高考数学专项复习：函数与导数（解析版）

专题01函数与导数（数学文化）

一、单选题

1.（2022春•辽宁沈阳•高二校联考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点

定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁

伊兹・布劳威尔（L.E.J.Brouwer）,简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数/（x）存在一个点％,使得

/（%）=%,那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）

A./(x)=2X+xB.f(x)=x2-x+3

2尤2-1,x411

C.=<।D.f（x）=-+2x

【答案】C

【分析】根据题意逐个解方程判断即可

【详解】解：对于A,由/（x）=x,得2，+x=x,即2*=0,方程无解，所以A不符合题意，

对于B,由〃幻=尤，得/_彳+3=尤，即£+3=0,方程无解，所以B不符合题意，

对于C,由〃x）=x,得当xWl时，2X2-1=X,BP2X2-X-1=0,解得了=1或%=-;，所以此函数为“不动

点函数”，所以C正确,

对于D,由〃x）=x,得！+2x=x,即£+1=0,方程无解，所以D不符合题意，,

X

故选:C

2.（2023•高一单元测试）上高中的小黑为弟弟解答《九章算术》中的一个题目：今有田，广15步，纵16

步，此田面积有多少亩？翻译为：一块田地，宽15步，长16步，则这块田有多少亩？小黑忘记了亩与平

方步之间的换算关系，只记得一亩约在200—25。平方步之间，则这块田地的亩数是（）

A.士B.1C.-D.2

22

【答案】B

【分析】先求出总的面积为240（平方步），再转化为亩数为||,|之间，对照四个选项，即可得到正确答

案.

【详解】总的面积为15x16=240（平方步）.

-2402401「246

因为一亩约在200-250平方步之间，所以转化为亩数为之间，即之间，对照四个选项，

4JU/4JJ

只有B正确.

故选：B

3.（2021秋•高一课时练习）圆的内接正方形的边长与圆的半径的比例称为白银比例，它在东方文化中的重

要程度不亚于西方文化中的“黄金比例”.山西应县释迦塔（即著名的应县木塔），是中国现存较为古老的木

构塔式建筑.该木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比与白银比例高度吻合.已知木塔顶层檐柱

柱头以下部分的高度为46.83米，则应县木塔的总高度大约是（）（参考数据：V2«1.414）

【答案】C

【分析】由题意，木塔总高度与顶层檐柱柱头以下部分的高度之比为血，又1.4〈收<1.5,可估计

【详解】设正方形的边长为。，圆的半径为「，

贝Ua=\[lr，

易知白银比例为四.

因为46x1.4=64.40,47x1.5=70.50,

所以64.40<46.83x0<70.50，故排除A,B,D.

故选：C

4.（2022秋•江苏扬州•高一扬州中学校考阶段练习）国棋起源于中国，春秋战国时期已有记载，隋唐时经朝

鲜传入日本，后流传到欧美各国.围棋蕴含着中华文化的丰富内涵，它是中国文化与文明的体现.围棋使用方

形格状棋盘及黑白二色圆形棋子进行对弈，棋盘上有纵横各19条线段形成361个交叉点，棋子走在交叉点

上，双方交替行棋，落子后不能移动，以围地多者为胜.围棋状态空间的复杂度上限为P=3361据资料显示

P

宇宙中可观测物质原子总数约为则下列数中最接近数值3的是（）（参考数据：1g3«0.477）

A.1089B.IO90C.1091D.1092

【答案】D

【分析】利用对数的运算法则计算lg3"i后可得.

【详解】1g3361=3611g3Q361XQ477=172.197,lg^=lgP-lge®172.197-80=92.197,

P

因此3最接近于10%

故选：D.

5.（2021秋•江苏•高一专题练习）据中国地震台网测定，2021年9月16日4时33分，四川省泸州市泸县

发生里氏6.0级地震.已知地震时释放出的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为

lgE=4.8+L5M.据此测算，2021年3月20日17时09分在日本本州东岸近海发生的7。级地震所释放出的

能量，约是该次泸县地震所释放出来的能量的多少倍？（精确到1;参考数据：加。3.16）（）

A.19B.23C.32D.41

【答案】C

【分析】利用指对数的互化可得分别求两次地震的能量，再应用指数的运算性质求地震能量的倍数.

