322双曲线简单的几何性质-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性）

3.2.2双曲线简单的几何性质备注：资料包含：1.基础知识归纳；考点分析及解题方法归纳：考点包含：求双曲线的焦距；共焦点双曲线；求双曲线中的范围或最值；点和双曲线的位置关系；双曲线的对称性；双曲线的实轴/虚轴；等轴双曲线；双曲线的渐近线；双曲线的离心率；双曲线的实际应用课堂知识小结考点巩固提升知识归纳双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程范围或，或，顶点、、轴长虚轴的长

实轴的长焦点、、焦距对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称离心率，越大，双曲线的开口越阔渐近线方程实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．考点讲解考点讲解考点1：求双曲线的焦距例1．若双曲线的焦距等于虚轴长的3倍，则的值为______．【答案】【分析】先将双曲线化为标准形式，进而得到，，根据题意列出方程，求出的值.【详解】化为标准方程：，则，故，则可得：，解得：，故答案为：【方法技巧】1.理解焦距的概念2.把理论转化为实际【变式训练】【变式1】．双曲线的两个焦点为、，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为（

）A． B． C．4 D．【答案】B【分析】设点，根据题意得，进而与双曲线方程联立得，即可得答案.【详解】设点，由双曲线可知、，∵，∴，∴，代入双曲线方程，∴，∴，∴，∴到轴的距离是．故选：B．【变式2】．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦距等于_________.【答案】【分析】由双曲线方程和渐近线可求出，再由可求出，从而可求出焦距.【详解】由双曲线，得其渐近线方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，得，所以，得，所以双曲线的焦距为，故答案为：考点2：共焦点双曲线例2（多选）．过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】解：椭圆的焦点，可得，设椭圆的方程为，可得，，解得，，所求的椭圆方程为设双曲线的方程为：，可得，，解得，，所求的双曲线方程为．故选：BC【方法技巧】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法和双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，考查计算能力．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用圆锥曲线经过的点，求解即可．【变式训练】【变式1】．已知双曲线与共焦点，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先求出的焦点坐标，从而求出的值，即可得到的方程，即可求出渐近线方程；【详解】解：双曲线中、，所以，即焦点坐标为，因为双曲线与共焦点，所以，解得，所以双曲线，则的渐近线方程为；故选：D【变式2】．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且它的一条渐近线方程为.(1)求椭圆的焦点坐标；(2)求双曲线的标准方程．【答案】(1)（∓2.0）；(2).【分析】（1）由椭圆方程及其参数关系求出参数c，即可得焦点坐标.（2）由渐近线及焦点坐标，可设双曲线方程为，再由双曲线参数关系求出参数，即可得双曲线标准方程.(1)由题设，，又，所以椭圆的焦点坐标为.（∓2.0）(2)由题设，令双曲线为，由（1）知：，可得，所以双曲线的标准方程为.考点3：求双曲线中的范围或最值例3．曲线，则（

）A．C上的点满足， B．C关于x轴、y轴对称C．C与x轴、y轴共有3个公共点 D．C与直线只有1个公共点【答案】ACD【详解】表示椭圆在x轴上方的部分，表示双曲线在x轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为，故选项ACD正确，选项B错误.故选：ACD.【方法技巧】1.结合点在曲线上，转化为函数最值问题.2.去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断.【变式训练】【变式1】．已知点P是双曲线上的动点，过原点O的直线l与双曲线分别相交于M、N两点，则的最小值为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据双曲线的对称性可得为的中点，即可得到，再根据双曲线的性质计算可得；【详解】解：根据双曲线的对称性可知为的中点，所以，又在上，所以，当且仅当在双曲线的顶点时取等号，所以．故选：C【变式2】．已知双曲线的右焦点为F，且P是双曲线上一点，写出的最小值．【答案】【详解】根据双曲线的定义，，∴右焦点F为，设，则，因为P是双曲线上一点，所以，其中，所以，二次函数的对称轴为，所以时，取得最小值，最小值为，故最小值为.考点4：双曲线的对称性例4．已知双曲线：的左右焦点为，，点在双曲线的右支上，点关于原点的对称点为，则（

