专题06几何体表面积体积与球切接的问题（讲）（文科）第一篇热点难点突破篇-《2022年高考文科数学二轮复习》（全国课标版）

专题06几何体表面积体积与球切、接的问题（讲）（文）1.三视图的识别和简单应用；2.简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.1．【2021年全国高考甲卷数学（文）】在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D2．【2021年全国高考乙卷数学（文）】在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为∥，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，，所以.故选：D3．【2021年全国新高考Ⅰ卷数学】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.故选：B.3．【2021年全国新高考II卷数学】正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.4．【2021年全国新高考II卷数学】如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.【详解】设正方体的棱长为，对于A，如图（1）所示，连接，则，故（或其补角）为异面直线所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A错误.对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，由正方体可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正确.对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，故，故C正确.对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，则，因为，故，故，所以或其补角为异面直线所成的角，因为正方体的棱长为2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D错误.故选：BC.5.【2021年北京市高考数学】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）A． B．4 C． D．2【答案】A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体（三棱锥），根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积.【详解】根据三视图可得如图所示的几何体正三棱锥，其侧面为等腰直角三角形，底面等边三角形，由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为1，故其表面积为，故选：A.6．【2021年北京市高考数学】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（）来判断降雨程度．其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案】B【分析】计算出圆锥体积，除以圆面的面积即可得降雨量，即可得解.【详解】由题意，一个半径为的圆面内的降雨充满一个底面半径为，高为的圆锥，所以积水厚度，属于中雨.故选：B.7．【2021年天津高考数学】两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选：B.8．【2021年浙江省高考数学】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据三视图可得如图所示的几何体，根据棱柱的体积公式可求其体积.【详解】几何体为如图所示的四棱柱，其高为1，底面为等腰梯形，该等腰梯形的上底为，下底为，腰长为1，故梯形的高为，故，故选：A.9．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为A． B． C． D．【答案】C【解析】如图，设，则，由题意得，即，化简得，解得（负值舍去）.故选C．【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.10．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为A． B． C．1 D．【答案】C【解析】设球的半径为，则，解得：.设外接圆半径为，边长为，是面积为的等边三角形，，解得：，，球心到平面的距离.故选：C．【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.一、考向分析： 一、空间 二、考向讲解考查内容解题技巧1．空间几何体的三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正(主)侧(左)一样高，正(主)俯一样长，侧(左)俯一样宽；看不到的线画虚线．2．用斜二测画法画几何体的直观图的注意点(1)用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图与直观图中的“三变”、“三不变”：①“三变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度改变（减半），,图形改变.))②“三不变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不变，,与x轴平行的线段长度不变，,相对位置不变.))(2)对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系：S′＝eq\f(\r(2),4)S，并能进行相关的计算．3．多面体的侧面积和表面因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式。（2）周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为eq\f(2π,ω)，4．4.转体的侧面积和表面积(1)若圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．(2)若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧＝πrl，S表＝πr(r＋l)．(3)若圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则S侧＝π(r＋r′)l，S表＝π(r2＋r′2＋r′l＋rl)．(4)若球的半径为R，则它的表面积S＝4πR2.5.与球有关的组合体的常用结论1)长方体的外接球：①球心：体对角线的交点；②半径：r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c为长方体的长、宽、高)．(2)正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球：①外接球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(3),2)a(a为正方体的棱长)；②内切球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(a,2)(a为正方体的棱长)；③与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝eq\f(\r(2),2)a(a为正方体的棱长)．