【详解】由题设，四川省泸州市泸县发生里氏6.0级地震的能量为4=1048+06=1013.8,

日本本州东岸近海发生的7。级地震的能量为生=血"⑻=1063,

F3

-=10?=(痴)3X3.163x32.

6

故选：c

6.（2022秋•四川成都・高三校考开学考试）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德・皮尔提出一种能较好地描

P

述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为了。）=

l+a^

5

（尸>0,a>l,左<0）的形式.已知/（x）（xeN）描述的是一种果树的高度随着时间尤（单位：年）变化

1+2"+〃

的规律，若刚栽种时该果树的高为1m,经过一年，该果树的高为2.5m,则该果树的高度超过4.8m,至少

需要（）

附：log23»1.585

A.3年B.4年C.5年D.6年

【答案】B

【分析】首先根据已知条件求出fW,然后求不等式/«>4.8即可.

【详解】由题意可知,

5

/(0)==1

1+2〃k=-2

5b=2

/(!)==2.5

l+2i+b

故ef

由/（x）=］+Jx+2>4.8,WW^>|+|log23-3.3,

故该果树的高度超过4.8m,至少需要4年.

故选：B.

7.（2021秋.江苏南通・高三统考阶段练习）开普勒（人利的,15717630）,德国天文学家、数学家，他发现了

八大行星与海王星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比，已知天王星离太阳

的平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d,则天王星的公转时间约为（）

A.3802"B.304094C.608184D.912284

【答案】B

［分析］设天王星和土星的公转时间为分别为T和乙距离太阳的平均距离为/和/，根据、=J,r=2/,

T-r'3

结合已知条件即可求解.

【详解】设天王星的公转时间为T,距离太阳的平均距离为「，

土星的公转时间为T',距离太阳的平均距离为/,

由题意知：r=2r,7=107534,

所以雹=。=［二］=8,

T'-r'3"

所以T=2后'=20xl0753«10753x2.828=30409.4841,

故选：B.

8.（2021秋・广东东莞•高一校考阶段练习）中国古代十进制的算筹计数法在世界数学史上是一个伟大的创造.

据史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹计数的方法是：个位、百位、万位……的数按纵式的

数码摆出：十位、千位、十万位……的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示_1开三川.

123456789

纵式IIIIII1巾IIlliTH”四

横式——===|IJ_J=

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如图所示，则图片n=nn表示的结果和下列相同的是（）

A.34B.310g264C.812D.210g226

【答案】B

【分析】根据题意，判断出n=im表示的数字，然后考察各选项计算后的值是否符合.

【详解】根据题意，判断出n=nn表示的数字为729,

646

34=81,不符合题意；3脸=36=729,符合题意；8F个位数字为1,不符合题意；21og22=2x6=12,不

符合题意.

故选:B

9.(2022秋•辽宁朝阳•高一建平县实验中学校考期中)中文“函数(function)”一词，最早是由近代数学家

李善兰翻译出来的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，即函数

指一个量随着另一个量的变化而变化，下列四组函数，表示同一函数的是()

A./(x)=1,g(x)=x°B./(尤)=x(xeR)与g(x)=尤(尤eZ)

„,(x,x>0,----------

C./(x)=1x|与g(x)=<D.f(x)=yjx+2-y/x—2,g(x)=Jx，—4

[-x,x<0

【答案】C

【分析】根据给定条件结合同一函数的意义逐一分析各选项即可判断作答.

【详解】对于A,函数/(尤)定义域是R,g(x)定义域是(-s,0)U(0，+8)，A不是；

对于B,函数Ax)定义域是R,g(M定义域是Z,B不是；

,,(x,x>0

对于C,函数〃尤)=国=c定义域R,g(x)定义域是R,/⑴与g(x)的对应法则相同，C是；

对于D,函数/(X)定义域是[2,+oo),g(x)定义域是D不是.

