2025中考数学专项复习：圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型（含答案）

2025中考数学专项复习圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切

圆模型

圆中的重要模型一一圆中的内切圆和外接圆模型

模型1、内切圆模型

【模型解读】

内切圆:平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆,这时称这个多

边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。

三角形内切圆圆心:在三角形中,三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相

等。正多边形必然有内切圆,而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。

【常见模型及结论】

1）三角形的内切圆模型

条件:如图1,。。为三角形ABC的内切圆（即。为三角形ABC的内心），。。的半径为

结论:①点。到三角形ABC的三边距离相等;②ZBOC=90°+4/氏4。；③r=等叱。

2CAABC

2）直角三角形的内切圆模型

条件:如图2,O。为7?於43。的内切圆（即。为三角形ABC的内心），0O的半径为

结论:①点O到三角形ABC的三边距离相等;②NBOC=90°+]/历1。；③r=4°+.f；

3）四边形的内切圆模型

条件:如图3,©O是四边形ABCD的内切圆。

结论：AB+CD=AD+BCo

题]（2023•黑龙江鸡西•校考三模）如图，在&ABC中，/A=80°,半径为3cm的OO是&ABC的内切圆，连

接OBOC,分别交◎。于。，E两点，则DE的长为.（结果用含乃的式子表示）

吼2（2022秋・安徽・九年级统考期末）如图，在△ABC中，=过点B作BD,AC于点。，P是

△ABC内一点，且ZBPC=108°,连接CP交BD于点H,若点P恰好为LABE内心，则/PEB的度数为

（）

B

A.36°B.48°C.60°D.72°

题3（2023我••河南源河•九年级统考期末）如图，。。是AABC的内切圆，切点分别为。,E,F,且/A=90°,

BC=5,CA=4,则。。的半径是.

吼£（2023我•辽宁朗芦岛•九年级统考期末）如图，点。是△AB。的内心，ZA=60°,OB=3,OC=6,BC=

3V7,则。O的半径为.

的5（2023•江苏南京•九年级校联考阶双练习）如图，AB.BC、CD、D4都是。。的切线.若AO=3,口。=

6,则+。。的值是.

四6（2023•成鄢市九年A1期中）如图，。。是△48。的内切圆，D、E、F为切点，4B=18cm,BC=20cm,

人。=12«11,的7切。0交48于河,交收7于乂则4助斯的周长为（）

•M

A

E

M

ND

A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm

血］7（2023•四川宜宾•九年级专慝练习）如图,在直角坐标系中，一直线I经过点”（遍，1）与2轴、沙轴分别交

于4B两点，且=可求得△AB。的内切圆。Oi的半径发产，^一1；若。。2与。。1、八"轴分

别相切，。&与。。2、，、U轴分别相切，…,按此规律，则0O2014的半径72014=.

网］8（2023•广东东莞•九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，/C=90°,/B=30°,

内切圆与BC边切于点。，则4到。的距离AD=（）

A.V4+2V3B.V3+3V3C.V3+4V3D.V5+2V3

模型2、多边形的外接圆模型

【模型解读】

外接圆，与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一

个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆,此时圆正好把三角形包围。

三角形外接圆圆心:即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。

【常见模型及结论】

1）三角形的外接圆模型

条件:如图1,。。为三角形ABC的外接圆（即。为三角形48。的外心）。

结论:①0A=OB=OC；②ZBOC=22BAC。

A

AD

2）等边三角形的外接圆模型

条件:如图2,点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。

结论:①NBPC=120°,PM平分NBPC；②PA=PB+PC；③需=W1；

Jr.1V1JrD1O

3）四边形的外接圆模型

条件:如图3,四边形ABCD是。。的内接四边形。

结论:①ZABC+ZADC=180°；/BAD+/DCS=180°；②/。AB=ZDCE.

题］（2023•黑龙江•校联考模拟预测）△ABC中，/A=80°,点M是△ABC的外心，点N是AABC的内心，连

接BW,CM,BN,CW,则/BMC与乙BNC的差为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

网］2（2023秋・河北邢台・九年级校联考期末）如图，点O,1分别是锐角△ABC的外心、内心，若/A4C=

8AOAC=48°,则ABCI的度数为.

