第8章立体几何初步章末重难点题型总结（15类）（举一反三）（人教A版2019）（原卷版）

第8章立体几何初步章末重难点题型总结（15类）【题型1几何体的截面问题】【方法点拨】根据对几何体的截面形状的研究，结合具体问题，进行求解即可.【例1】（2020秋•城关区校级期末）用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（）A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体【变式11】（2020秋•隆德县期末）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，这个几何体可能是（）A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都有可能【变式12】（2021•徐州模拟）某圆锥母线长为2，底面半径为3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B．3 C．2 D．1【变式13】（2021秋•济南期末）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面的半径之比为1：4，截去的小圆锥的母线长为3，则圆台的母线长为（）A．3 B．6 C．9 D．12【题型2平面图形旋转形成的几何体】【方法点拨】对于平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形进行适当的分割，一般分割成矩形、三角形、梯形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析.【例2】（2021春•济宁期末）已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体为（）A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆柱、两个圆锥 C．两个圆台、一个圆柱 D．两个圆柱、一个圆台【变式21】（2021春•百色期末）将一个等腰梯形绕对称轴所在的直线旋转180°，所得的几何体为（）A．一个圆锥 B．两个圆锥 C．一个圆台 D．一个圆柱【变式22】（2021春•丰台区校级期末）如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕其图中的对称轴旋转一周，形成的几何体为（）A．一个球 B．一个球中间挖去一个棱柱 C．一个圆柱 D．一个球中间挖去一个圆柱【变式23】（2021春•顺德区期末）已知△ABC为等腰直角三角形，AB⊥AC，其面积为1．以AB为轴，则将△ABC旋转一周形成的几何体的体积为（）A．π3 B．π C．223π【题型3斜二测画法】【方法点拨】根据斜二测画法画直观图的规则和步骤，进行求解即可.【例3】（2021秋•莲湖区校级期末）如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'B'C'D'是边长为2的菱形，且O'D'＝2，则原平面图形的周长为（）A．42+4 B．46+4 C．8【变式31】（2021秋•兴庆区校级期末）如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图（图中虚线分别与x'轴，y'轴平行），则原图形△AOB的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．64【变式32】（2021秋•武汉期末）如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是（）A．4+43cm B．82cm C．8cm 【变式33】（2021秋•新城区校级期末）如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法画出的图形，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD的面积为（）A．2 B．22 C．3 D．32【题型4简单几何体的表面积与体积】【方法点拨】求解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.求解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积时，要结合具体条件，找出其中的基本量，利用相应的表面积、体积计算公式，进行求解即可.【例4】（2021秋•濠江区校级期末）已知圆台下底面的半径为2，高为2，母线长为5，则这个圆台的体积为（）A．143π B．72π C．14【变式41】（2021秋•金华期末）正多面体被认为是构成宇宙的基本元素，加上它的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．若连接正方体六个面的中心构成一个正八面体，则正方体与所得八面体的表面积之比为（）A．3 B．3 C．23 D．【变式42】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以圆形攒尖为例．如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为23m，顶角为A．2πm3 B．3πm3 C．4πm3 D．6πm3【变式43】（2021秋•阿拉善左旗校级期末）如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半径为4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛满杯子，则杯子的高h＝（）A．9cm B．6cm C．3cm D．4.5cm【题型5球的截面问题】【方法点拨】利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径.【例5】（2021秋•内江期末）若球的半径为10cm，一个截面圆的面积是36πcm2，则球心到截面圆心的距离是（）A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm【变式51】（2020春•钦州期末）球O的截面把垂直于截面的直径分成1：3，若截面圆半径为3，则球O的体积为（）A．16π B．16π3 C．43π【变式52】（2021秋•芜湖期末）在正四面体ABCD中，E为BC的中点，过点E作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积为S，最小的截面面积为T，则STA．43 B．32 C．2 D【变式53】（2021春•昆明期末）蹴鞠是古人用脚、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球运动，2006年5月20日经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，蹴鞠所用之鞠（球）一般比现代足球直径略小，已知一足球直径为22cm，其球心到截面圆O1的距离为9cm，若某跋鞠（球）的最大截面圆的面积恰好等于圆O1的面积，则该蹴鞠（球）的直径所在的区间是（单位：cm）（）A．[10，11） B．[11，12） C．[12，13） D．[13，14]【题型6几何体与球的切、接问题】【方法点拨】1.球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上.解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解.2.解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系.【例6】（2022•历城区校级模拟）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，且边长为23，SA＝4A．25π3 B．32π3 C．205【变式61】（2021秋•乐山期末）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC＝AC＝22，AB＝BC＝SB＝2，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积是（）A．12π B．4π C．43π D【变式62】（2021秋•银川校级期末）已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP+PE的最小值为14，则该四面体内切球的体积为（）A．25639π B．13π C．43π D【变式63】（2021秋•临渭区期末）古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23．已知体积为A．12π B．63π C．6π D【题型7平面的基本性质及推论】【方法点拨】根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.【例7】（2021秋•怀柔区期末）给出下列判断，其中正确的是（）A．三点唯一确定一个平面 B．一条直线和一个点唯一确定一个平面 C．两条平行直线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内 D．空间两两相交的三条直线在同一平面内【变式71】（2021秋•渝中区校级期末）下列说法正确的是（）A．空间中的任意三点可以确定一个平面 B．四边相等的四边形一定是菱形 C．两条相交直线可以确定一个平面 D．正四棱柱的侧面都是正方形【变式72】（2021秋•榆林期末）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面 B．四条首尾相连的线段确定一个平面 C．两条异面直线确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面【变式73】（2021春•武昌区校级期末）下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条不平行的直线确定一个平面 D．