第12题有点难的抽象函数问题（原卷版）

第12题有点难的抽象函数问题一、原题呈现【原题】已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则A. B. C. D.【答案】BC【解析】因为为偶函数,所以,令,得,C正确；由得,所以,两边求导得,令得,又均为偶函数,所以,所以,所以,所以,构造函数,则,则不成立,不成立,A,D错误,故选BC.【就题论题】本题以抽象函数为载体,考查函数的性质,对逻辑思维能力要求较高,对这类问题的考查近几年有升温趋势，涉及奇偶性与周期性的综合问题，有时可通过构造具体的三角函数辅助求解,该题的模型是.二、考题揭秘【命题意图】本题考查导数及函数的性质,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难点：难【考情分析】函数性质一直是高考考查的热点，综合考查抽象函数的性质是高考中的难点，此类问题常把函数求值、函数的奇偶性、单调性综合考查，如果还涉及周期性难度更大，常作为压轴题。【得分秘籍】1.是偶函数;是奇函数.2.若函数在处有意义，则.3.若满足对任意实数a,b都有,则是奇函数;4.若满足对任意实数a,b都有，则是奇函数.5.若的定义域，且对任意，都有，则是偶函数.6.若的图象关于直线对称,则或7.若的图象关于点对称,则或8.函数满足对定义域内任一实数都有（其中为非零常数）,①，则是以为周期的周期函数；②，则是以为周期的周期函数；③，则是以为周期的周期函数；④，则是以为周期的周期函数； ⑤，则是以为周期的周期函数.⑥，则是以为周期的周期函数.⑦，则是以为周期的周期函数9.若函数的图象既关于直线对称,又关于直线对称,则是周期函数,且是它的一个周期.10.若函数的图象既关于点对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.11.若函数的图象既关于直线对称,又关于点对称,则是周期函数,且是它的一个周期.12.对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x),则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝,则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－,则T＝2a(a>0)．13.增函数与减函数的等价形式：若，且，在上是增函数；在上是减函数.14.复合函数的单调性可简记为“同增异减”.15.若奇函数在区间上是增函数，则在区间上也是增函数；若偶函数在区间上是增函数，则在区间上是减函数.16.判断抽象函数的单调性,一般根据定义来判断,即在所给区间上,然后利用题中条件确定的大小.17.解决周期性、奇偶性与单调性及图象的结合．问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,将涉及到的自变量转化到已知解析式的函数定义域内,然后利用奇偶性和单调性求解．三、三年新高考同类题展示1.（2022新高考全国2卷）已知函数的定义域为R,且,则（）A. B. C.0 D.12.（2020新高考山东卷）若定义在的奇函数f(x)在单调递减,且f(2)=0,则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.3.（2021新高考全国2卷）已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则（）A. B. C. D.四、以例及类 （以下所选试题均来自新高考1卷地区2022年1月以后模拟试卷）1．（2022届山东省肥城市高考适应性训练）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且则（

）A． B． C． D．2．（2022届湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模）函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C． D．3．（2022届广东省惠州市六校联盟高三下学期第六次联考）定义在上的函数满足.若的图象关于直线对称，则下列选项中一定成立的是（

）A． B． C． D．4．（2023届江苏省南京市高三上学期9月学情调研）已知函数，任意，满足，且，则的值为（

）A． B．0 C．2 D．45．（2022届福建省厦门集美中学高三下学期最后一卷）已知函数是定义域为R的函数，，对任意，，均有，已知a，b为关于x的方程的两个解，则关于t的不等式的解集为（

）A． B． C． D．6．（2023届湖南省邵阳市第二中学高三上学期月考）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．7．（2022届江苏省七市高三下学期第二次调研）已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(

)A．－3 B．－2 C．2 D．38．（2023届湖北省九校教研协作体高三上学期考试）已知正实数C满足：对于任意，均存在，使得，记C的最小值为，则（

）A． B．C． D．9．（多选）（2023届福建省龙岩第一中学高三上学期第一次月考）已知函数为上的奇函数，为偶函数，下列说法正确的有（

）A．图象关于对称 B．C．的最小正周期为4 D．对任意都有10．（多选）（2023届山东省青岛市高三上学期期初调研）已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则（

）A． B．C． D．11．（多选）（2023届湖北省“宜荆荆恩”20222023学年高三上学期起点考试）函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（

）A．函数的图象关于直线对称B．若的导函数为，定义域为，则C．的图象关于点中心对称D．设数列为等差数列，若，则12．（多选）（2023届广东省广州市高三上学期8月阶段测试）已知函数及其导函数的定义域均为R，对任意的，，恒有，则下列说法正确的有（

）A． B．必为奇函数C． D．若，则13．（多选）（2023届江苏省南通市海安市高三上学期期质量监测）设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（

）A．为奇函数B．的解析式唯一C．若是周期为的函数，则D．若时，，则是上的增函数14．（多选）（2023届江苏省扬州市宝应县高三上学期期初检测）设函数的定义域为，且满足，，当时，，则下列说法正确的是（

）A． B．当时，的取值范围为C．为奇函数 D．方程仅有5个不同实数解15．（2023届福建省上杭第一中学高三上学期考试）定义在上的函数满足以下两个性质：①，②，满足①②的一个函数是______．16．（2022届山东省东营市胜利第一中学高三仿真演练试）已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且，则_________．17．（2023届湖南省邵阳市第二中学高三上学期第二次月考）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为___________.18．（2022届江苏高考押题预测卷02）已知奇函数在区间上是