回色（2023•湖北武汉•九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于。O,AB=AC=4西，BC=8,则。。的

半径为.

四4（2022春・江苏•九年级期末）△ABC中，AB=AC=13,24,点I是△ABC的内心，点。是&ABC的

外心，则OI=.

画亘（2023.广东九年级期中）如图，在△48。中，60°,以AB为直径的半圆。分别交AC,BC于点O,

E,已知OO的半径为，（1）求证：△CDE〜△CR4；（2）求DE的长.•M

C

D,

分析（1）由圆内接四边形的外角等于它的内对角知/CED=乙4（或ACDE=/B）,又有ZC=故

△CDE〜△CR4；（2）连接AE.由（1）中△CDE〜/XCBA得。E：BA=CE：C4,由于直径对的圆周角是

直角，有/人破=/人£。=90°；在五方44£；。中，有/。=60°,/CAE=30°.则DE：BA=CE：CA=1：

2,即DE=四.

解答（1）证明：•••四边形ABED为OO的内接四边形，

ZCED=/人（或ACDE=/B）；又/C=/C,/\CDE〜△CB4

⑵解:连接4B.

由⑴得△CDE〜△CRA,.•.£)£；：BA=CE：CA,

•：AB为。O的直径，,AAEB=NAEC=90°.

在Rt^AEC中，/C=60°,NCAE=30°；

:.DE：BA=CE：CA=1：2,即。E=6.

点评本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，直角三角形的性质等知

识的综合应用能力.

四6（2023湖北省荆门市九年级上期中）如图，A、P、B、C是。。上的四个点,AAPC=ACPB=60°.

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）探究P4、P5、PC之间的数量关系，并证明你的结论.

血］7（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点.（1）求/BP。的度数；（2）求

证：P4=PB+PC；（3）设交于点河，若AB=4,PC=2,求CM的长度.

〔课后专项训练〕

邂自兀（2023•湖北悬诲九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆。。与AB,BC,CA分别相切于点D,

后，尸,且4。=8。=2,£。=3,则448。的周长为（）

A.10B.10C.14D.16

遒目且（2023春•湖北九年*1漂时练习）己知△ABC的内切圆。。的半径为收■，且/BOC=120°,ZVIB。

的周长为16,则BC的长为（）

A.3B.4C.5D.6

（题目⑶（2023•河北石家庄•统考模拟预测）如图，将ZVLBC折叠,使AC边落在AB边上,展开后得到折痕

AD.将△AB。再次折叠，使边落在BA边上，展开后得到折痕AD交于点O.则以下结论

A.40=20。B.S2AB（广S四边形00无

C.点。到△4BC三边的距离相等D.点。到△ABC三个顶点的距离相等

［题目回（2022春•绵阳市九年税乐时练习）如图，点E是AABC的内心，AE的延长线和△AB。的外接圆相

交于点。，连接BD,CE,若/CBD=32°,则/BEC的大小为（）

C.122°D.128°

〔题目〔5〕（2023•山西太原•校考模拟fit测）如图，⑷。截^ABC的三条边所得的弦长相等，若=8。",则

/BOC的度数为（）

•M

A

C.130°D.115°

［题目|6］（2023•河北邢台•九年级校才阶段练习）如图，在4ABC中，点/为AABC的内心，点。在BC边上,

且若乙4BC=50°,/。=58°,则/4TO的度数为（）

A.176°B.174°C.172°D.170°

超耳00（2023春•湖北九年级期中）点/是△ABC的内心，若/B/C=115°,则乙4的度数为（）

A.50°B.57.5°C.122.5°D.50°或130°

题目回（2023•会庆九年级期中）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm,则这个三角形内切圆的半径是

（）

93

A.-cmB.--cmC.2cmD.3cm

82

遒互回（2023•广东广州•稣考中考真题）如图，△48。的内切圆。/与BC,CA,AB分别相切于点。，E,F,

若。/的半径为r,=a，则（BF+CE—BC）的值和/FDE的大小分别为（）

A.2r,90°-«B.0,90°C.2r,90°-yD.0,90°-y

Wt①（2023•山东•九年级专题练习）如图，点/为的4ABC内心，连接41并延长交△ABC的外接圆于点

。，若A/=2CD,点E为弦AC的中点，连接若/。=6,第=5,则由的长为（）

•M

A

C.4D.3.5

［题目|11］（2022秋•浙江宁波•九年级统考•期末）如图，点/为AABC的内心，连接4/并延长交4ABC的外接

圆于点。，交于点E,若Af=2CD,则普■的值为（）

L/D

8*

A.5B.6C.7D.8

［题目］12）（2022秋•湖北武汉•九年级校考阶段练习）如图，在。。中，阳=念，BC=6,4C=3V10.I是

△ABC的内心，则线段O/的值为（)