）A．4 B． C．6 D．【答案】C【详解】由双曲线的对称性可得点Q在双曲线的左支上，且，由可知，，∴.故选：C.【方法技巧】由双曲线的性质可得，再利用双曲线的定义即得.【变式训练】【变式1】．过等轴双曲线的右焦点F作两条渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若的面积为2，则a的值为（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】求出过右焦点F与垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M的坐标，根据对称性得点N的坐标，则可得表示出的面积，然后解方程即可.【详解】双曲线为，右焦点，由已知双曲线的一条渐近线方程为，则过右焦点F与垂直的直线为，联立，解得不妨取，则根据对称性得，解得故选：B.【变式2】．若三个点，，中恰有两个点在双曲线上，则___________.【答案】【分析】根据题意和双曲线的对称性，得到点和在双曲线上，代入即可求解.【详解】由题意，三个点，，中恰有两个点在双曲线上，因为双曲线的图象关于原点对称，所以点和在双曲线上，可得，解得.故答案为：.考点5：双曲线的实轴/虚轴例5（多选）．已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（

）A．的长轴长与的实轴长相等 B．的短轴长与的虚轴长相等C．焦距相等 D．离心率不相等【答案】CD【详解】由题意可知，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，当时，，，双曲线的焦点在轴上，其实轴长为，虚轴长为，焦距为，离心率为.故的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等，与的焦距相等，离心率不相等．故选：CD．【方法技巧】利用椭圆、双曲线的几何性质逐项判断可得出合适的选项.【变式训练】【变式1】．已知双曲线，则该双曲线的虚轴长为（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】直接由双曲线的标准方程得到的值，从而得到虚轴长.【详解】双曲线的虚半轴长，所以该双曲线的虚轴长为．故选:D．【变式2】．已知点是双曲线的右焦点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若△OMF（点O为坐标原点）的面积为8，则C的实轴长为（

）A．8 B． C．6 D．【答案】A【分析】根据可得，再焦点到渐近线的距离为b，结合△OMF的面积为8，列式求解即可【详解】由题意可得．取渐近线，易知点到直线的距离为b，则，所以，联立得．所以C的实轴长为8．故选：A【变式3】．已知双曲线，则（

