重点题型训练6-2021-2022学年北师大版高中数学教师版

北师大版（新教材）高一必修1重点题型N6第二章函数考试范围：3.函数的单调性和最值；考试时间：100分钟；命题人：LEOG学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型1、函数单调性判断与单调区间的求解1．设函数f（x）＝（a＞b＞0），求f（x）的单调区间，并加以证明．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】根据题意，先求出函数的定义域，由函数单调性的定义，用定义法证明即可得结论．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝（a＞b＞0），其定义域为{x|x≠﹣b}，在区间（﹣∞，﹣b）和（﹣b，+∞）上为减函数；证明：f（x）＝＝1+，设x1＜x2＜﹣b，f（x1）﹣f（x2）＝（1+）﹣（1+）＝（a﹣b），又由x1＜x2＜﹣b，则有（x1+b）＜0，（x2+b）＜0，（x2﹣x1）＞0，则f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（﹣∞，﹣b）为减函数；设b＜x1＜x2，同理可得：f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（﹣∞，﹣b）为减函数；故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣b）和（﹣b，+∞）．【点评】本题考查函数的单调性的判定，注意对a、b的值分情况讨论．2．函数y＝的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】化简函数y＝2﹣，结合y＝﹣的单调性，可得所求区间．【解答】解：函数y＝＝2﹣，可得函数y＝的增区间为（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）和（﹣1，+∞）．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查转化思想和推理能力，属于基础题．3．已知函数f（x）＝|1+2x|+|2﹣x|，则f（x）的单调递增区间为（﹣，+∞），单调递减区间为（﹣∞，﹣]．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】利用绝对值的含义化简f（x）的解析式，作出f（x）的图象，利用图象判断函数单调区间．【解答】解：f（x）＝画出函数f（x）的大致图象（如图），结合图象，得函数的单调递增区间是，单调递减区间是．故答案为：．【点评】本题考查利用图象求函数的单调区间，属于基础题．4．函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调递减区间为（﹣1，0），（1，+∞），函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，3）．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】利用函数图象的变换法则，作出函数图象，利用函数图象即可得到单调区间．【解答】解：作出函数y＝﹣x2+2|x|+3＝﹣|x|2+2|x|+3的图象如下图所示：由图象可知，函数y＝﹣x2+2|x|+3的单调递减区间为（﹣1，0），（1，+∞）；作出函数y＝|﹣x2+2x+3|的图象如下图所示：由图象可知，函数y＝|﹣x2+2x+3|的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（1，3）．故答案为：（﹣1，0），（1，+∞）；（﹣∞，﹣1），（1，3）．【点评】本题考查利用函数图象求函数的单调性，解题的关键是根据函数图象的变换，正确作出函数图象，属于基础题．5．判断函数y＝x﹣，x∈（0，+∞）的单调性并说明理由．【考点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【分析】根据题意，设0＜x1＜x2，由作差法分析可得结论．【解答】解：根据题意，函数y＝x﹣在（0，+∞）上递增，证明：设f（x）＝x﹣，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（x1﹣）﹣（x2﹣）＝（x1﹣x2）（1+），又由0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＜0，故函数y＝x﹣在（0，+∞）上递增．【点评】本题考查函数单调性的判断和证明，注意作差法的应用，属于基础题．6．函数f（x）＝的单调递增区间为[﹣2，2]．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】根据二次个数的性质以及二次个数的性质求出函数的递增区间即可．【解答】解：令g（x）＝﹣x2+4x+12＝﹣（x﹣2）2+16，令g（x）≥0，解得：﹣2≤x≤6，而g（x）的对称轴是：x＝2，故g（x）在[﹣2，2）递增，在（2，6]递减，故函数f（x）在[﹣2，2]递增，故答案为：[﹣2，2]．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性问题，是一道基础题．7．函数f（x）＝的单调递增区间是[0，1]．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t＝2x﹣x2，则y＝为增函数，由2x﹣x2≥0，得0≤x≤2，即函数的定义域为[0，2]，函数t＝2x﹣x2的对称轴为x＝1，要求f（x）的单调递增区间，即求函数t＝2x﹣x2的单调递增区间，∵t＝2x﹣x2的单调递增区间为[0，1]，∴函数f（x）的单调递增区间为[0，1]，故答案为：[0，1]【点评】本题主要考查函数单调递增区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系，利用换元法是解决本题的关键．8．下列函数中，定义域为R且在R上为增函数的是（）A．y＝（x﹣1）2 B．y＝x•|x| C． D．y＝|x+2|【考点】函数的定义域及其求法；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质与判断．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域以及单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝（x﹣1）2，为二次函数，在R上不是增函数，不符合题意；对于B，y＝x|x|＝，定义域为R且在R上为增函数，符合题意；对于C，y＝﹣，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意；对于D，y＝|x+2|＝，在R上不是增函数，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查函数的单调性以及定义域，关键是掌握常见函数的定义域以及单调性，属于基础题．