B.5-V10C.V10—3D.i710

O

题（2022春•浙江•九年级专题练习）如图，点。是△ABC的内心，也是△DBC的外心.若/A=

80°,则的度数是（）

A.60°B.65C.70°D.75°

崩2（2023•江苏九年级课时练习）己知等腰直角三角形外接圆半径为5,则内切圆半径为

A.5V2+5B.12V2-5C.5V2-5D.10V2-10

题目口可（2023•山东聊城•统考中考真题）如图，点。是△4BC外接圆的圆心,点/是△48。的内心，连接

OB,IA.若/G4/=35°,则/OBC的度数为（）

A.15°B.17.5°C.20°D.25°

题目①（2023•山东九年级月号）如图，。。是△ABC的内切圆,切点分别为点。、E、F,设4ABC的面积、

周长分别为S.l,QO的半径为r,则下列等式:①AAED+NBFE+&JDF=180°；②S=；③

2/即?=乙4+/。；@2（人。+改+跳;）=%,其中成立的是（填序号）

题目H⑵侬•四川绵阳・统考二＜）如图，在△48。中，/A4C=60°,其周长为20,。/是△48。的内切

圆，其半径为血，则△B/O的外接圆直径为.

趣目回（2023•广东•九年级专题练习）已知，点。为△48。的外心，点/为/\ABC的内心.

（1）若2BIC=115°,则NBOC=；（2）若ABOC=140°,则NBIC=.

题目回（2023•江苏南京•统考二模）如图,正方形ABCD的边长是4cm,E是8边的中点.将该正方形沿

BE折叠，点。落在点。'处.OO分别与AB,AD,8。相切，切点分别为F,G,H,则O。的半径为

cm.

•••

趣1Ho（2022机江苏盐城•九年虢统考知中）如图，/是△ABC的内心，人/的延长线交△ABC的外接圆于

点D

⑴求证：/氏4O=/CB。；⑵求证：BD=ZD；⑶连接B/、C7,求证:点。是△BZC的外心.

题目巨］（2023浙江年it上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以

称为圆的外切三角形.如图1,O。与△ABC的三边AC分别相切于点。，区F,则△ABC叫做。

。的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.如图2,。。与四边形ABCD

的边AB,BC,CD,DA分别相切于点E,F,G,H,则四边形ABCD叫做©O的外切四边形.

（1）如图2,试探究圆外切四边形ABCD的两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系,猜想：AB+CD一

AD+（横线上填“"V”或“=”）；（2）利用图2证明你的猜想（写出已知,求证,证明过程）；

（3）用文字叙述上面证明的结论:；

（4）若圆外切四边形的周长为32,相邻的三条边的比为2:5:6,求此四边形各边的长.

［题目〔22］（2023•福堡泉州•统考二#）如图，在△ABC中，点/是4ABC的内心.

•M

A

（1）求作过点［且平行于BC的直线，与AB,47分别相交于点。，E（要求:尺规作图,不写作法，保留作图

痕迹）；⑵若4B=6,人。=8,。g=卷，求BC的长.

O

题目区］（2023•山东•九年级专题练习）如图所示，在电△48。中，/。=90°,4。=3,3。=4

⑴求/B04.⑵求△ABC内切圆半径.

k

cEA

［题目||24）（2023卷•广东广州•九隼新校考阶段练习）如图，在4ABC中，AC=BC,以BC为直径的半圆。交

AB于点D.（1）尺规作图:过点。作半圆O的切线，交AC于点E；

（2）求证：乙ACB=2乙ADE；（3）若_DE=3,AE=代,求半圆。的半径长.