故选：C

10.(2022秋•山东烟台•高三校考阶段练习)质数也叫素数，17世纪法国数学家马林-梅森曾对“2。-1”(P

是素数)型素数进行过较系统而深入的研究，因此数学界将“2。-l”(p是素数)形式的素数称为梅森素数.已

知第12个梅森素数为〃=2⑵-1，第14个梅森素数为双=26。7一1,则下列各数中与,最接近的数为()

M

参考数据：1g2。0.3010

A.IO140B.10142C.10144D.10145

【答案】C

【分析】近似化简三N，结合对数运算求得正确答案.

No607_i/^607

【详解】卷令2畋=左，两边同时取常用对数得lg2480=lg左，

N

1g左=480x1g2。144.48,A«1014448,结合选项知与△最接近的数为10印.

M

故选:C

11.（2022•贵州贵阳・高三贵阳一中校考阶段练习）辛亥革命发生在辛亥年，戊戌变法发生在戊戌年.辛亥年、

戊戌年这些都是我国古代的一种纪年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干；子、

丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支.按天干地支顺序相组配用来纪年叫干支

纪年法.例如：天干中“甲”和地支中“子”相配即为“甲子年”，天干中“乙”和地支中“丑”相配即为“乙丑年”，以

此纪年法恰好六十年一循环.那么下列干支纪年法纪年错误项是（）

A.庚子年B.丙卯年C.癸亥年D.戊申年

【答案】B

【分析】根据干支纪年法的规则判断.

【详解】干支纪年法中年份相当于第一排把10个天干按顺序排列6次（共60个），第二排把12个地支排

列5次（共60个），然后上下组合成一个年份.所有年份如下表所示：

1-10甲子乙丑丙寅丁卯戊辰己巳庚午辛未壬申癸酉

11-20甲戌乙亥丙子丁丑戊寅己卯庚辰辛巳壬午癸未

21-30甲申乙酉丙戌丁亥戊子己丑庚寅辛卯壬辰癸巳

31-40甲午乙未丙申丁酉戊戌己亥庚子辛丑壬寅癸卯

41-50甲辰乙巳丙午丁未戊申己酉庚戌辛亥壬子癸丑

51-60甲寅乙卯丙辰丁巳戊午己未庚申辛酉壬戌癸亥

故B错误，

故选：B.

12.（2022秋・湖南怀化•高一统考期末）缪天荣（1914-2005）,浙江人，著名眼科专家、我国眼视光学的开

拓者.上世纪50年代，我国使用“国际标准视力表”检测视力，采用“小数记录法”记录视力数据，缪天荣发现

其中存在不少缺陷.经过3年苦心研究，1958年，他成功研制出“对数视力表”及“5分记录法”.这是一种既符

合视力生理又便于统计和计算的视力检测系统,使中国的眼视光学研究站在了世界的巅峰.“5分记录法”将视

力L和视角。（单位：，）设定为对数关系：L=5-lga.如图，标准对数视力表中最大视标E的视角为10',

则对应的视力为i=5-lglO=4.0.若小明能看清的某行视标E的大小是最大视标E的。（相应的视角为

4

25）,取32=0.3,则其视力用“5分记录法”记录（）

标准对数视力表

E

sm

EUJ

lUEm

SEUJ

A.3.6B.4.3C.4.6D.4.7

【答案】C

【分析】将/=2.5代入乙=5-Iga,求出乙的值，即可得解.

【详解】将。=2.5代入函数解析式可得L=5—lg2.5=5—lg¥=5-lgl0+lg4=4+21g274.6.

4

故选：C.