9．已知函数f（x）＝|x2﹣4x+3|．（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；（2）求集合M＝{m|m使方程f（x）＝mx有四个不相等的实根}．【考点】函数的单调性及单调区间；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）作出函数的图象，根据图象可得函数的单调区间；（2）利用图象，考虑y＝mx与图象有四个交点，即可得到结论．【解答】解：（1）f（x）＝|（x﹣2）2﹣1|，函数图象如图，∴f（x）的单调递增区间是（1，2），（3，+∞），单调递减区间是（﹣∞，1），（2，3）；（2）由图象，考虑y＝mx与抛物线相切时，m＝4﹣2，∵y＝mx与图象有四个交点，∴0＜m＜4﹣2，即使方程f（x）＝mx有四个不相等的实根时，0＜m＜4﹣2，∴M＝{m|0＜m＜4﹣2}．【点评】本题考查函数的单调区间，考查数形结合的数学思想，正确作出函数的图象是关键．10．判断并证明函数f（x）＝在区间（﹣1，0）上的单调性．【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据题意，设﹣1＜x1＜x2＜0，作差分析可得f（x1）﹣f（x2）＝，结合﹣1＜x1＜x2＜0，分析可得f（x1）﹣f（x2）＜0，由函数单调性的定义，分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝在区间（﹣1，0）上单调递增，证明如下：设﹣1＜x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝，又由﹣1＜x1＜x2＜0，则x2﹣x1＞0，x2+x1＜0，x12﹣1＜0，x22﹣1＜0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）＝在区间（﹣1，0）上单调递增．【点评】本题考查函数单调性的判断，关键是掌握定义法证明函数单调性的步骤．题型2、抽象函数的单调性的判断（了解）1．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y）对所有的正数x、y都成立，f（2）＝﹣1且当x＞1，f（x）＜0．（1）求f（1）的值（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性（3）若关于x的不等式f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1在（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围【考点】函数单调性的性质与判断；抽象函数及其应用．【分析】（1）由f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），又当x＞1，f（x）＜0，得f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）由f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y），f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1），又f（x）在（0，+∞）上单调递减，得关于k的不等式组，解之得实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y），取x＝1，y＝1得：f（1）＝f（1）+f（1）；∴f（1）＝0；（2）设x1＞x2＞0则f（x1）﹣f（x2）＝f（x2•）﹣f（x2）＝f（），∵x1＞x2＞0；∴；又x＞1时，f（x）＜0；∴；∴f（x1）﹣f（x2）＜0；∴f（x1）＜f（x2）；∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；（3）∵f（2）＝﹣1，f（xy）＝f（x）+f（y）；由f（kx）﹣f（x2﹣kx+1）≥1得f（2kx）≥f（x2﹣kx+1）又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴∴∴∴0＜k≤．【点评】本题主要考查抽象函数的单调性及恒成立问题，是综合性题目，单调性的证明用定义法，恒成立问题用转化思想，属难题．2．已知函数f（x）定义域为R，f（1）＝2，f（x）≠0，对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）•f（y），当x＞0时，f（x）＞1；（1）判断f（x）在R上的单调性，并证明；（2）解不等式f（x）f（x﹣2）＞16．【考点】函数单调性的性质与判断；抽象函数及其应用．【分析】（1）可令x+y＝x1，x＝x2，从而得出y＝x1﹣x2，再由f（x）≠0即可得出，根据条件可得出f（x）＞0，不妨设x1＞x2，从而得出f（x1﹣x2）＞1，这样即可得到f（x1）＞f（x2），从而得出f（x）在R上单调递增；（2）根据条件可得出f（4）＝16，f（x）f（x﹣2）＝f（2x﹣2），从而将原不等式化成f（2x﹣2）＞f（4），根据f（x）的单调性即可得出2x﹣2＞4，从而得出原不等式的解集．【解答】解：（1）f（x）在R上单调递增，证明如下：令x+y＝x1，x＝x2，则y＝x1﹣x2；∴f（x1）＝f（x2）f（x1﹣x2）；∵f（x）≠0；∴；不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0；又x＞0时，f（x）＞1；∴f（x1﹣x2）＞1；∴；∵；∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在R上单调递增；（2）∵f（1）＝2，∴f（2）＝f（1+1）＝f2（1）＝4；∴f（4）＝f（2+2）＝f2（2）＝16；∴f（x）f（x﹣2）＞16可化为f（2x﹣2）＞f（4）；由（1）知，f（x）在R上单调递增；∴2x﹣2＞4；∴x＞3；∴原不等式的解集为（3，+∞）．【点评】考查函数单调性的定义，函数单调性的判断及证明，会应用条件f（x+y）＝f（x）f（y），根据单调性定义解不等式．3．定义在（0，+∞）上的函数f（x），对于任意的m，n∈（0，+∞），都有f（mn）＝f（m）+f（n）成立，当x＞1时，f（x）＜0．（1）判断f（x）是（0，+∞）上的单调性并利用定义证明；（2）当时，解不等式f（ax+16）＞﹣1．【考点】函数单调性的性质与判断；抽象函数及其应用．