•M

A

（1）阅读理解:①如图A,在所在平面上存在一点P,若它到△ABC三个顶点的距离之和最小,则称

点P为AABC的费马点,此时PA+PB+PC的值为&ABC的费马距离.②如图B,若四边形ABCD的

四个顶点在同一个圆上，则有48・8+3。・。人=4。・5。,此为托勒密定理.

知识迁移:①请你利用托勒密定理解决如下问题:如图。，己知点P为等边外接圆的团上任意一

点.求证：PB+P。=R4；②根据（2）①的结论,我们有如下探寻△AB。（其中/A4G/ABC,乙4cB均

小于120°）的费马点和费马距离的方法：

第一步:如图。，在△ABC的外部以BC为一边作等边"CD及其外接圆；

第二步：在BC上任取一点P,连接PA,PB,PC,PD.易知PA+P'B+P'C=P'A+（P'B+PC）=P

A+；

第三步:请你根据（1）①中定义，在图。中找出△力BC的费马点P,则线段的长度即为△ABC的费

马距离.

（2）知识应用:今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，

解放军某部来到该市某地打井取水.己知三村庄4B、。构成了如图E所示的△ABC（其中乙4、/B、

,均小于120°），现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、。所铺设的输水管总长度最小,求输

水管总长度的最小值.

［题目③］（2023江苏拉城九年级月考）探究题

（1）知识储备:①如图1,已知点P为等边△ABC外接圆的弧8。上任意一点.求证：PB+PC=P4.

②定义:在△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小,则称点P为△48。的费

马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.

⑵知识迁移:我们有如下探寻△ABC（其中ZA,ZB,/C均小于120°）的费马点和费马距离的方法:如图

2,在△ABC的外部以BC为边长作等边谶。。及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即

12

为△ABC的费马距离.

（3）知识应用:①如图3所示的ZVLB。（其中/A、NB、均小于120°），AB=3,BC=4,/ABC=30°,现

取一点P，使点P到A、B、。三点的距离之和最小，求最小值；

②如图4,若三个村庄A、B、。构成以△ABC,其中AC=6km,BC=4〃^km,/C=90°.现选取一点P打

水井，使P点到三个村庄A、B、。铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最

小值为.（直接写结果）

圆中的重要模型一一圆中的内切圆和外接圆模型

模型1、内切圆模型

【模型解读】

内切圆;平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆,这时称这个多

边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。

三角形内切圆圆心:在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相

等。正多边形必然有内切圆,而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。

【常见模型及结论】

1）三角形的内切圆模型

条件:如图1,。。为三角形ABC的内切圆（即。为三角形ABC的内心），。。的半径为

结论:①点。到三角形4BC的三边距离相等;②ZBOC=90°③r=等理。

2CAABC

2）直角三角形的内切圆模型

条件:如图2,O。为7?於43。的内切圆（即。为三角形ABC的内心），0O的半径为

结论:①点O到三角形ABC的三边距离相等;②NBOC=90°+]/历1C；③r=4°+.f；

3）四边形的内切圆模型

条件:如图3,©O是四边形ABCD的内切圆。

结论：AB+CD=AD+BCo

题]（2023•黑龙江珑西・校考•三模）如图，在4ABC中，/A=80°,半径为3cm的OO是△48。的内切圆，连

接分别交。。于DE两点，则须的长为.（结果用含乃的式子表示）

【答案】-詈

【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到/OOE的大小，然后用弧长公式即可求解.

【详解】•・•内切圆圆心是三条角平分线的交点，

・・.AABO=ZCBO;AACO=ABCO设AABO=ACBO=a,AACO=ABCO=B，

在△ABC中：乙4+2a+20=180°①，在△BOC中：/Z?OE+a+6=180°②，

由①②得：2DOE=90°+yZA=90°+£x80°=130°,

%泳=鬻x兀、3=号兄故答案为：得兀.

口口18066

【点睛】本题考查内心的性质，求弧长；解题关键是根据角平分线算出ZDOE的度数.

的2(2022秋•安徽•九年级统考期末)如图，在△ABC中，AB=BC,过点B作BO，AC于点D,P是

△ABC内一点，且2BPC=108°,连接CP交BD于点E,若点P恰好为4ABE内心，则/PEB的度数为

()

A.36°B.48°C.60°D.72°

【答案】。

【分析】根据内心定义可知PB,PE,P4分别是乙4BE,NAEB,乙民4E的角平分线，推导出NBAE=

36°,由等腰三角形三线合一的性质可得NABE=ACBE,由全等三角形的判定及其性质可得△4BE*

△CBE(SAS),/BCE=NBAE=36°，继而可得4cBp=36°,ACBE=24°,进而即可求解.