13.（2022・全国•高三专题练习）瑞典著名物理化学家阿伦尼乌斯通过大量实验获得了化学反应速率常数随

温度变化的实测数据，利用回归分析的方法得出著名的阿伦尼乌斯方程：笈含，其中左为反应速率常

数，R为摩尔气体常量，T为热力学温度，以为反应活化能，A（A>0）为阿伦尼乌斯常数.对于某一化学反

应，若热力学温度分别为4和时，反应速率常数分别为勺和心（此过程中R与纥的值保持不变），经计算

Ek

-前=知，若岂=2不则嗤=（）

Mi—

A.—B.MC.y[MD.2M

【答案】A

k”

【分析】先由题意表示出占和女2,再由指数运算求出广二。？，最后由对数运算求解即可.

欠2

纥纥EaMk[AeM'匕吆M

【详解】由题意知：匕=AeF=AeM,《=AeF=Ae—阚=A”，%='贝加古=比"=彳・

故选：A.

14.（2023・全国•高三专题练习）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得

频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能

量损耗满足传输公式：L=32.44+201gr）+201gF,其中D为传输距离，单位是km,F为载波频率，单位

是MHz,工为传输损耗（亦称衰减），单位为dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB,则传输

距离增加了约（参考数据：lg2土0.3,lg4土0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

【答案】C

【分析】由题，由前后两传输公式做差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果

【详解】设〃是变化后的传输损耗，F'是变化后的载波频率，M是变化后的传输距离，则r=£+18,F=2F,

r\'k'力'

18=r-L=201g+201g-201gD-201gF=201g—+201g—,贝lj201g—=18—201g2°12,即

DFD

D'一

lg—«0.6«lg4,从而即传输距离增加了约3倍，

故选：C.

15.（2022・辽宁・抚顺市第二中学校联考三模）一热水放在常温环境下经过f分钟后的温度T将合公式：

T-Ta=\^\T0-Tay其中1是环境温度，4为热水的初始温度，〃称为半衰期.一杯85℃的热水，放置

在25℃的房间中，如果热水降温到55℃,需要10分钟，则一杯100℃的热水放置在25℃的房间中，欲降

温到55℃,大约需要多少分钟？（）（1g2®0.3010,1g3®0.4771）

A.11.3B.13.2C.15.6D.17.1

【答案】B

【分析】依题意求出半衰期"再把。的值代入利用换底公式计算，即可求出结果.

【详解】解：根据题意，55-25=（^（85-25）,即（；）与=；,解得力=10,

ig2

后.t、2唱521g2—12x0.3010-1

所以6=l°gi三=一T=—T^一»1.322

1025Tg2-0.3010

2

所以八13.2；

故选：B

16.（2022春.安徽宣城.高二安徽省宣城中学统考期末）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中

有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，

问何日相逢？”，意思是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大、小鼠第一天都进一

尺，以后每天大鼠加倍，小鼠减半，则在第几天两鼠相遇？这个问题体现了古代对数列问题的研究，现将

墙的厚度改为10尺，则在第（）天墙才能被打穿？

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

27

【分析】设需要〃天时间才能打穿，结合题设列不等式并整理得2920,令/伽）=2"-，-9,利用

函数零点存在性定理及函数单调性即可求出结果.

2"-1

【详解】解：设需要〃天时间才能打穿，则+-卜210,

2T1-1

2

2

化简并整理得2〃-袤-920,

992

令/⑺=2"-至-9,则/⑶=23-梦-9<0；/（4）=24---9>0,

又/⑺在口,+8）单调递增，

・•・，⑺在（3,4）内存在一个零点，

・••至少需要4天时间才能打通.

故选:B.

17.（2022.陕西渭南.统考一模）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：

C=Wlog2（l+?）.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度。取决于信道带宽W、信道内信号的

平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中《叫做信噪比，当信噪比较大时，公式中真数中的1可

N

q

以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽W,而将信噪比u从1000提升至6000,则。的增长率为（）

N

（1g2«0.3010,1g3Po.4771）

A.10%B.16%C.26%D.33%

【答案】C

【分析】根据所给公式、及对数的运算法则代入计算可得；

q

【详解】解：当—二1000时，G=Wlog21000，

N

当»=6000时，C,=Wlog,6000,

N一一

・G_Wlog26000_1g6000_3+1g2+1g3『3+0.3010+0.4771

-

**-Wlog21000-IglOOO3"3"•'

：.C的增长率约为26%.