【分析】（1）可看出f（x）在（0，+∞）上单调递减，根据减函数的定义证明：设任意的x1，x2∈（0，+∞），并且x1＜x2，根据f（mn）＝f（m）+f（n）即可得出，然后根据当x＞1时，f（x）＜0即可得出f（x1）＞f（x2），从而证出f（x）在（0，+∞）上单调递减；（2）根据即可得出f（16）＝﹣1，从而由f（ax+16）＞﹣1得出f（ax+16）＞f（16），根据f（x）的单调性即可得出0＜ax+16＜16，进而得出﹣16＜ax＜0，讨论a即可解出该不等式．【解答】解：（1）f（x）是（0，+∞）上的单调递减．证明如下：设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，则由于对任意正实数m，n都有f（mn）＝f（m）+f（n），∴即，又当x＞1时，f（x）＜0，而，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；（2）根据条件有，f（16）＝f（4）+f（4）＝﹣1，∴f（ax+16）＞﹣1等价于f（ax+16）＞f（16），由（1）知f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，∴0＜ax+16＜16，即﹣16＜ax＜0，若a＝0时，﹣16＜0＜0不成立，此时不等式的解集为空集；若a＞0时，，此时不等式的解集为；若a＜0时，，此时不等式的解集为．【点评】本题考查了减函数的定义，根据减函数的定义证明一个函数是减函数的方法和过程，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题．4．已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），并且当x＞0时，f（x）＞0．（1）求证：f（x）是R上的增函数；（2）若f（4）＝6，解关于m的不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．【考点】函数单调性的性质与判断；抽象函数及其应用．【分析】（1）可设x1，x2∈R，并且x1＜x2，这样根据f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），即可得出f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1），又由条件x＞0时，f（x）＞0，并且x2﹣x1＞0，从而得出f（x2﹣x1）＞0，即得出f（x1）＜f（x2），从而证出f（x）在R上是增函数；（2）根据f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b），及f（4）＝6即可求出f（2）＝3，从而原不等式可变成f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），根据f（x）是R上的增函数即可得出3m2﹣m﹣2＜2解出m的范围即可．【解答】解：（1）证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2；∵f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）；∴f（x2）﹣f（x1）＝f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）；∵x＞0时，f（x）＞0；又x2﹣x1＞0；∴f（x2﹣x1）＞0；∴f（x2）＞f（x1）；∴f（x）在R上是增函数；（2）∵f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）；∴f（4）＝f（2）+f（2）＝6；∴f（2）＝3；∴由f（3m2﹣m﹣2）＜3得，f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），且f（x）是R上的增函数；∴3m2﹣m﹣2＜2；解得；∴不等式的解集为．【点评】考查增函数的定义，根据增函数的定义证明一个函数是增函数的方法和过程，以及一元二次不等式的解法．5．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且对任意的x，y∈（0，+∞）都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，且f（4）＝5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（1）+f（2﹣m）＞4．【考点】函数单调性的性质与判断；抽象函数及其应用．【分析】（1）令x＝y＝2，结合f（4）＝5，即可求解f（2）；（2）由f（1+1）＝f（1）+f（1）﹣1，可求f（1）＝2，然后结合f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，可求不等式．【解答】解：（1）对任意的x，y∈（0，+∞）都有f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，∵f（4）＝5，令x＝y＝2，∴f（4）＝f（2）+f（2）﹣1＝5，∴f（2）＝3，（2）由f（1+1）＝f（1）+f（1）﹣1，可得f（1）＝2，∵f（1）+f（2﹣m）＞4．∴f（2﹣m）＞2＝f（1），∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴2﹣m＞1，∴m＜1，故不等式的解集为（﹣∞，1）．【点评】本题主要考查了利用赋值法求解函数值及利用函数的单调性求解不等式，属于函数性质的简单应用．题型3、函数单调性的应用——比较大小1．设函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且∀x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2）有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则（）A．f（﹣2）＜f（﹣3）＜f（1） B．f（﹣3）＜f（﹣2）＜f（1） C．f（﹣1）＜f（﹣2）＜f（3） D．f（﹣1）＜f（3）＜f（﹣2）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】由已知得到函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，且函数又是偶函数即可判断．【解答】解：∵对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣2）＝f（2），∴f（1）＜f（2）＜f（3），即f（1）＜f（﹣2）＜f（3），故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，属基础题．2．已知定义域为R的函数f（x）在区间（﹣∞，5）上单调递减，对任意实数t，都有f（5+t）＝f（5﹣t），那么下列式子一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（9）＜f（13） B．