）A．双曲线C的焦距为B．双曲线的顶点坐标为C．双曲线C的虚轴长是实轴长的倍D．双曲线与双曲线C的渐近线相同【答案】CD【分析】利用双曲线的几何性质求解判断.【详解】解：因为，，所以，，焦距为，故A错误；因为顶点坐标为，故B错误；因为，故C正确；双曲线与双曲线C的渐近线均为直线，故D正确．故选：CD考点6：等轴双曲线例6．等轴双曲线：的焦距为4，则的一个顶点到一条渐近线的距离为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【详解】由题可知，双曲线为等轴双曲线，故双曲线的半实轴长与半虚轴长相等，即，∴渐近线方程为.又，且，∴，∴双曲线的顶点坐标为，∴一个顶点到一条渐近线的距离为.故选：A.【方法技巧】利用等轴双曲线，实轴和虚轴长度相等，即，即可求解渐近线方程、顶点坐标等.【变式训练】【变式1】．过双曲线的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于P，Q两点，则|PQ|=_________．【答案】【分析】由题意可知曲线为等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质可得答案.【详解】由题意可知，，，，双曲线是等轴双曲线，则两条渐近线的夹角是90°，因为在直角三角形中，斜边中线是斜边一半，故．故答案为：【变式2】．圆锥曲线具有优美的光学性质，如：光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.已知以坐标轴为渐近线的等轴双曲线：的图象以直线为对称轴，从其中一个焦点发出的光线经双曲线反射后得到的反射光线与入射光线垂直，则入射光线与的交点到中心的距离为____________.【答案】2【分析】根据直角三角形的性质，可知，根据对称轴与双曲线的交点可得实半轴的长a，利用等轴双曲线可求出c，即可得解.【详解】是双曲线的焦点，，分别为入射光线、反射光线，且，如图，由解得，故，又双曲线为等轴双曲线，所以，所以，即,所以,故答案为：2考点7：双曲线的渐近线例7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，求双曲线的标准方程．【答案】或．【分析】先求出椭圆的焦距；讨论双曲线的焦点在轴还是轴，设出双曲线，结合焦距与渐近线即可求出双曲线的标准方程.【详解】方法一：∵在椭圆中，a＝3，b＝2，∴，∴双曲线的焦距为．当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为，则，解得，此时双曲线的标准方程为．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为，则，解得，此时双曲线的标淮方程为．综上，双曲线的标准方程为或．方法二:∵在椭圆中，a＝3，b＝2，∴，∴双曲线的焦距为．∴双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，∴设双曲线的标准方程为，∴当时，，得，此时双曲线的标准方程为．当时，，得，此时双曲线的标准方程为．综上，双曲线的标准方程为或．【方法技巧】求解此类焦点位置不确定的椭圆、双曲线的方程问题，常见错误是因思维定式默认焦点在轴上，导致考虑不全，从而漏解，因此，当由题目条件不能确定椭圆或双曲线的焦点所在的坐标轴时，应当分两种情况讨论，有时也可巧设方程，利用待定系数法求解．【变式训练】【变式1】．已知双曲线C：（，）的实轴长为8，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据实轴长求得，再结合渐近线方程求得，即可求解【详解】因为实轴长为8，所以，可得渐近线方程为，所以，所以双曲线的标准方程为，故选：D．【变式2】．由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，由已知渐近线方程得到，又下焦点到下顶点的距离为1，得到关系，结合解出即可.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，又双曲线的一条渐近线为，所以即，又下焦点到下顶点的距离为1，所以，结合解得，，故选：A．【变式3】．与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程为___________.【答案】【分析】利用与双曲线有相同的渐近线及点在双曲线上即可求解.【详解】由题意可知，设，因为所求双曲线过点，所以，解得.所以所求双曲线的标准方程为：.故答案为：.考点8：双曲线的离心率例8．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，若分别在左右支，因为，且，所以在双曲线的右支，又，，，设，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以双曲线的离心率若均在左支上，同理有，其中为钝角，故，故即，代入，，，整理得到：，故，故，故选：AC.【方法技巧】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.【变式训练】【变式1】．（2021·天津·高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.【变式2】．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________．【答案】【分析】联立直线和渐近线方程，可求出点，再根据可求得点，最后根据点在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过且斜率为的直线，渐近线，联立，得，由，得而点在双曲线上，于是，解得：，所以离心率.故答案为：．【变式3】（2022·全国·高考真题（文））记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________．【答案】2（满足皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e值.【详解】解：，所以C的渐近线方程为,结合渐近线的特点，只需，即，可满足条件“直线与C无公共点”所以，又因为，所以，故答案为：2（满足皆可）【变式4】．（2021·全国·高考真题）若双曲线的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】【分析】根据离心率得出，结合得出关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由题可知，离心率，即，又，即，则，故此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.【变式5】．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的左焦点重合，若两曲线相交于，两点，且线段的中点是点，则该双曲线的离心率等于______.【答案】【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.【详解】由题意知：抛物线方程为：在抛物线上，所以在双曲线上，，又，故答案为：考点9：双曲线的实际应用例9．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为4cm，下底直径为6cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】D【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C为喉部对应点，设A与B分别为上、下底面对应点，以双曲线的对称中心为原点，焦点所在轴为x轴建立如图所示的坐标系.由题意可知，，，设，则．设双曲线的方程为，∵双曲线的离心率为，∴．方程可化简为(*)，将A和B的坐标代入(*)式可得解得，则喉部的直径cm．故选：D【方法技巧】作该塔筒的轴截面图像并建立坐标系，根据双曲线的性质求出其实轴长度即可.【变式训练】【变式1】．已知曲线，对于命题：①垂直于轴的直线与曲线有且只有一个交点；②若为曲线上任意两点，则有，下列判断正确的是（