故选：c

18.（2022.高一课时练习）数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为n（x）合户.根

inx

据欧拉得出的结论，可估计IO,以内的素数的个数为（）（注：素数即质数，Ige«0.4343）

A.2172B.4343C.869D.8686

【答案】D

【分析】根据所给函数代入，化简求值即可.

【详解】7T（1O5U^—^^^-=2xl04xlge®2xl04x0.4343-8686.

'）InlO55In10In10

故选:D

19.（2022•全国•高三专题练习）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据史

料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位...的数按纵式的数码

摆出；十位、千位、十万位...的数按横式的数码摆出.如7738可用算筹表示为工口三川.

纵式：IIIIII1111muTnww

横式：--=三=11xXi

123456789

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，贝U3喝64的运算结果可用算筹表示为（）

【答案】D

【分析】利用对指数运算算出3Mg264的结果，再对照题中数码即可得到结果.

【详解】因为3脸64=3陶於=36=729,对照题中数码，注意纵式与横式，即可得到答案D.

故选：D.

20.（2022秋.河北邢台.高一邢台一中校考阶段练习）17世纪，苏格兰数学加皮纳尔在研究天文学过程中,

为了简化大数运算，发明了对数，对数的思想方法即把乘方、乘法运算转化为乘法、加法运算，从而简化

运算过程.数学家拉普朗斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”，现代物理学之

父伽利略评价“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙”.已知1g2。0.3010,则所在的区间为（）

A.(1O1O,1O30)B.(1O29,1O30)C.(1O3°,1O31)D.(1031,1032)

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合已知数据、对数的运算公式进行求解即可.

【详解】设2-=r=>1g*=1gin1gt=1001g2n1gta30.1n/21O301,

故选：C

21.（2022秋・北京海淀•高三北大附中校考阶段练习）成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》

中记载了通过加减消元求解〃元一次方程组的算法，直到拥有超强算力计算机的今天，这仍然是一种效率极

高的算法.按照这种算法，求解〃元一次方程组大约需要对实系数进行C/（C为给定常数）次计算.1949

年，经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”（该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖），利用当时的计算

机求解一个42元一次方程组，花了约56机时.事实上，他的原始模型包含500个未知数，受限于机器算力

而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简，根据未知数个数估计所需机时，结果最接近于（）

A.1（）3机时B.机时C.机时D.1（）6机时

【答案】C

【分析】设1机时能进行。次计算，由题意得。423=56”,设所需机时为f,得出。5003a切,两式相比，可得

7合乎4*56,化间计算可得答案.

423

【详解】设1机时能进行。次计算，则由题意得423。56。，

原始模型包含500个未知数，如果不进行化简，设所需机时为3

则C5003as,故”Wx56=do=1^2x105«o.94xlO5,

57l'

42333X721323

故结果最接近于施机时，

故选:C

22.（2021秋•陕西渭南•高一统考期中）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是北（℃）,空气

的温度是4（℃）,经过/分钟后物体的温度7（。0可由公式7="+口-幻e425'求得把温度是90（的

物体，放在KTC的空气中冷却，分钟后，物体的温度是50。（2,那么/的值约等于（参考数据：ln3«1.10,

In2-0.69）（）

A.1.76B.2.76C.2.98D.4.40

【答案】B

【分析】根据所给数据代入方程即可求得结果.

【详解】由题可知：北=90,4=10,7=50,

代入方程T="+口一"）/矽得：50=10+（90-1。比g"，

即e"5，=J_,两边取对数得：-0.25/=In工=-In2,

22

而In2a0.69,故-0.25?®-0.69,

解得：t~2.76.

故选：B

23.（2021秋・陕西榆林•高一陕西省神木中学校考阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》

中首次将‘的〃bi。””译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此

为彼之函数”.已知集合/={-1,1,2,4},N={1,2,4,16},给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能

构成从M到N的函数的是（）

A.y=2xB.y=x+2

C.>=2忖D.y=x2-l

【答案】C

【分析】对ABD利用特殊值即可判断；对C利用函数的定义逐一验证即可.