(3)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：①外接球：球心是正四面体的中心，半径r＝eq\f(\r(6),4)a(a为正四面体的棱长)．②内切球：球心是正四面体的中心，半径r＝eq\f(\r(6),12)a(a为正四面体的棱长)．考点一空间几何体的三视图与直观图【例1】(1)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.2eq\r(17) B.2eq\r(5) C.3 D.2(2)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6＋eq\r(3) B.6＋2eq\r(3)C.12＋eq\r(3) D.12＋2eq\r(3)答案(1)B(2)D解析(1)由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4.则从M到N的路径中，最短路径的长度为eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).(2)由三视图知该几何体为底面是边长为2的正三角形，高为2的直三棱柱，S底＝2×eq\f(\r(3),4)×22＝2eq\r(3).S侧＝3×2×2＝12，则表面积为2eq\r(3)＋12.探究提高1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认.二要熟悉常见几何体的三视图.2.由三视图还原到直观图的思路(1)根据俯视图确定几何体的底面.(2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.(3)确定几何体的直观图形状.【训练1】(1)(2021·江西重点中学联考)如图所示，在三棱锥D－ABC中，已知AC＝BC＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°，若其正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的周长为()A.4＋2eq\r(2) B.2＋eq\r(2)＋eq\r(6)C.6 D.4＋eq\r(6)(2)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案(1)B(2)C解析(1)由题意知三棱锥的一条侧棱与底面垂直，其长度是2，得到的侧视图是一个直角三角形，∵AC＝BC＝CD＝2，∠ACB＝90°，∴侧视图的另一条直角边长是2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2)，∴侧视图如图，且斜边长为eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6).∴其侧视图的周长为2＋eq\r(2)＋eq\r(6).(2)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P－ABCD，如图.由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，分别是△PAD，△PCD，△PAB.考点二空间几何体的表面积与体积考向1空间几何体的表面积【例2】(1)过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥.已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若∠COD＝90°(O为底面圆心)，且S△PCD＝eq\f(\r(7),2)，则这个等边圆锥的表面积为()A.2π＋eq\r(2)π B.3πC.2π＋eq\r(3)π D.π＋eq\r(3)π(2)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A.64π B.48π C.36π D.32π答案(1)B(2)A解析(1)如图，连接PO，设圆锥的母线长为2a，则圆锥的底面圆的半径为a，高为PO＝eq\r(3)a.由已知得CD＝eq\r(2)a，PC＝PD＝2a.则S△PCD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\r(\f(7,2))a＝eq\f(\r(7),2)，从而a＝1.圆锥的表面积为πa×2a＋πa2＝3π.(2)如图所示，设球O的半径为R，⊙O1的半径为r，因为⊙O1的面积为4π，所以4π＝πr2，解得r＝2，又AB＝BC＝AC＝OO1，所以eq\f(AB,sin60°)＝2r，解得AB＝2eq\r(3)，故OO1＝2eq\r(3)，所以R2＝OOeq\o\al(2,1)＋r2＝(2eq\r(3))2＋22＝16，所以球O的表面积S＝4πR2＝64π.探究提高1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不规则几何体分割成几个规则的几何体.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(3)若题目给出三视图，关键是确定几何体中各元素之间的位置关系及度量大小，还原成几何体的直观图.【训练2】(2021·西安质检)如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷、佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔.塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为()A.eq\r(3)∶2 B.eq\r(2)∶2 C.eq\r(3)∶3 D.eq\r(3)∶4答案D解析设塔顶是正四棱锥P－ABCD(如图)，PO是正四棱锥的高.设正四棱锥底面边长为a，则底面面积S1＝a2，因为AO＝eq\f(\r(2),2)a，∠PAO＝45°，所以PA＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)a＝a，所以△PAB是正三角形，其面积为S2＝eq\f(\r(3),4)a2，所以S2∶S1＝eq\f(\r(3),4)a2∶a2＝eq\r(3)∶4.考点三空间几何体的体积【例3】(1)(2021·济南联考)正四面体ABCD的体积为4，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体公共部分的体积为()A.3 B.eq\f(8,3) C.2 D.eq\f(4,3)(2)如图，在直角梯形ABCD中，AD＝AB＝4，BC＝2，沿中位线EF折起，使得∠AEB为直角，连接AB，CD，则所得的几何体的体积为________.答案(1)C(2)6解析(1)如图，点I，J，K，L，M，N分别是边AB，AC，AD，BC，CD，DB的中点，这两个正四面体公共部分为多面体IJKLMN.三棱锥A－IJK是正四面体，其棱长为正四面体ABCD棱长的一半，则VA－IJK＝eq\f(1,8)VA－BCD＝eq\f(1,2)，这两个正四面体公共部分的体积为VA－BCD－4VA－IJK＝4－4×eq\f(1,2)＝2.