f（13）＜f（9）＜f（﹣1） C．f（9）＜f（﹣1）＜f（13） D．f（13）＜f（﹣1）＜f（9）【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】由f（5+t）＝f（5﹣t），知函数f（x）的图象关于x＝5对称，然后利用在区间（﹣∞，5）上单调递减，可得函数在R上的单调性，从而可得函数值的大小关系．【解答】解：∵f（5+t）＝f（5﹣t）∴函数f（x）的图象关于x＝5对称∴f（﹣1）＝f（11），∵函数f（x）在区间（﹣∞，5）上单调递减，∴f（x）在（5，+∞）上为单调递增．∴f（9）＜f（11）＜f（13），即f（9）＜f（﹣1）＜f（13）．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性及单调区间，同时考查了函数图象的对称性，注意数形结合，是个基础题．3．定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（2）＜f（4） B．f（1）＜f（2）＜f（3） C．f（2）＜f（1）＜f（3） D．f（3）＜f（1）＜f（0）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据函数单调性的等价条件，即可到底结论．【解答】解：若对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有＜0，则函数f（x）满足在[0，+∞）上单调递减，则f（3）＜f（1）＜f（0），故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数单调性的等价条件是解决本题的关键．4．已知函数y＝f（x）在区间[﹣5，5]上是增函数，那么下列不等式中成立的是（）A．f（4）＞f（﹣π）＞f（3） B．f（π）＞f（4）＞f（3） C．f（4）＞f（3）＞f（π） D．f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据f（x）在[﹣5，5]上是增函数，所以比较4，﹣π，3，π，﹣3，﹣4这几个数的大小即可得到对应函数值的关系．【解答】解：∵f（x）在[﹣5，5]上是增函数，∴A．﹣π＜3，∴f（﹣π）＜f（3），所以该选项错误；B．π＜4，∴f（π）＜f（4），所以该选项错误；C.3＜π，∴f（3）＜f（π），所以该选项错误；D．﹣3＞﹣π＞﹣4，∴f（﹣3）＞f（﹣π）＞f（﹣4），所以该选项正确．故选：D．【点评】考查增函数的定义：定义域内的两个变量x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）．5．定义在R上的函数f（x）满足对任意x1，x2（x1≠x2）都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，则下列关系式恒成立的是（）A．f（a）＞f（2a） B．f（a2）＜f（a） C．f（a2+1）＜f（2a） D．f（a2+2）＜f（2a）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】由条件（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0可知函数f（x）为单调递减函数，然后根据单调性进行判断．【解答】解：∵函数f（x）满足（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，即函数f（x）为单调递减函数，∵a2+2﹣2a＝（a﹣1）2+1＞0，∴a2+2＞2a，∴f（a2+2）＜f（2a）．故选：D．【点评】本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0得到函数f（x）为单调递减函数是解决本题的关键．题型4、函数单调性的应用——解不等式1．已知函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（）的x的取值范围是（）A．（，） B．[，） C．（，） D．[，）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】由函数的单调性的性质可得0≤2x﹣1＜，由此求得x的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）是定义在区间[0，+∞）上的增函数，则满足f（2x﹣1）＜f（），∴0≤2x﹣1＜，解得≤x＜，故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．2．已知函数f（x）的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，则不等式f（3x﹣1）＞f（x+5）的解集为（）A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，2） C．（3，+∞） D．（2，+∞）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据题意可得出f（x）在R上是增函数，从而由原不等式可得出3x﹣1＞x+5，然后解出x的范围即可．【解答】解：不妨设a＞b，∵（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，∴f（a）＞f（b），∴f（x）是R上的增函数，原不等式等价于3x﹣1＞x+5，解得x＞3，∴原不等式的解集为（3，+∞）．故选：C．【点评】本题考查了增函数的定义，考查了推理和计算能力，属于基础题．3．已知函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，且f（3）＝4，则不等式f（2x﹣1）＞2x的解集为（）A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（0，+∞） D．（﹣1，+∞）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】由题意可得函数R（x）＝f（x）﹣x是R上的增函数，由此求出不等式f（2x﹣1）＞2x的解集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为R，对任意x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2，即＞0，故函数R（x）＝f（x）﹣x是R上的增函数，f（2x﹣1）＞2x，即f（2x﹣1）﹣（2x﹣1）＞1，即R（2x﹣1）＞1，而R（3）＝f（3）﹣3＝1，故R（2x﹣1）＞R（3），故2x﹣1＞3，解得：x＞2，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，判断函数R（x）＝f（x）﹣x是R上的增函数，是解题的关键，属于中档题．