专题4平面向量压轴小题

专题4平面向量压轴小题一、单选题1．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知△ABC中，，，，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面向量的加法法则可得就是点A到BC的距离，依题意得△ABC为等腰直角三角形，斜边，D，E为斜边BC的两个四等分点，因为，，且，得点P在线段DE上运动，由下图易得，当点P在点D处时，取得最小值，根据余弦定理解得，所以.故选：C.2．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量，，满足，，，（，）.当时，（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解析：作，，，由题意，设直线与直线交于点，∵（，），∴点在线段上（不含端点）又，结合等和线性质，可知作于，于，有，记①当点在线段上时，，由，得，可解得，进而有此时，，（注：点为线段的中点，在线段上，符合题意）可得，所以②当点在线段的反向延长线上时，同①方法可推得点与点重合，矛盾综上，.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习（理））设，，且，若向量满足，则的最大值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】如图，设，，，，连接，，则由可知四边形为矩形，则.由，可得，连接，则，所以点在以点为圆心，4为半径的圆上，所以的最大值为.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习（理））设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是A．2 B．3 C． D．【答案】B【解析】是以为圆心的单位圆上的个点,,故而，，，故，当且仅当点与点重合时等号成立，即的最小值是,故选：B5．（2022·全国·高三专题练习）已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】如图，以圆心为原点，直径所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，∴，∴，设，则，即的最大值是2.故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】根据题意,设,则由代入可得即点的轨迹方程为又因为,变形可得,即,且所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示:以的最小值即为到直线的距离最小值根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大，此时，，，所以，，即此时.即的最大值为故选:B7．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，点是线段及、的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且，则在直角坐标平面上，实数对所表示的区域在直线的右下侧部分的面积是（

）A． B． C． D．不能求【答案】A【解析】如下图，过作，交的延长线于，交的延长线于，设，，，，则，所以，得，所以.作出不等式组对应的可行域，如下图中阴影部分所示，故所求面积为，故选：A.8．（2022·全国·高三专题练习）已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是内一点，且所以O为的重心在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时所以，即当M与C重合时，最大，此时所以，即因为在内且不含边界所以取开区间，即所以选B9．（2022·全国·高三专题练习）已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是A． B．C． D．【答案】D【解析】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得.10．（2022·上海金山·一模）已知向量与的夹角为，且，向量满足，且，记向量在向量与方向上的投影分别为x､y.现有两个结论：①若，则；②的最大值为.则正确的判断是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】C【解析】由，解得：，当时，，由得：，即，由得：，因为，假设，则可求出，，代入中，等号不成立，故①错误；设，，，因为，由向量共线定理可知，点C在线段AB上，如图，设，则，因为，所以，即，故在方向的投影等于在方向的投影相等，故点C满足，又，，所以，其中，而要想保证最大，只需最小，由余弦定理可得：，当且仅当时，等号成立，所以最小值为，所以最大值为，故的最大值为，②正确.故选：C11．（2022·上海市建平中学高三开学考试）已知的外接圆圆心为，，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，过点O作，，，和是等腰三角形，为中点，为中点，设，，则，，即，即联立解得：，当且仅当，即时，等号成立.所以的最大值为故选：B二、多选题12．（2022·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若为的垂心，，则B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为1C．若为锐角三角形且外心为，且，则D．若，则动点的轨迹经过的外心【答案】ACD【解析】A：如下图，，则为垂心，易知：，所以，则，根据向量数量积的几何意义知：，同理，所以，正确；B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，所以，，由，则，当时的最小值为，错误；C：由题设，则，所以，若为中点，则，故，故共线，又，即垂直平分，所以，正确；D：由题设，，则，所以，若为中点，则，故，所以的轨迹经过的外心，正确.故选：ACD13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，圆，若曲线上存在四个点，过动点作圆O的两条切线，A，B为切点，满足，则k的值可能为（

）A．7 B．5 C．2 D．–1【答案】ABC【解析】设，连接，设，则，，所以，又，所以令，则有，解得：或因为在单位圆外，所以舍去，即在以原点为圆心，半径为2的圆上，因为曲线上存在四个点（i＝1，2，3，4），即与圆有4个交点，结合图象可知，且只需原点到直线的距离小于半径2即可，所以，解得：或（舍去），故选：ABC14．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知向量，，且，，其中，下列说法正确的是（