(2)法一过C作截面CMN，如图(1)，截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE－MCN和四棱锥C－MNFD.图(1)又因为直三棱柱ABE－MCN的体积为V1＝S△ABE·AM＝eq\f(1,2)×2×2×2＝4，四棱锥C－MNFD的体积为V2＝eq\f(1,3)S四边形MNFD·BE＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(1＋2)×2×2＝2.所以所求几何体的体积为V1＋V2＝6.法二如图(2)，连接AC，EC，则几何体分割为四棱锥C－ADFE和三棱锥C－ABE.图(2)因为VC－ADFE＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋4,2)×2))×2＝eq\f(14,3)，VC－ABE＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq\f(4,3)，所以几何体的体积为VC－ADFE＋VC－ABE＝eq\f(14,3)＋eq\f(4,3)＝6.法三如图(3)，延长BC至点M，使得CM＝2，延长EF至点N，使得FN＝1，连接DM，MN，DN，得到直三棱柱ABE－DMN，所以几何体的体积等于直三棱柱ABE－DMN的体积减去四棱锥D－CMNF的体积.图(3)因为VABE－DMN＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2))×4＝8，VD－CMNF＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2,2)×2))×2＝2，所以几何体的体积为VABE－DMN－VD－CMNF＝8－2＝6.探究提高1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常采用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【训练3】(1)(2021·晋中二模)已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为()A.eq\f(\r(3),3)π B.eq\f(\r(3),3) C.eq\r(3)π D.eq\r(3)(2)如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝1，D和E分别是边BC和AC上异于端点的点，DE⊥BC，将△CDE沿DE折起，使点C到点P的位置，得到四棱锥P－ABDE，则四棱锥P－ABDE的体积的最大值为________.答案(1)A(2)eq\f(\r(3),27)解析(1)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由πl＝2πr，得l＝2r，又S＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝3π，所以r2＝1，解得r＝1，所以圆锥的高为h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以圆锥的体积为V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.(2)设CD＝DE＝x(0<x<1)，则四边形ABDE的面积S＝eq\f(1,2)(1＋x)(1－x)＝eq\f(1,2)(1－x2)，当平面PDE⊥平面ABDE时，四棱锥P－ABDE的体积最大，此时PD⊥平面ABDE，且PD＝CD＝x，故四棱锥P－ABDE的体积V＝eq\f(1,3)S·PD＝eq\f(1,6)(x－x3)，则V′＝eq\f(1,6)(1－3x2).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))时，V′>0；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))时，V′<0.∴当x＝eq\f(\r(3),3)时，Vmax＝eq\f(\r(3),27).考点四多面体与球的切、接问题【例4】(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.答案eq\f(9,2)π解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则eq\f(1,2)×6×8＝eq\f(1,2)×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.2r＝4＞3，不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大.由2R＝3，即R＝eq\f(3,2).故球的最大体积V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π.【母题迁移1】若将本例的条件变为“在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，体积为eq\f(16,3)，若PA⊥平面ABCD，且PA＝2”，则四棱锥P－ABCD的外接球体积的最小值是()A.eq\f(25,6)π B.eq\f(20\r(5),3)π C.125π D.eq\f(160\r(5),3)π答案B解析设底面矩形ABCD的长和宽分别为x，y，依题意，eq\f(1,3)xy·2＝eq\f(16,3)，则xy＝8.将四棱锥补成长方体，则外接球的直径2R＝eq\r(x2＋y2＋22)，又x2＋y2≥2xy＝16，当且仅当x＝y＝2eq\r(2)取等号，∴2R＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5)，则R≥eq\r(5).故四棱锥P－ABCD的外接球的体积最小值为V＝eq\f(4,3)π(eq\r(5))3＝eq\f(20\r(5)π,3).【母题迁移2】若将本例的条件变为“已知三棱锥P－ABC的各顶点都在同一球面上，且PA⊥平面ABC，若该棱锥的体积为1，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°”，则此球的表面积等于()A.4eq\r(3)π B.eq\f(32,3)π C.12π D.16π答案D解析AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，所以在三角形ABC中，由余弦定理得：BC＝eq\r(AB2＋AC2－2·AB·AC·cos60°)＝eq\r(3).设三角形ABC的外接圆的半径为r，则2r＝eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))＝2，所以r＝1.又因为VP－ABC＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)AB·AC·sin60°·PA＝eq\f(\r(3),6)PA＝1，所以PA＝2eq\r(3).由题意，三棱锥的外接球的球心是过底面外接圆的圆心垂直于底面与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PA,2)))eq\s\up12(2)＝1＋3＝4，所以外接球表面积S＝4πR2＝16π.探究提高1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球