【详解】对于A,当x=-l时，y~2史N,故A错误；

对于B,当尤=1时，>=1+2=3eN,故B错误；

对于C,当x=—l时，y=^T=2eN,

当x=1时，y=2"=2eN,

当尤=2时，y=2M=4eN,

当x=4时，y=2^=16wN,

即任取xeAf,总有y=2WeN,故C正确；

对于D中，当x=-l时，y=（-1）~-1=0eN,故D错误.

故选：C.

24.（2021秋.江苏扬州•高三校考期中）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入

微，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中我们常用函数的图象来研究函数的性质，

工？一

也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数/（X）=7,_e-［的部分图象大致为（）

答

【详解】由|T得：|e=e7|w0且le,-e-'伊1,当|e*-丁］=0时，x=0,当|eJeT|=l时,

ln\e-e

,V5±l

x=In-----,

2

于是得函数的定义域为(3,In与351n^3,0)50,In75+1八75+1、

2）u（ln2，+8），

结合定义域及图象，选项A,D不正确；

当0<x<ln®"时，e「er单调递增，则0<二一已，<避土'一2

~i=—=1,BPln|ex-e-x|<0,而

22V5+1

x3-3x=x(x2-3)<0,

x3-3x

因此有〃%)=］|xT>0,显然选项C不正确，选项B满足.

ln\e-e

故选：B

25.(2023•全国•高三专题练习)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉,

用其名字命名的“高斯函数”：设xdR,用［x］表示不超过尤的最大整数，则'=［幻称为高斯函数，也称取整

函数，例如：[-3.7]=-4,[2.3]=2.已知/（x）=」一-则函数）="（尤）]的值域为（）

ex+12

A.{0}B.{-1,0}C.{-2,-1,0}D.H,0,1}

【答案】B

【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为/（尤）=-2+:,然后分析函数“X）的值域，再根据高斯

函数的含义确定y=[/（力]的值域.

11

【详解】

2~ex+l

・・。，1111

•e"+l>l,>--1<--Ar<—<--------<—

e+122，十12

••."(切=-1或0,

・•。="（浏的值域为{-1,0}.

故选：B.

26.（2021.江苏.高二专题练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为，型，比如：当x->0时,

交匚的极限即为苫型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必

x0

达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法汝口:

ex-lex-l则感Inx

lim-------=lim=lim—=limex=e0=1f)

x->0xx->0£x->01x->0

A.0B-IC.1D.2

【答案】B

x2Inx的极限即为，型，再利用给定法则计算即可得解.

【分析】判定当xf1时,

x2-l

x2Inx的极限即为，型,

【详解】显然，当Xf1时,

x2-l

2

x2Inx(xInx)2x\nx+x11

所以：lim=lim----------=lim-=---l-i-m--|--l-n--x+-|=lnl+-=-.

Xf1x2-lXfi2xX->1222

故选：B

27.（2022秋•河南驻马店•高一校考期中）意大利画家达・芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下

自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数.就是一种特殊

的悬链线函数.其函数表达式为coshx=交二，相应的双曲正弦函数的表达式为sinhx=《2.设函数

22

〃力=上萼，若实数用满足不等式〃2加+3)+/(-4)>0,则加的取值范围为()

COS11X

A.(—1,3)B.(-3,1)

C.(-3,3)D.(F,-3)U(1,E)

【答案】A

【分析】由题可判断了(X)为奇函数，且在R上为增函数，所以不等式化为/(2m+3)>/(%2),利用单调性

即可求解.

【详解】由题意可知，=勺二的定义域为R,

e+e

•・•〃一同=三?=-小)，\了⑸为奇函数,

xx2x、

•・.〃x)P=%_P-f=i"_1=l-7高，且,g(x)=E2在R上为减函数，

2

••・由复合函数的单调性可知〃%)=1-苫工在R上为增函数.