）A．与所成角的大小为 B．C．当时，取得最大值 D．的最大值为【答案】AD【解析】对于A选项：因为,所以有：，解得，所以与所成角的大小为；对于B选项：，因为，所以，结合得，将代入化简，得，故B选项错误；对于C选项和D选项：以B点为圆心，建立平面直角坐标系，则由可设，使用余弦定理得：，故可得，当且仅当即时等号成立，结和公式，以及选项B中的，可知当时，取得最大值，而此时平方后化为一元二次方程后无解，因此D选项正确，C选项错误.故选：AD.三、填空题15．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知圆半径为是圆上不重合的点，则的最小值为_____.【答案】【解析】取中点C，劣弧AB的中点D，，显然，P为劣弧AB的中点D时，最小，记，由垂径定理可得：，即，则，当时，取最小值，最小值为.故答案为：16．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，，，则的取值范围是__________．【答案】【解析】设，的夹角为，，，，.如图，由题可设，，，其中O为原点，C在单位圆上，记，假设存在一点，使得则有，又，解得.所以存在点，使得.，且直线的方程为，即，圆心到直线的距离为1.所以与圆相切，所以当,,三点共线时，取得最小值为，如图，在位置时，因为，，且，由椭圆定义可知，此时在以，为焦点的椭圆上，当在其他位置时，在椭圆内部，所以的最大值为，即的最大值为..故答案为：．17．（2022·全国·高三专题练习）已知非零平面向量满足，则的最大值为__________．【答案】【解析】不妨设且且，则且，即研究在圆的上半部分，如上图，若，，则(注意D在第二象限或y轴上)，又，若轴于，轴于，则，所以，且，，则，，故，由，则，又，令，则且，当时，，故答案为：18．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）定义两个向量组的运算，设为单位向量，向量组分别为的一个排列，则的最小值为_______．【答案】【解析】当且时，；当且、时，则，当且仅当时等号成立；同理且、或且、时，的最小值也为；当时，则，由，设，则，所以，当时等号成立.综上，的最小值为．故答案为：.19．（2022·全国·高三专题练习）已知平面内两单位向量，若满足，则的最小值是___________.【答案】【解析】由题意,可以设，则由得，由，所以，解得：即的最小值是.20．（2022·全国·高三专题练习）在中，，．点满足．过点的直线分别与边交于点且，．已知点为的外心，，则为______．【答案】【解析】三点共线，可设，，，即，，，即，，；，，为的外心，，，整理可得：，

，解得：（舍）或；，.故答案为：.21．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，若对于满足的任意向量，都存在，使得恒成立，则向量的模的最大值为________.【答案】【解析】设，，满足，即满足①，都存在，使得恒成立，即存在，使得②，由①②可知：存在，使得成立即，即，化简得：③，即③式恒成立，则必须满足，解得：，即，所以的最大值为.故答案为：22．（2022·北京顺义·二模）向量集合，对于任意，，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题：①集合是“凸集”；②若为“凸集”，则集合也是“凸集”；③若都是“凸集”，则也是“凸集”；④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”．其中，所有正确的命题的序号是_____________________．【答案】①②④【解析】由题意得，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”，由此对结论逐一分析对于①，，若对于任意满足，则，由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，故为“凸集”，①正确对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中对于任意，，故为“凸集”，②正确对于③，可举反例，若，易知都是“凸集”，而不是“凸集”，故③错误对于④，若都是“凸集”，则对于任意，任意则，且，故，故也是“凸集”故答案为：①②④23．（2022·浙江杭州·二模）对于二元函数，表示先关于y求最大值，再关于x求最小值.已知平面内非零向量，，，满足：，，记（m，，且，），则______.【答案】2【解析】记，，，则表示在上的投影恰为在上的投影的两倍，即射线的斜率为.设，，，记，，则，，所以.先让m不变，n变化，即点D固定，点E变化，那么，其中，接着再让m变化，即点D变化，求的最小值.因为，当且仅当时取得等号.综上，.故答案为：224．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O的半径为2，A为圆内一点，，B，C为圆O上任意两点，则的取值范围是_________．【答案】【解析】如图，连接，设为和的夹角．则，且，，由，当时，有最小值；当时，有最大值为10．所以的取值范围为.故答案为：25．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量，，满足：，，则的最小值是_________.【答案】【解析】如图在直角坐标系中，设，∵，∴A的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，设，由可知，设，则，，设，则，，∴