4．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（m+9），则实数m的取值范围是（）A．（9，+∞） B．[9，+∞） C．（﹣∞，﹣9） D．（﹣∞，9]【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据函数的单调性的定义可得：2m＞m+9，由此解得m的范围．【解答】解：∵函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f（m+9），∴2m＞m+9，解得m＞9，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的应用，属于基础题．5．已知函数，若f（a2﹣4）＞f（3a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣4，1） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） C．（﹣1，4） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】由已知可知f（x）单调递增，结合单调性即可求解不等式．【解答】解：由分段函数的性质可知，f（x）在R上单调递增，若f（a2﹣4）＞f（3a），则a2﹣4＞3a，解可得，a＞4或a＜﹣1．故选：D．【点评】本题主要考查了利用函数的单调性求解不等式，属于基础试题．题型5、利用函数的单调性求参数的值或取值范围1．函数y＝x2+2（m﹣1）x+3在区间（﹣∞，﹣2]上是减函数，则m的取值范围是（）A．m≤3 B．m≥3 C．m≤﹣3 D．m≥﹣3【考点】函数单调性的性质与判断；二次函数的性质与图象．【分析】先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴左边递减，比较区间端点和对称轴的关系可得结论．【解答】解：因为函数y＝x2+2（m﹣1）x+3开口向上，对称轴为x＝﹣＝1﹣m；又因为区间（﹣∞，﹣2]上是减函数所以应有1﹣m≥﹣2⇒m≤3．故选：A．【点评】本题考查二次函数的单调性．二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决定．开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；开口向下的二次函数在对称轴左边递增，右边递减．2．已知f（x）＝﹣x2+2ax+3与函数g（x）＝|x﹣3a|在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围为（）A．[，1] B．[1，+∞）∪（﹣∞，] C．（，1） D．[1，+∞）∪（﹣∞，）【考点】函数单调性的性质与判断；二次函数的性质与图象．【分析】对于f（x），由二次函数的性质，求f（x）在区间[1，2]上是减函数时a的取值范围，而g（x）＝|x﹣3a|＝，由此可得g（x）在区间[1，2]上是减函数时a的取值范围，综合可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝﹣x2+2ax+3，为开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，若f（x）在区间[1，2]上是减函数，必有a≤1，g（x）＝|x﹣3a|＝，在区间（﹣∞，3a]上为减函数，若g（x）在区间[1，2]上是减函数，必有3a≥2，即a≥，综上，a的取值范围为[，1]．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及二次函数的单调性，属于基础题．3．函数f（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x与，这两个函数在区间[1，2]上都是减函数，则实数a∈（）A．（﹣2，﹣1）∪（1，2） B．（﹣1，0）∪（1，4] C．（1，2） D．（1，3]【考点】函数单调性的性质与判断；二次函数的性质与图象．【分析】根据题意，对于f（x），由二次函数的性质分析可得a≤3，对于g（x），结合反比例函数的性质可得a的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x2+2（a﹣2）x为二次函数，其开口向下且对称轴为x＝a﹣2，若f（x）在区间[1，2]上是减函数，必有a﹣2≤1，则有a≤3；，若g（x）在区间[1，2]上是减函数，必有a﹣1＞0，则有a＞1，综合可得：1＜a≤3，即a的取值范围为（1，3]；故选：D．【点评】本题考查函数单调性的判断以及应用，涉及二次函数的单调性，属于基础题．4．已知函数f（x）＝﹣x2+2（a﹣1）x与函数均在区间[3，4]上为减函数，则a的取值范围为（）A．[2，4] B．[2，+∞） C．[5，6] D．（2，4]【考点】函数单调性的性质与判断；二次函数的性质与图象．【分析】根据题意，对于f（x），由二次函数的性质分析f（x）在区间[3，4]上为减函数时a的取值范围，对于g（x），由反比例函数的性质分析g（x）在区间[3，4]上为减函数时a的取值范围，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x2+2（a﹣1）x，为开口向下的二次函数，其对称轴为x＝﹣＝a﹣1，若f（x）在区间[3，4]上为减函数，必有a﹣1≤3，即a≤4，若函数在区间[3，4]上为减函数，必有a﹣2＞0，即a＞2，综合可得：a的取值范围为（2，4]，故选：D．【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及二次函数和反比例函数的性质，属于基础题．5．已知f（x）＝x2﹣（m+2）x+2在[1，3]上是单调函数，则实数m的取值范围为m≤0或m≥4．【考点】函数的单调性及单调区间．【分析】根据题意，求出函数的对称轴，结合函数单调性的定义分析可得≤1或≥3，解可得m的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝x2﹣（m+2）x+2为二次函数，其对称轴为x＝，若f（x）在[1，3]上是单调函数，则有≤1或≥3，解可得m≤0或m≥4，即m的取值范围为m≤0或m≥4；故答案为：m≤0或m≥4．【点评】本题考查二次函数的单调性，注意分析函数的对称轴，属于基础题．6.已知函数f（x）＝是R上的增函数，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a≤﹣2 D．a＜0【考点】函数单调性的性质与判断；二次函数的性质与图象．