•«,/(2m+3)+/(-m2)>0,/./(2m+3)>f(m2),

/.m2—2m—3<0,-1<<3.

故选：A.

28.(2022・全国•高三专题练习)高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”

命名的成果就多达110个，为数学家中之最.对于高斯函数y=[x],其中[可表示不超过X的最大整数，如

[1.7]=1,[-1.2]=-2,㈤表示实数X的非负纯小数,gp{x}=x-[x],{1.7}=0.7,{-1.2}=0.8.若函数

y={x}-l+loSax(。>0,且。中1)有且仅有3个不同的零点，则实数。的取值范围是()

A.(2,3]B.[2,3)C.(3,4]D.[3,4)

【答案】D

【分析】将函数的零点问题转化为y=10gli%的图象与函数y=1-{耳的图象有且仅有3个交点的问题，根据

高斯函数的定义，求出y=i-"}的解析式，作出其图象，数形结合即可得参数的取值范围.

【详解】函数>={耳-1+1/小有且仅有3个零点，

即产10g“X的图象与函数y=l-{x}的图象有且仅有3个交点.

l-x,O<x<l

2-x,l<x<2

而y=l-{x}=l+[x]-x=<3-x,2<x<3,

4-x,3<x<4

画出函数y=i-{M的图象,

易知当0＜。＜1时，y=log〃x与y=i-㈤的图象最多有1个交点，故

log”3<1

作出函数y=log4％的大致图象，结合题意可得,,「解得：3<«<4,

1嗝4>1

所以实数。的取值范围是［3,4),

故选：D.

29.(2022・全国•高三专题练习)十八世纪，数学家泰勒发现了公式sinx=尤-《

3!5!7!

2n-lQ2O4O6o2n-2

+—其中〃£N*,XER,若7=］一刀+77_77+…—…，下歹U选项中

(2〃-1)!2!4!6!(2〃-2)!

与T的值最接近的是()

A.—cos8°B.—sin80C.—cosl8°D.-sinl8°

【答案】A

【分析】已知式两边同时求导，然后令x=3代入，并结合角的变换，诱导公式变形可得.

丫3丫572n-\

【详解】因为sinx=x-'+土一土+…+(-1)7；^^+...,

3!5!7!(2月一1)!

22〃-2

所以cosx=l_E+《_J…+(_1尸

---------F…,

2!4!6!(2〃-2)!

32"-2

令X=3得COS3=+----F(一1)“T-----------------------1-...

(2H-2)!，

540°

BPT=cos3=cos(----)«cos172°=-cos8°.

71

故选:A.

30.（2022秋・江苏镇江•高三江苏省丹阳高级中学校联考阶段练习）意大利著名天文学家伽利略曾错误地猜

测链条自然下垂时的形状是抛物线.直到1690年，雅各布•伯努利正式提出该问题为“悬链线”问题并向数学

界征求答案.1691年他的弟弟约翰・伯努利和菜布尼兹、惠更斯三人各自都得到了正确答案，给出悬链线的

ea+e（为自然对数的底数）.当时，记。=〃-）

=acosh-=aea=22,

a

机=〃=/（1），则p，m,〃的大小关系为（）

A.m<p<nB.m<n<p

Qn<m<pD.p<m<n

【答案】B

【分析】利用定义判断函数的奇偶性,再利用导数得到函数Ax）在区间（。,+8）上单调递增，分析即得解

【详解】由题意知，"acos——

当a-2时，f(x)=e5+”

7E乂域为R，且f（—x）=e，+e，=jf（x）

故/⑺为偶函数

rx\

1+11

v1巧巧

乂f\x）=-（—4+戌）=V——Zk'

2-

当工,。时，r«>o,即函数八%）在区间（。,+8）上单调递增

因为/（-2）=/（2）,

又0<g<l<2,所以⑴</（2）,即m

故选：B

31.（2022.天津滨海新.天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形

时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图

象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标*<中抽象出一个

如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（）