【详解】•.•点P恰好为4ABE内心，

PB,PE,PA分别是AABE,NAEB,NBAE的角平分线,

：.APBE+APEB+NPAE=90°,

又4BPC=108°,AAPBE+NPEB=72°,AAPAE=18°，,NBAE=36°,

•.•AB=BC,BD_LA。于点。，二点。是AC的中点，ZABE=ZCBE,

入BE=BE,AB=CB,：./XABE言△CBE(SAS)4BCE=NBAE=36°,

又4BPC=108°,/.ZGBP=180°-108°-36°=36°,

又2CBE=2ABE=22PBE,：.NCBE=24°,

：.4PEB=ABCE+ZCBE=60°，故选：C.

【点睛】本题考查三角形内心的定义及其性质，全等三角形的判定及其性质、等腰三角形三线合一的性质，

三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学知识点.

厕3(2023秋•河南源河•九年级稣才朝末)如图，⑷。是4ABC的内切圆，切点分别为O,E,F,且/A=90°,

BC=5,CA=4,则。。的半径是.

•M

A

F,D

/1*O]\

/--—'B

【答案】1

【分析】先根据勾股定理求出48=3,由切线长定理得BD=BE,AD=AF,CF=CE,设。。=OF=

=则CF=CE=4—2；,m=跳；=3—2：,然后根据。£+跳；=5,求解即可.

【详解】解:在Rt^ABC中，；ZA=90°,BC=5,CA=4,,AB=VBC2-AC2=3,

•：QO为Rt^ABC的内切圆，切点分别为。，E,F,

:.BD=BE,AD=AF,CF=CE,如图，连接OD,OF,

•：QO为RtAABC的内切圆，r.OD_LAB,OF±AC,OD=OF,

：.AODA=/A=AOFA=90°,四边形ADOF是正方形，

设。。=OF=AF=AD=a;,则CF=CE=4-5BD=BE=3—x,

•••CE+BE=5,.•.4-2+3—/=5,.•.2=：!,则OO的半径为1.故答案为：1.

【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关

键是熟练掌握切线长定理.

吼£（2023秋■•辽宁葫芦岛•九年级*1*期末）如图，点。是△48。的内心，/A=60°,OB=3,OC=6,BC=

3V7,则。。的半径为.

【答案】畔I

【分析】过。作交BC于E,设BE=2,在Rt^OBE和Rt^OCE中，运用勾股定理即可解答;

【详解】过。作交BC于E,设BE=，

•M

A

•.•点。是△ABC的内心，08=3,OC=6,BC=3。

在Rt/^OBE中，由勾股定理可得：32=x2+r2在Rt^OCE中，由勾股定理可得：r2+（377-x）2=62

故32-X2+（3A/7-工y=36解得x=耳N故r=存7==吧L故答案为考L

【点睛】该题考查了角平分线的性质，勾股定理，圆的基本性质，解答该题的关键是掌握该部分知识点.

四5（2023•江苏南京•九年级校戚考阶段练习）如图，AB.BC、CD、DA都是OO的切线.若AD=3,BC=

6,则AB+CD的值是.

【答案】9

【分析】根据切线长定理，可得4尸=4区跳；=_5〃,。5=。7,。3=。干，由此即可解决问题.

【详解】•••AB.BC、CD、DA都是G）O的切线，.•.可以假设切点分别为E、H、G、F,

：.AF=AE,BE=BH,CH=CG,DG=DF,

：.AD+BC=AF+DF+BH+CH=AE+BE+DG+CG=AB+CD,

AD=3,BC=6,AB+CD=AD+BC=3+6=9,故答案为：9.

【点睛】本题考查了切线长定理，考查了数学运算能力.

题6（2023•成鄢市九年级期中）如图，。。是△48。的内切圆，D、E、F为切点，4B=18cm,BC=20cm,

4。=1231,的7切。。交48于河,交口。于乂则4囱郎的周长为（）

•M

A.20cmB.22cmC.24cmD.26cm

【答案】。

【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长,设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边

换边得到4BMN的周长.