）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】A【分析】化简曲线方程，画出图像判断①，利用函数单调减判断②【详解】曲线,当当当画出图像如图，易知①正确；易知函数为减函数，则人任意两点斜率，②正确故选：A【变式2】．一种冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图）．现要求制造一个最小半径为8m，下口半径为15m，下口到最小半径圆面的距离为24m，高为27m的双曲线冷却塔，试计算上口的半径（精确到0.01m）．【答案】8.16m【分析】建立直角坐标系，求出双曲线方程，进而求出上口半径.【详解】以双曲线的中心为原点，实轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设所求双曲线方程为，由题意得：，点在双曲线上，将其代入得：，解得：，则双曲线方程为，令得：，，因此上口半径约为8.16m.知识小结知识小结⑴①双曲线标准⽅程：.⼀般⽅程：.⑵①i.焦点在x轴上：顶点：焦点：准线⽅程渐近线⽅程：或ii.焦点在轴上：顶点：.焦点：.准线⽅程：.渐近线⽅程：或，参数⽅程：或.②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离⼼率.④准线距(两准线的距离);通径.⑤参数关系.⑥焦点半径公式：对于双曲线⽅程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)长加短减原则：构成满⾜(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，⽽双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线⽅程为，离⼼率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系⽅程：的渐近线⽅程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线⽅程可设为.例如：若双曲线⼀条渐近线为且过，巩固提升巩固提升一、单选题1．已知双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定的双曲线方程，直接求出渐近线方程作答.【详解】依题意，双曲线的焦点在y轴上，实半轴长，虚半轴长，所以双曲线的渐近线方程是.故选：C2．已知双曲线（，）的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为，则双曲线C的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由离心率和距离的最小值列方程组求得，然后求得后得双曲线方程．【详解】由已知可得，，可得，，则，所以双曲线的方程为．故选：A．3．已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与没有公共点，则，即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，故选：D4．已知点F是双曲线的右焦点，点P是双曲线上在第一象限内的一点，且PF与x轴垂直，点Q是双曲线渐近线上的动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由双曲线的方程可得点F坐标及渐近线方程，进而求得点P坐标，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】解：由双曲线方程可得，点F坐标为，将代入双曲线方程，得，由于点P在第一象限，所以点P坐标为，双曲线的渐近线方程为，点P到双曲线的渐近线的距离为．Q是双曲线渐近线上的动点，所以的最小值为．故选：B．5．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，点在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式求最值，即可得，进而可求离心率.【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，，，则．依题意不妨设点在第一象限，坐标为，则，，所以．因为，所以，当且仅当时等号成立，则．因为的最大值为，所以，即，则，所以，故，故选:A．6．若双曲线的两条渐近线与圆的交点等分圆周，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将双曲线渐近线方程与圆的方程联立可求得其在第一象限内的交点坐标，根据渐近线与圆的交点等分圆周可得渐近线斜率，由此可构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，双曲线的渐近线与圆的交点等分圆周，双曲线渐近线斜率为，即，解得：.故选：C.7．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，则该双曲线的焦距为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐标系，求得该双曲线的标准方程，进而求得其焦距.【详解】如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为，则该双曲线过点，且，所以，解得，所以，得，所以该双曲线的焦距为，故选：C．8．，分别是双曲线的左、右焦点，过左焦点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，则双曲线的渐近线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，设，，，可判断为直角三角形，再结合双曲线的定义可求得，得，则，，再利用勾股定理结合可求出，从而可求出渐近线方程.【详解】因为，所以可设，，，其中，所以，所以为直角三角形．又因为，，所以，所以，所以2a＝2k，所以k＝a，所以，，又因为，所以，所以，又，所以，所以，所以渐近线方程为．故选：B．二、多选题9．若直线与双曲线仅有一个交点，则a的值可以是（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】BD【分析】由双曲线的性质，结合直线与双曲线的交点个数判断a的值.【详解】由题设，双曲线顶点坐标为，要使与双曲线仅有一个交点，所以.故选：BD10．已知对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点，则（

）A．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2B．双曲线C的虚轴长为2C．双曲线C的两条渐近线互相垂直D．为双曲线C的两个焦点，过的直线与双曲线C的一支相交于P，Q两点，则的周长为8【答案】AC【分析】由题意可设双曲线的方程为，再将点代入方程可求出的值，从而可得双曲线方程，然后逐个分析判断【详解】由题意可设双曲线的方程为，把点代入上式得双曲线的方程为所以双曲线的虚轴长为4；等轴双曲线的两条渐近线互相垂直；且渐近线方程为:，焦点坐标分别为，，故焦点到渐近线距离为2；由双曲线定义可知的周长为，所以BD错.故选：AC三、填空题11．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长为___________.【答案】2【分析】由双曲线的虚轴长的定义可得.【详解】双曲线方程为，所以，所以虚轴长为.故答案为：2.12．已知椭圆：，双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为______．【答案】16【分析】先求出双曲线的渐近线方程，然后代入椭圆方程中求出交点坐标，从而可求出四边形的面积.【详解】双曲线的渐近线方程为，代入椭圆方程得，解得，则双曲线的渐近线与椭圆的四个交点分别为，，，，所以四边形为矩形，面积为．故答案为：1613．已知点P在双曲线上，若P，Q两点关于原点O对称，