增分专题四空间几何体截面问题

增分专题四空间几何体截面问题一、单选题1．如图，在正方体中，AB=2，E为棱BC的中点，F为棱上的一动点，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是（）A．平行四边形 B．等腰梯形C．五边形 D．六边形【答案】D【分析】对分类讨论，分别画出所对应的截面图形，即可判断；【详解】解：当，即F与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形；当时，如图2，截面为平行四边形AEGF；当时，如图3，截面为五边形AEGHF，当，即F与重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF．故选：D2．如图所示，一个棱长为的正四面体，沿棱的四等分点作平行于底面的截面，截去四个全等的棱长为的正四面体，得到截角四面体，则该截角四面体的体积为（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】先计算出棱长为的正四面体的体积，然后计算出棱长为的正四面体的体积，由此可求截角四面体的体积.【详解】如图所示正四面体的棱长为，所以，所以，所以此正四面体的体积为，同理可计算出棱长为的正四面体的体积为，所以截角四面体的体积为：，故选：D.3．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，若过直线的平面截圆锥所得的截面是面积为8的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设圆锥的母线长为，根据题意求得，进而求得圆锥的点半径为，结合圆锥的侧面积公式,即可求解.【详解】设圆锥的母线长为，则，得，即母线长为4，设圆锥的底面半径为，则，解得，即圆锥底面圆的半径为，所以圆锥的侧面积为.故选:D.4．如图，在棱长为2的正方休中，，，分别为，，，的中点，过，，三点的平而截正方休所得的截面面积为（）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意画出截面，得到截面为正六边形，从而可求出截面的面积【详解】如图，分别取的中点，的中点,的中点，连接，因为该几何体为正方体，所以∥,∥,∥,且所以，，三点的平面截正方体所得的截面为正六边形，所以该正六边形的面积为.故选：D5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可知，该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可判断出选项B正确．【详解】如图所示：因为三棱锥的各棱长均相等，所以该三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是．故选：B．6．已知正四面体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则正四面体的外接球被平面所截的截面面积是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先将正四面体放入相应的正方体中，根据题意可得球心在上，所以正四面体的外接球被平面所截的截面即大圆，进而可得其面积.【详解】将正四面体放入正方体中，如图所示，因为，分别为，的中点，所以，分别为左右侧面的中心，所以正方体的外接球即正四面体的外接球球心为线段的中点，所以正四面体的外接球被平面所截的截面即为大圆.因为正四面体的棱长为2，所以正方体的棱长为，所外接球半径，所以大圆面积为：.故选：C.7．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，M，N为线段BC，CC1上的动点，过点A1，M，N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的个数是（）①当BM＝0且0＜CN＜1时，S为等腰梯形；②当M，N分别为BC，CC1的中点时，几何体A1D1MN的体积为；③当M为BC中点且CN＝时，S与C1D1的交点为R，满足C1R＝；④当M为BC中点且0≤CN≤1时，S为五边形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用空间直线与直线，直线与平面的位置关系，作辅助线，以及锥体的体积公式进行计算，对选项逐一分析，利用命题真假进行判断即可．【详解】解：对于①，如图所示当且时，由面面平行的性质定理可得，交线，且，所以截面S为等腰梯形，①正确；对于②，如图所示面，面故几何体的体积等于几何体的体积又几何体的体积等于所以几何体的体积为，②正确；对于③，如图所示当时，延长交与点，连结交于点，，，③错误；对于④，如图所示当，即点重合时，此时截面S为四边形，不是五边形，④错误；故选：B．【点睛】本题考查了空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，锥体体积的计算，考查了推理能力与计算能力，属中档题．8．已知正方体棱长为4，P是中点，过点作平面满足平面，则平面与正方体的截面周长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出平面为平面，再根据正方体的棱长为4，即可得答案；【详解】取AD的中点M，AB的中点N，连结PD，则平面PCD，CP，又MN面，PCMNPC面，即平面为面，，截面的周长为，故选：A.【点睛】本题考查空间中平面的作法、线面垂直判定定理与性质定理的运用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.二、多选题9．如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面可能是（）A．平行四边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形【答案】ABC【分析】根据正方体的几何结构特征，当，截面为矩形；当时，截面为平行四边形；当时，截面为五边形；当，截面为等腰梯形，即可求解.【详解】当，即与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形；当时，如图2，截面为平行四边形；当时，如图3，截面为五边形；当，即与重合时，如图4，截面为等腰梯形.故选：ABC.10．如图，棱长为的正四面体形状的木块，点是的中心．劳动课上需过点将该木块锯开，并使得截面平行于棱和，则下列关于截面的说法中正确的是（）A．截面不是平行四边形B．截面是矩形C．截面的面积为D．截面与侧面的交线平行于侧面【答案】BCD【分析】过点构建四边形，通过相关直线间的平行关系进一步证明为平行四边形，找对应线之间的垂直证明截面为矩形，从而计算截面面积【详解】解：如图所示，在正四面体中，4个面均为正三角形，由于点为的中心，所以位于的中线的外，分别取的三等分点，则∥，∥，∥，∥，所以∥，∥，所以截面为平行四边形，所以A错误，延长交于，连接，由于为的中心，所以为的中点，因为，所以，因为，所以平面，所以，因为∥，∥，所以，所以截面为矩形，所以B正确，因为，所以，所以C正确，对于D，截面平面，∥，平面，平面，所以∥平面，所以D正确，故选：BCD11．(多选题)用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）A．