专题01数列求通项（数列前n项和Sn法数列前n项积Tn法）(典型例题题型归类练)

专题01数列求通项（法、法）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍1对于数列，前项和记为；①；②②：法归类角度1：已知与的关系；或与的关系用，得到例子：已知，求角度2：已知与的关系；或与的关系替换题目中的例子：已知；已知角度3：已知等式中左侧含有：作差法（类似）例子：已知求2对于数列，前项积记为；①；②①②：法归类角度1：已知和的关系角度1：用，得到例子：的前项之积.角度2：已知和的关系角度1：用替换题目中例子：已知数列的前n项积为，且.二、典型例题法：角度1：用，得到例题1．（2022·湖北·黄冈中学二模）数列的前项和为，，.求数列的通项；①①当时，思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用②当时，；又由题意知作差，又因为：所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则，下结论解答：感悟升华（核心秘籍）1、使用法注意两步：①②2、在本例中化简后，得到，特别提醒，在化简后需跟上（），此时需要验证是否符合，如本例，则此时，数列是从第二项开始成以为公比的等比数列【答案】(1)解：当时，，当时，由可得，上述两个等式作差得，可得，且，所以，数列从第二项开始成以为公比的等比数列，则，因为不满足，故.法：角度2：将题意中的用替换例题2．（2022·全国·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且．求数列的通项公式；由由思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用替换题目中的由约分，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，当时，，又当时，也满足上式，所以解答过程化简再用作差法感悟升华（核心秘籍）1、已知与，使用法时，用替换作为核心秘籍记忆；2、当遇到，使用法时，用替换作为核心秘籍记忆；【答案】依题意，，故，因为，所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以，．当时，，又当n＝1时，也满足上式，所以．法：角度3：已知等式中左侧含有：①当时思路点拨：根据题意：，用类似作差法②当时①当时思路点拨：根据题意：，用类似作差法②当时：，所以.又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.解答过程检验作差感悟升华（核心秘籍）已知等式中左侧含有：，如本例：解题密码类似“”；【答案】解：因为，①当时，当时，，②①②得.所以.又因为当时，上式也成立，所以的通项公式为.法：角度1：已知和的关系例题4．（2022·湖北·模拟预测）已知数列的前项之积.求的通项公式.①①当时，思路点拨：根据题意：，已知与的关系，用②当时，；当时，上式也成立，所以.检验解答过程感悟升华（核心秘籍）使用法本质：其中：①；②【答案】解：由，当时，，当时，，当时，上式也成立，所以.法：角度2：已知和的关系例题5．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知数列的前项积为，且.求数列的通项公式；①①当时，思路点拨：根据题意：，已知和的关系，用替换题目中②当时，∴代入已知条件，得即解答过程下结论∴∴，∴是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，【答案】，当时，当时，∴由得即∴∴是以3为首项，2为公差的等差数列，∴，三、题型归类练1．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（文））数列满足，则（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A当时，由，①得，②①－②，得，所以，则．故选：A．2．（2022·辽宁实验中学高二期中）设数列满足，则的前n项和（

）A． B．C． D．【答案】C解：当时，，当时，由得，两式相减得，，即，综上，所以的前n项和为，故选：C.3．（2022·全国·模拟预测）若数列前n项和为，则数列的通项公式是______．【答案】①，当时，，解得：，当时，②，①②得：，解得：，所以是首项为3，公比是的等比数列，所以，经检验，符合要求故答案为：4．（2022·江苏江苏·三模）已知数列的前项和为，各项均为正数的数列的前项积为，且，，.(1)求的通项公式；(2)证明：为等比数列.【答案】(1)(2)证明见解析(1)解：当时，，，当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；(2)证明：，，当时，，则，由于，则，所以数列是等比数列.5．（2022·黑龙江·哈师大附中高二期中）已知数列的前n项和为，且对任意正整数n，成立.求证：数列是等比数列，并求的通项公式；【答案】(1)证明见解析，；在中令得．因为对任意正整数，成立，所以，两式相减得，所以，即，所以为等比数列，所以.6．（2022·福建福州·高二期中）设各项均为正数的数列的前n项和为，满足．求数列的通项公式；【答案】(1)当时，由得，．当时，由得，两式相减可得，化简得，由条件得，故，得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，从而数列的通项公式为．7．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知等差数列的首项为，且，数列满足．求和；【答案】(1)；因为是等差数列，设其公差为d.因为，所以．因为，所以等差数列的公差，所以．因为，所以，所以．当时，，结合可知．经检验：也适合上式.所以．8．（2022·湖北·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为.求证；数列是等差数列，并求的通项公式；【答案】(1)证明见解析，因为，所以当时，，即，而，有，所以所以数列是以为首项，公差为1的等差数列；，则当时，，又满足上式，所以的通项公式为.9．（2022·广东·测试·编辑教研五高二阶段练习）数列满足．求；【答案】(1)解：因为，当时，，当时，，两式相减得，所以，又符合上式，所以．10．（2022·四川省通江中学高二阶段练习（理））已知正项数列的前项和为，且；(1)求数列的通项公式；【答案】(1)由题意正项数列的前项和为，当时，，故，所以，即，所以是以为首项，以1为公差的等差数列，则，所以，即，但不适合上式，故；11．（2022·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，（），求数列的通项公式；【答案】∵an＞0，当时，∵，∴Sn﹣Sn﹣1，∴2，又∵，∴{}是首项为1，公差为2的等差数列，∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴，当时，，不满足该式，∴an；12．（2022·广东·高三阶段练习）已知正项数列满足前项和满足.求数列的通项公式；【答案】(1)由可得

即：，，是以为首项，公差为的等差数列当时，当时，所以：13．（2022·湖北恩施·高二期中）记为数列的前n项积，已知，.证明：数列是等差数列.由题意可得，因为，所以，即，所以.又，，所以，故是以3为首项，2为公差的等差数列.14．（2022·新疆·乌市八中高二期中（理））设数列的前n