①

②①＋②得：，则B的轨迹是以G(－1，)为圆心，1为半径的圆，则.故答案为：.26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边，使得点A，P位于直线MN的两侧，则的最小值为______．【答案】【解析】如图，连接BN，设BN，MN中点分别为E，F，连接PE，PF，EF．设，，，在中，由勾股定理得，则，BN，MN中点分别为E，F，则EF为的中位线，∴且，∴，在中，由勾股定理得，∴，在等边中，F为MN中点，则，，，在中，由余弦定理得，当N与C重合时，，，不存在，但可验证上述等式依然成立，当且仅当时等号成立．∵关于b的函数在上单调递增，∴，当且仅当时等号成立．∴，当且仅当，时等号成立.故答案为：．27．（2022·江苏南京·模拟预测）平面向量，，满足，，，则______．【答案】【解析】可变形为，即，如图，两圆为半径为1的圆，则，从而，设，，，解得：，所以，在△AOC中，由余弦定理得：，在三角形BAC中，，从而，即，因为，所以，所以，，在△OBC中，由正弦定理得：，即，在三角形OAB中，由正弦定理得：，即，，从而，化简得：，解得：，所以，解得：或（舍去），故.故答案为：28．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量的夹角为，满足．平面向量在上的投影之和为2，则的最小值是___．【答案】【解析】设与方向相同的单位向量是，且，设与方向相同的单位向量是，且，又.注意到.，，∵c-∴设y(1)与(2)联立得：

(7)(3)与(4)联立得：

(8)将(8)代入(5)中得：，∴μ1-μ2=λ对应，故,故答案为：29．（2022·浙江绍兴·高三期末）设向量，，，，点在内，且向量与向量的夹角为，则的取值范围是____________．【答案】【解析】以直线OA为x轴，线段OA的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，因，则，而，解得，则，设，有，，因向量与向量的夹角为，则，，，，整理得：，即，因此，，，令点，，令，则，于是得，又，即有，解得，当时，，即，而，有，，矛盾，即，当时，，即有，其中锐角满足，则有，，，显然存在满足条件，则，因此，，所以的取值范围是.故答案为：30．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量满足，，向量满足，当与的夹角余弦值取得最小值时，实数的值为____________.【答案】【解析】由得，又，则由，可知，即向量满足，且夹角为取，，，分别是线段，的中点，则,，由可知，点在直线上.又与的夹角为要使得最大，则取圆过点、且与直线相切于点，此时取得最大，由切割线定理得，又，则有，，解之得故答案为：31．（2022·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为__________．【答案】【解析】设，则设，不妨设，，，，，即为的重心．则，点位于圆上或圆内，故当在射线与圆周交点时，最大，即最大时．由得，．当且仅当时，取到最大值．故答案为：．32．（2022·天津西青·高三期末）在等腰直角三角形中，，点在三角形内，满足，则______.【答案】【解析】如图，延长、、，与对边分别交于点、、.，，即，∴，同理∴，又在等腰直角三角形中，，延长至点，使得.则.记，.则，四点共圆，，.故答案为：33．（2022·全国·高三专题练习）已知，是以为圆心，为半径的圆周上的任意两点，且满足，设平面向量与的夹角为()，则平面向量在方向上的投影的取值范围是_____.【答案】【解析】如图，由BA⊥BC知A在BC上的投影点为B，所以在上的投影即为在上的投影，即为.在中，由余弦定理知，所以，所以，令，则，，设，，则函数在上单调递减，于是在上单调递增.时，时，所以，同理，当C位于C1处时，投影为.所以在上的投影的取值范围为.故答案为：.34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面向量，，满足，，则的取值范围为__________．【答案】【解析】如下图，，，则，，若，则，，若，由，∴要使最大，则、同向共线，如下图示，此时，，而，∴当时，最大值为.要使最小，则、反向共线且，如下图示，此时，而，∴当时，最小值为.综上，取值范围为.故答案为：35．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面内不同的三点O，A，B满足，若时，的最小值为，则___________.【答案】【解析】由题设，如下图示，若，，则，，，即，∴，即，若是关于的对称点，∴，即，如下图示，当且仅当共线时，即最小，∵，即，，∴此时，△中，，而且为锐角，∴，而.故答案为：.四、双空题36．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知向量，，，则_____