圆柱 B．圆台 C．球体 D．棱台【答案】ABC【分析】判断出圆柱的截面图形，即可求解.【详解】圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圆柱)，不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形.故选：ABC.12．如图，已知正方体的棱长为2，设点分别为的中点，则过点的平面与正方体的截面形状可能为（）A．三角形 B．矩形C．五边形 D．六边形【答案】BCD【分析】在正方体的内部，由平面的延展性，截面不可能的三角形；取的中点，连接，此时过的平面即为平面；取，，连接，此时过的平面即为五边形；分别取的中点，连接，此时过的平面即为六边形，【详解】在正方体的内部，由平面的延展性，截面不可能的三角形，故A错误；取的中点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，又，所以四边形是矩形，此时过的平面即为平面，B正确；取，，连接，分别取的中点，取，连接、，可得，，所以在同一平面内，在同一平面内，又过的平面只有一个，所以是五边形，此时过的平面即为五边形，故C正确；分别取的中点，连接，由正方体的性质，交于一点，所以的中点在平面内，即也在平面内，所以是六边形，此时过的平面即为六边形，故D正确.故选：BCD.三、填空题13．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是___．【答案】平面A1C1D，平面A1C1B【分析】根据题意，结合图形，得出与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．【详解】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AC平行，且过正方体三个顶点的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四边形ACC1A1是平行四边形；∴AC∥A1C1，又AC平面A1C1D，A1C1平面A1C1D，∴AC∥平面A1C1D；同理AC∥平面A1C1B．故答案为：平面A1C1D，平面A1C1B．14．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面哪几种：________（填序号）．①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台；⑦球．【答案】①②③⑤【分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，即可判断.【详解】无论是棱柱，还是棱锥，或者棱台，总存在过一个顶点出发的三条棱，在这三条棱上各取一个靠近顶点的点，经过这三点的截而便为三角形.用轴截而去截圆锥，则截面是三角形.另外，对于圆柱，圆台，球，无论怎样去截这些几何体，其截面均不可能为三角形故答案为：①②③⑤.15．正方体为棱长为2，动点，分别在棱，上，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，设，，其中，，下列命题正确的是_____．（写出所有正确命题的编号）①当时，为矩形，其面积最大为4；②当时，的面积为；③当，时，设与棱的交点为，则；④当时，以为顶点，为底面的棱锥的体积为定值．【答案】②③④【分析】由题意可知当，变化时，为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可．【详解】解：当时，点与点重合，，此时为矩形，当点与点重合时，的面积最大，．故①错误；当，时，为的中位线，，，，为等腰梯形的面积，过作于，，，，，，，故②正确；由图可设与交于点，可得，，，则，，故③正确；当时，以为定点，为底面的棱锥为，，故④正确；故答案为：②③④．16．已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为__________.【答案】【分析】利用正方体的线面关系，判断平面所在的位置，然后求得截面面积的最大值即可.【详解】在正方体中，共有3组互相平行的棱，每条棱与平面所成的角都相等，如图所示的正六边形对应的截面面积最大.此时正六边形的边长为，其面积为故答案为：四、解答题17．已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.【答案】图象见解析【详解】18．如图所示，正四棱锥的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱作截面，求截面的面积.【答案】【分析】根据正四棱锥的性质求解截面的面积即可.【详解】根据正棱锥的性质，知底面是正方形，故.在等腰中，，又∵，∴，∴，即.19．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.【答案】．【分析】设出长方体的三条棱长，求出棱锥C－A′DD′和长方体的体积后可得比值．【详解】设，则长方体体积为，，所以棱锥体积为，所以．20．已知正三棱柱的所有棱长都是1（1）画经过ABC三点的截面（2）过棱BC作和底面成二面角的截面，求此截面面积.【答案】（1）见解析

（2）【分析】（1）连接AB与交于点P，连接AC与交于点Q，再连接PQ即可；（2）取BC的中点E，连接AE，EF，得到是截面与底面所成的角，由，得到截面不与棱相交，与平面相交于，得到截面为梯形求解.（1）如图所示；连接AB与交于点P，连接AC与交于点Q，然后连接PQ与交于点M，与交于点N，所以经过ABC三点的截面是ABMN；（2）如图所示：取BC的中点E，连接AE，EF，则，所以是截面与底面所成的角，即，因为，所以，所以截面不与棱相交，与平面相交于，因为平面平面ABC，所以，所以截面为梯形，又，，所以，因为，所以，所以截面的面积为.21．用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：（1）如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？（2）如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？（3）能否截出正五边形？为什么？（4）是否存在正六边形的截面？为什么？（5）有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？【答案】（1）三类，见解析（2）五类，见解析（3）不能，见解析（4）存在，见解析（5）不能，见解析.【分析】（1）根据题意作出截面，并分类即可；（2）根据题意，作出截面，并分类即可；（3）假设可以截出，反证法说明即可；（4）过六条棱个中点的截面即为正六边形.（5）结合正方体最多只有6个平面说明即可.（1）解：如果截面是三角形，则可以是锐角三角形，等腰三角形，等边三角形，不能出现直角三角形和钝角三角形，如图是截面情况.（2）解：若截面是四边形，可以是梯形，平行四边形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以为等腰梯形，其中梯形：过相对两个平面上平行且不等长的线的截面所截得图形；平行四边形：过正方体的一条体对角线，且不过正方体的棱及棱的中点的截面所截得图形