梯形可确定一个平面【题型8直线与直线的位置关系】【方法点拨】1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证明原结论是正确的.【例8】（2021秋•乐山期末）已知直线a，b，c，若a，b异面，b∥c，则a，c的位置关系是（）A．异面 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面【变式81】（2022•新疆模拟）设点E为正方形ABCD的中心，M为平面ABCD外一点，△MAB为等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是线段MB的中点，则（）A．ME≠DF，且直线ME、DF是相交直线 B．ME＝DF，且直线ME、DF是相交直线 C．ME≠DF，且直线ME、DF是异面直线 D．ME＝DF，且直线ME、DF是异面直线【变式82】（2021秋•黄浦区校级期末）若直线a，b是异面直线，点O是空间中不在直线a，b上的任意一点，则（）A．不存在过点O且与直线a，b都相交的直线 B．过点O一定可以作一条直线与直线a，b都相交 C．过点O可以作无数多条直线与直线a，b都相交 D．过点O至多可以作一条直线与直线a，b都相交【变式83】（2021秋•烟台期末）在空间中，“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【题型9直线与平面、平面与平面的位置关系】【方法点拨】判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.【例9】（2021秋•芜湖期末）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α C．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β D．若m⊥α，n⊥β，n⊥m，则α⊥β【变式91】（2021秋•洛阳期末）设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是（）A．若m⊥n，则α⊥β B．若m∥n，则α⊥β C．若m⊥n，则α∥β D．若m∥n，则α∥β【变式92】（2021•浙江校级模拟）在空间中，设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，则α∥β B．若m，n异面，则α，β异面 C．若m⊥n，则α⊥β D．若m，n相交，则α，β相交【变式93】（2021春•铁岭期末）设m，n是两条不同的直线，α是平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n C．若m∥n，n∥α，则m∥α D．若m∥n，m⊄α，n⊂α，则m∥α【题型10直线与平面平行的判定】【方法点拨】使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.【例10】（2021秋•西城区期末）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（）A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1 C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1【变式101】（2021春•湖北期末）如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【变式102】（2021•浙江）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则（）A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD B．直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1 C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD D．直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1【变式103】（2021•4月份模拟）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【题型11平面与平面平行的判定】【方法点拨】第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.【例11】（2021•泰安二模）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A． B． C． D．【变式111】（2021春•汕头期末）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若m⊂α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥β C．若α∩β＝n，m∥n，则m∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β【变式112】（2021•北京模拟）已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥β B．α⊥γ且β⊥γ C．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β【变式113】（2021•北京学业考试）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：①FG∥平面AA1D1D；②EF∥平面BC1D1；③FG∥平面BC1D1；④平面EFG∥平面BC1D1．其中推断正确的序号是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【题型12线面垂直判定定理的应用】【方法点拨】利用直线与平面垂直的判定定理判定线面垂直的步骤：(1)在这个平面内找两条直线，使要证直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线；(3)根据判定定理得出结论.【例12】（2021秋•门头沟区期末）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A． B． C． D．【变式121】（2021秋•房山区期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是A1D的中点，则（）A．直线MB与直线B1D1相交，直线MB⊂平面ABC1 B．.直线MB与直线D1C平行，直线MB⊥平面A1C1D C．直线MB与直线AC异面，直线MB⊥平面ADC1B1 D．直线MB与直线A1D垂直，直线MB∥平面B1D1C【变式122】（2021•门头沟区一模）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A． B． C． D．【变式123】（2021秋•唐山期末）如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是（）A．①② B．②④ C．①③ D．②③【题型13面面垂直判定定理的应用】【方法点拨】利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来证明.【例13】（2020秋•陈仓区期末）PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（）①平面PAB⊥平面PAD；②平面PAB⊥平面PBC；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【变式131】（2021秋•达州期末）在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E是PD中点，下列叙述正确的是（）A．CE∥平面PAB B．CE⊥平面PAD C．平面PBC⊥平面PAB D．平面PBD⊥平面PAC【变式132】（2021春•河东区期末）在空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是（）A．平面ABD⊥平面BDC B．平面ABC⊥平面ABD C．平面ABC⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BED【变式133】（2021春•南开区校级期末）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥BC且PA＝BC＝1，PB＝AC=2，PC=3，则下列命题正确的个数是①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面ABC；③平面PAC⊥平面PAB；④平面PAC⊥平面PBC；⑤平面PBC⊥平面ABC；⑥平面PAC⊥平面ABC．A．3 B．4 C．5 D．6【题型14空间角的计算】空间角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角，根据具体问题，结合这几种空间角的一般求解步骤，进行转化求解即可.【例14】（2021春•丰台区期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，BC⊥AC．（Ⅰ）求证：B1C1∥平面A1BC；（Ⅱ）求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1．（Ⅲ）若A1B＝2BC，求异面直线A1B与B1C1所成角的大小．【变式141】（2022•吴忠模拟）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．（1）求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1；（2）求A1M与平面AB1M所成角的正弦值．【变式142】（2021秋•兴庆区校级期末）如图，在三