【分析】由函数f（x）上R上的增函数可得函数，设g（x）＝﹣x2﹣ax﹣5，h（x）＝，则可知函数g（x）在x≤1时单调递增，函数h（x）在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1），从而可求【解答】解：∵函数是R上的增函数设g（x）＝﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）＝（x＞1）由分段函数的性质可知，函数g（x）＝﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]单调递增，函数h（x）＝在（1，+∞）单调递增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的单调性的应用，反比例函数的单调性的应用，主要分段函数的单调性应用中，不要漏掉g（1）≤h（1）7．已知f（x）＝是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，） C．（﹣∞，） D．（﹣∞，]∪（，+∞）【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据分段函数单调性的性质建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：当x≥1时，函数f（x）＝﹣x+1为减函数，此时函数的最大值为f（1）＝0，要使f（x）在R上的减函数，则满足，即，解集≤a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系是解决本题的关键．8．函数f（x）＝是定义在R上的增函数，则a的取值范围是（）A．（0，+∞） B．{3} C．（0，3） D．（0，3]【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可求出a的范围．【解答】解：x≥0时，f（x）＝ax+3，若f（x）在[0，+∞）递增，则a＞0x＜0时，f（x）＝﹣x2+2x+a＝﹣（x﹣1）2+a+1，对称轴x＝1，f（x）在（﹣∞，0）递增，若f（x）在R递增，则a≤3，综上：0＜a≤3，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查一次函数以及二次函数的性质，是一道基础题．9．已知函数f（x）＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜1 B．≤a＜1 C．≤a＜1 D．0＜a≤【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】根据常见函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：≤a＜1，故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查常见函数的性质，是一道常规题．10．已知函数f（x）＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（0，2] C．（0，3） D．（0，3]【考点】函数单调性的性质与判断．【分析】由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a﹣3）×1+5≥2a，由此可求a的取值范围．【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥2a③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选：B．【点评】本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．题型6、函数的最值及应用1．已知函数f（x）＝．（Ⅰ）判断函数f（x）在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明其结论；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[2，9]上的最大值与最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）利用函数的单调性的定义证明即可．（Ⅱ）利用函数的单调性，求解函数的最值即可．【解答】（Ⅰ）解：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，＝＝．∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．（Ⅱ）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为，最小值为．【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．2．已知函数f（x）＝．（1）判断函数在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1，4]上的最大值与最小值．【考点】函数单调性的性质与判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据增函数的定义进行判断和证明；（2）利用（1）的结论，利用函数的单调性．【解答】解：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝＝，∵x1﹣x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．（2）由（1）知函数f（x）在[1，4]上是增函数，∴最大值f（4）＝，最小值f（1）＝．【点评】本题主要考查函数的单调性和最大（小）值，属于比较基础题．3．已知函数f（x）＝（x﹣t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）当t＞0时，若f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值为M（t），最小值为m（t），求M（t）﹣m（t）的最小值．【考点】函数的单调性及单调区间；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）根据分段函数的表达式，结合一元二次函数的性质即可求函数y＝f（x）的单调区间；（Ⅱ）讨论t的范围，结合一元二次函数的性质求出函数的最值进行求解即可．