【详解】是△ABC的内切圆是OO的切线，

又♦.•MV切。。于点K,.•.AF=MK、AE=AF\CE=CD、ND=NK、BF=BD,

：.ABTW的周长为：BM+MN+BN=BM+MK+NK+BN=(BM+MF)+(BN+ND)=BF+BD

设AE=AF=a,BF=BD=b,CE=CD=c,

则AB=18=6+a>BC=20=b+c、AC=12=a+c,

(a=5

解得(b=13,ABMN的周长为：BF+BD=2b=26cm.故选D.

[c=7

【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键.

血]7(2023•四川宜宾•九年级专慝练习)如图,在直角坐标系中，一直线I经过点”(遍，1)与2轴、沙轴分别交

于4B两点，且=可求得△AB。的内切圆。Q的半径r产遍一1；若。。2与。Q、八"轴分

别相切，。。3与。。2、，、U轴分别相切，…,按此规律，则0O2014的半径72014=.

【分析】连接OOi、AOi、BOi,作Q_D，OB于。，Oi后，48于况。1?，。4于F,将三角形48。分

解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值,再根据题意依次

•••

列出。。2,0。3…的半径大小，找出规律即可.

【详解】连接。。1、AOi、BQ,作OiDLOB于。，Q后，48于七，。1FLQ4于F,如图所示:

贝"OiD=OiE=OiF=rx,

・・・M是AB的中点，・・・8(0,2),A(2V3,0),则S^OO1B=yxOBx@=n,

22

^^AOIO~万xAOxT\—V5rl^^AOIB~gx4石xn——x^/24-(2A/3)XT1—2%SMOB=万X2

x2V3=2V3

SAAOB=S^OOIR+Saaoio+S^AO1B—(3+V3)T,I=2A/3ry

日工田省V3—1A/3-1.A/3—1

同理仔：,2二—o-，,3=-----o一

依此类推可得：。。刈4的半径/2014=?^故答案为净甘

【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理、规律型，解此类题目时要根据题意列出等式，适当地对

图形进行分解，总结出规律是解题的关键.

血］8（20237*东东莞•九年级统考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，/。=90°,=30°,

内切圆与BC边切于点。，则A到。的距离AD=（）

C.V3+4V3D.V5+2V3

【答案】。

【分析】取内切圆的圆心O,连接圆心与切点，由/。=90°,/B=30°可得ABAC=60°,再根据内切圆的

圆心的是三角形三■条角平分线的交点，可知/OAE=30°,从而得到46；=同，CE=1,CD=1,再用勾

股定理即可求解.

【详解】解：取内切圆的圆心。，与AC,AB的切点E、F,连接OD、OE、OF.

•：ZC=90°,ZB=30°,/.ABAC=60°,

内切圆的圆心的是三角形三条角平分线的交点，/OAB=：/A4C=30°

又；OH=1,OE_LAC（切线的性质），,AE=血，

­：OE±AC,OD工BC,ZC=90°,/.四边形CDOE是矩形，•M

又；OD=OE,；.四边形CDOE是正方形，；.CE=CD=OE=1,：.AC^AE+CE^V3+1,

在Rt^ACD中，/。=90°,/.AC2+CDi=AD2,

：.AD=VAC2+CO2=V（V3+1）2+12=V5+2V3,故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理，正方形的判定与性质，三角形的内切圆，切线的性质等知识，根据题意正确画

出的辅助线是解题的关键.

模型2、多边形的外接圆模型

【模型解读】

外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一

个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆,此时圆正好把三角形包围。

三角形外接圆圆心:即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。

【常见模型及结论】

1）三角形的外接圆模型

条件:如图1,。。为三角形ABC的外接圆（即。为三角形ABC的外心）-

结论：①。4=OB=。。；②ABOC=22BAC。

2）等边三角形的外接圆模型

条件:如图2,点P为等边三角形ABC外接圆劣弧上一点。

结论:①/BP。=120°,P河平分/BP。；②PA=PB+P。；③京=金+1；

iJVLJrJD1O

3）四边形的外接圆模型

条件:如图3,四边形48c。是③。的内接四边形。

结论:①ZABC+AADC=180°；/BAD+ZDGB=180°；②/。AB=ADCE.

