多少？（精确到0.1，取3.14）

9．（2021·全国·高一单元测试）函数（，）的部分图象如图所示．（1）求的值及的增区间；（2）若图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，最后向上