【解答】（Ⅰ）解：（1），…（1分）当t＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为[0，]…（3分）当t＝0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）…（4分）当t＜0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），，单调减区间为…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知t＞0时f（x）在（﹣∞，0）上递增，在上递减，在上递增从而当即t≥4时，M（t）＝f（0）＝0，…（7分），m（t）＝min{f（﹣1），f（2）}＝min{﹣1﹣t，4﹣2t}…（8分）所以，当4≤t≤5时，m（t）＝﹣1﹣t，故M（t）﹣m（t）＝1+t≥5…（9分）当t＞5时，m（t）＝4﹣2t，故M（t）﹣m（t）＝2t﹣4＞6…（10分）当＜2≤t，即2≤t＜4时，M（t）＝f（0）＝0，m（t）＝min{f（﹣1），f（）}＝min{﹣1﹣t，﹣}＝﹣1﹣t，…（11分）所以，M（t）﹣m（t）＝t+1≥3…（12分）当0＜t＜2时，M（t）＝f（2）＝4﹣2t…（13分）m（t）＝min{f（﹣1），f（）}＝min{﹣1﹣t，﹣}＝﹣1﹣t，…（11分）所以，M（t）﹣m（t）＝5﹣t＞3…（14分）综上所述，当t＝2时，M（t）﹣m（t）取得最小值为3．…（15分）【点评】本题主要考查函数最值的应用，根据条件将函数转化为分段函数形式，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．综合性较强．4．设a为实数，函数f（x）＝x2﹣|x﹣a|+1，x∈R．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）根据a＝0时，x在[0，2]上，取绝对值，根据二次函数的单调性即可求解在区间[0，2]上的最大值和最小值；（Ⅱ）利用零点分段去绝对值，根据对称轴分情况讨论即可求函数f（x）的最小值【解答】解：（Ⅰ）当a＝0，x∈[0，2]时，函数f（x）＝x2﹣x+1，因为f（x）的图象抛物线开口向上，对称轴为，所以，当时，f（x）值最小，最小值为；当x＝2时，f（x）值最大，最大值为3．（Ⅱ）①当x≤a时，函数．若，则f（x）在（﹣∞，a]上单调递减，在（﹣∞，a]上的最小值为f（a）＝a2+1；若，则函数f（x）在（﹣∞，a]上的最小值为；②当x＞a时，．若，则f（x）在[a，+∞）上的最小值为；若，则f（x）在[a，+∞）上单调递增，f（x）＞f（a）＝a2+1．所以，当时，，f（x）的最小值为．当时，，f（x）的最小值为．当时，f（x）的最小值为与中小者．所以，当时，f（x）的最小值为；当时，f（x）的最小值为综上，当a＜0时，f（x）的最小值为；当a≥0时，f（x）的最小值为．【点评】本题主要考查函数最值的求解，利用零点分段思想以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．5．已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[1，2]时，若函数g（x）＝x•f（x）﹣2ax+2的最小值为，求a的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）设f（x）＝kx+b，则3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝kx+（5k+b），进而求解；（2）因为x∈[1，2]时，g（x）＝x2﹣2x﹣2ax+2＝x2﹣2（1+a）x+2，对称轴x＝a+1，讨论对称轴与区间端点的关系，进而求解．【解答】解：（1）设f（x）＝kx+b，则3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝kx+（5k+b），∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）＝x+3，∴k＝1且5k+b＝3，∴b＝﹣2，∴f（x）＝x﹣2；（2）因为x∈[1，2]时，g（x）＝x2﹣2x﹣2ax+2＝x2﹣2（1+a）x+2，对称轴x＝a+1，①当a+1≤1时，即a≤0时，g（x）min＝g（1）＝1﹣2a，则得，此时不成立；②当1＜a+1＜2，即0＜a＜1时，g（x）min＝g（a+1）＝﹣a2﹣2a+1，则得或（舍）；③当a+1≥2，即a≥1时，g（x）min＝g（2）＝2﹣4a．则得，此时不成立，综上可得：．【点评】（1）考查一次函数解析式的求解；考查二次函数在特定区间上最值问题，通过讨论对称轴与区间端点的关系求解．6．已知二次函数f（x）的图象过点，且最小值为．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣（1+2m）x+1（m∈R）在[2，+∞）上的最小值为﹣3，求实数m的值．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）根据题意，分析f（x）的对称轴，设，将点（0，1）代入其解析式，解可得a的值，即可得答案；（Ⅱ）根据题意，求出g（x）的解析式，分m≤2与m＞2两种情况讨论，结合函数的最小值求出m的值，综合即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：二次函数f（x）的图象过点，则f（x）的对称轴为对称轴，设，又f（x）的图象过点（0，1），代入得，解得a＝2，＝2x2+x+1，故f（x）＝2x2+x+1；（Ⅱ）由已知g（x）＝f（x）﹣x2﹣（1+2m）x+1＝x2﹣2mx+2，对称轴为直线x＝m，开口向上，分两种情况：①当m≤2时，函数g（x）在区间[2，+∞）单调递增，g（x）min＝g（2）＝6﹣4m＝﹣3，得到，与m＜2矛盾．②当m＞2时，函数g（x）在区间[2，m）单调递减，在区间[m，+∞）单调递增，从而，得到或舍掉与m＞2矛盾；综上所述：．【点评】本题考查二次函数的性质，关键是求出该二次函数的解析式，属于基础题．7．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值a（a∈R）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若（m＞0，n＞0），试比较m+2n与2的大小．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值，利用分段函数写出f（x）的解析式，再计算f（x）的最大值a；（Ⅱ）由＝2，利用基本不等式求m+2n的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝；∴f（x）的最大值为f（﹣1）＝2，∴a＝2；（Ⅱ）∵＝2，且m＞0，n＞0，∴m+2n＝（m+2n）××（+）＝×（2++）≥×（2+2）＝2，当且仅当＝，即m＝1，n＝时等号成立；所以m+2n≥2．【点评】本题考查了含有绝对值的函数以及基本不等式的应用问题，是基础题．8．已知函数f（x）＝．