刷I（2023•黑龙江•校联考模拟预测）△ABO中，/A=80°,点/■是A4BC的外心，点N是AABC的内心，连

接BM,CM,BN,CN,则/BMC与NBNC的差为（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】A

【分析】分别求出ABMC^2ZA=160°,BNC^130°,然后得出结果.

【详解】解:如图，二•点M是△ABC的外心，二ABMC=2/A=160°,

•.•点N是△ABC的内心，NBNC=180°-（NNBC+ANCB）

=180°—g（/ABC+ZACB）=180°-y（180°-ZA）=130°,

ABMC-ABNC=160°-130°=30°.故选：4

【点睛】本题考查三角形的内心和外心，解题关键掌握内心（内切圆圆心）和外心（外接圆圆心）的定义.

网］2（2023秋•河北邢台・九年级校联考期末）如图，点O,1分别是锐角△48。的外心、内心，若/B4C=

8/04。=48°,则ABCI的度数为.

【分析】连接先计算出6°,再利用外心性质和等腰三角形的性质得到AOCA=6°,

则AAOC=168°,利用圆周角定理得到ZABC=84°，接着计算出ZACB=48°,再根据三角形内心即可解

决问题.

【详解】解:连接OC,如图，

•/8ZOAC=48°,/.AOAC=6°,VO点为△ABC的夕卜A,OA=OC,：.AOCA=ZOAC=6°,

A/AOC=180°-6°-6°=168°,/.2ABe=84°,

•/ZACB+/CAB+ZABC=180°,/.AACB=180°-48°-84°=48°,

•.•/为△ABC的内心，.•.C7平分乙4cB,■乙4cB=24°.故答案为：24°.

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握

内心与外心定义.

吼且（2023•湖北武汉•九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于。O,人6=人。=4，^,3。=8,则。。的

半径为.

•M

o*

【答案】5cm

【分析】作A。，BC于。，根据等腰三角形的性质得BD=CD=qBC=4,再利用三角形外心的定义得

到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结08,设。O的半径为V,利用勾股定理，在RtAABD中计算出

AD=8,然后在RmOBD中得到42+(8-7>=r2,再解关于r的方程即可；

【详解】解：

如图1,作于。，•.•4B=AC,.•.BD=CD=9BC=4,.♦.△ABC的外接圆的圆心在AD上,

连结OB,设。。的半径为r,在RtAABD中，•.•AB=4J5,BD=4,/.AD=VAB2-Bn2=8,

在AtZXOBO中，OO=AO—OA=8—r,OB^r,BD^4,.\42+(8—解得了=5,

即△ABC的外接圆的半径为5;

【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解题关键证明等腰三角形底边上的高经过三角形外接圆的圆

心.

刷4(2022春.江苏.九年级期末)A4BC中，AB=AC=13,BC=24,点/是△ABC的内心，点。是△ABC的

外心,则OI=.

【答案】14.3

【分析】如图，过点4作4D，3。交于点。，由等腰三角形得点I、点。都在直线AD上,连接OB、OC,过

点/作IE±AC交于点E,设OA=OB=OC=R,ID=IE=r,根据勾股定理求出=5,则。D=R

-5,L4=5—r,由勾股定理求出R的值，证明AAEI〜ADC由相似三角形的性质得黑=£，求出r

的值，即可计算。/=04—L4.

【详解】如图，过点A作AD，BC交于点D,

A

■：AB=AC=13,BC=24,△ABC是等腰三角形，；.BD=CD=*BC=12,

•.•点/是△ABC的内心，点。是△ABC的外心，.•.点/、点。都在直线AD上，

连接OB、OC,过点/作的，AC交于点E,设OA=OB=。。=A,/D=ZE=r,

在Rt/XADC中，A。=y/ACP-CD1=V132-122=5,：.OD=R-5,IA=5-r,

在Rt^ODC中，B2-（R—5）2=122,解得：_R=16.9,

•/AIAE=ACAD,ZAEI=/LADC=90°,：.^AEI〜ADC,

‘卷=是'即云=解得：,=2.4,.•.L4=5—2.4=2.6,

/.O