（1）求函数f（x）在区间[0，2]上的最值；（2）若关于x的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0在区间（1，4）内有两个不等实根，求实数a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义；函数零点的判定定理．【分析】（1）利用换元法令t＝x+1，t∈[1，3]，从而化为y＝t+﹣2，从而求闭区间上的最值；（2）当x∈（1，4）时，可化方程为a＝＝x+，从而作函数y＝x+在（1，4）上的图象，结合图象求解即可．【解答】解：（1）令t＝x+1，t∈[1，3]，则x＝t﹣1，故y＝f（x）＝＝＝t+﹣2，由对勾函数的性质可知，函数y＝g（t）＝t+﹣2在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；且g（1）＝1+4﹣2＝3，g（2）＝2+2﹣2＝2，g（3）＝3+﹣2＝，故函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为2，最大值为3；（2）当x∈（1，4）时，∵（x+1）f（x）﹣ax＝0，∴（x2+3）﹣ax＝0，故a＝＝x+，作函数y＝x+在（1，4）上的图象如下，，其中ymin＝+＝2，y|x＝1＝1+3＝4，y|x＝4＝4+＞4，故结合图象可知，当2＜a＜4时，关于x的方程（x+1）f（x）﹣ax＝0在区间（1，4）内有两个不等实根．故实数a的取值范围为2＜a＜4．【点评】本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用．9．已知函数f（x）＝ax2﹣x+1﹣a．（1）当a＝1时，求函数y＝f（x）在[﹣3，3]上的最大值与最小值．（2）当a＞0时，记，若对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，总有，求a的取值范围．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出函数的最值，（2）问题转化为只需当x∈[﹣3，﹣1]时，，分类讨论，根据函数的单调性即可求出．【解答】解：（1）当a＝1时，，∵，∴当x＝﹣3时，f（x）max＝12，当时，（2）由题意可知：要使得对任意x1，x2∈[﹣3，﹣1]，总有只需当x∈[﹣3，﹣1]时，①当a≥1时，g（x）在[﹣3，﹣1]上单调递增即：，所以，所以，不合题意）②当0＜a＜1时（Ⅰ）当时，g（x）在[﹣3，﹣1]上单调递增，解得（Ⅱ）时，g（x）在上单调递增，上单调递减可得，解得（Ⅲ），g（x）在[﹣3，﹣1]上单调递减，所以，即综上≤a≤【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用函数的单调性，同时考查分类讨论的思想方法，属于中档题．题型7、二次函数含参最值问题及逆用1．已知：函数f（x）＝x2﹣2ax+2，x∈[﹣1，1]．（1）求f（x）的最小值g（a）；（2）求g（a）的最大值．【考点】二次函数的性质与图象．【分析】（1）通过对称轴x＝a是否在区间内，利用二次函数的性质求解最小值即可．（2）求出g（a）的表达式，然后求解最大值即可．【解答】解：（1）当a≥1时，f（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，最小值g（a）＝3﹣2a；当﹣1＜a＜1时，f（x）在区间[﹣1，1]上是先减后增函数，最小值g（a）＝2﹣a2；当a≤﹣1时，f（x）在区间[﹣1，1]上是增函数，最小值g（a）＝3+2a；（2）由（1）可知g（a）在[1，+∞）上是减函数，g（a）最大值为1；g（a）在（﹣1，1）上是先增再减函数，g（a）最大值为2；g（a）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，g（a）最大值为1；所以g（a）最大值为2．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．2．已知函数f（x）＝x2+bx+c有两个零点0和﹣2，且g（x）和f（x）的图象关于原点对称．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）解不等式f（x）≥g（x）+6x﹣4；（3）如果f（x）定义在[m，m+1]，f（x）的最大值为g（m），求g（m）的解析式．【考点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质与图象．【分析】（1）直接将x＝0，x＝﹣2代入f（x），求出b，c，即可求出函数f（x）的解析式，利用f（x）和g（x）的图象关于原点对称，即可求出g（x）的解析式；（2）f（x）≥g（x）+6x﹣4即x2+2x≥﹣x2+2x+6x﹣4，解出即可；（3）先求出函数的对称轴，通过讨论m的范围，从而确定出g（m）的解析式即可．【解答】解：（1）由f（x）＝x2+bx+c有两个零点0和﹣2，即有，解得b＝2，c＝0，即f（x）＝x2+2x，由f（x）和g（x）的图象关于原点对称，所以g（x）＝﹣x2+2x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）f（x）≥g（x）+6x﹣4即x2+2x≥﹣x2+2x+6x﹣4，即x2﹣3x+2≥0得不等式的解为{x|x≥2或x≤1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（3）f（x）＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，当m+1≤﹣1，即m≤﹣2时，f（x）的最大值g（m）＝m2+2m，当m＞﹣1时，f（x）的最大值g（m）＝（m+1）2+2（m+1）＝m2+4m+3，当时，f（x）的最大值g（m）＝m2+2m，当时，f（x）的最大值g（m）＝（m+1）2+2（m+1）＝m2+4m+3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）【点评】本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，函数的最值问题，是一道中档题．3．已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）＝2x（x∈R），且f（0）＝1．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[﹣1，1]时，不等式f（x）＞2x+m有解，求实数m的取值范围；（3）设g（t）＝f（2t+a），t∈[﹣1，1]，求g（t）的最大值．【考点】二次函数的性质与图象．【分析】（1）设出二次函数的一般形式后，代入f（x+1）﹣f（x）＝2x，化简后根据多项式相等的条件求出a，b及c的值，即可确定出f（x）的解析式；（2）不等式恒成立即为把不等式变为x2﹣3x+1＞m，令g（x）等于x2﹣3x+1，求出g（x）在区间[﹣1，1]上