-自动控制理论课件第2章-自动控制系统的数学模型-

自动控制理论研究自动控制系统的方法与目的实际控制系统实际系统的组成框图建立各组成工作框的数学模型系统稳定性系统稳态性系统动态性找出改进系统的有效方法应用分析研究系统建模弄清系统的工作原理第2章自动控制系统的数学模型

引言2.1控制系统的时域数学模型2.2控制系统的复数域数学模型2.3控制系统的结构图与信号流图

本章小结引言数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。

时域模型——微分方程

差分方程状态方程复域模型——传递函数

结构图

信号流图频域模型——频率特性引言建模方法:解析法（机理分析法）:根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。实验法（系统辨识法）:给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。黑盒输入输出2.1控制系统的时域数学模型1.线性元件的微分方程微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型,又称之为控制系统时域内的运动方程。用解析法建立系统微分方程的步骤:（1）确定系统中各元件的输入量和输出量；（2）根据各元件所遵循物理、化学、生物等定律（机理），列出各自的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化；（3）消去中间变量，把微分方程整理成输入输出关系式。电学系统例1

试求如图所示RLC无源网络的微分方程解:设回路电流为i(t)，由希尔霍夫定律可列回路方程，并消去中间变量i(t)，得描述网络输入输出关系的微分方程:＋－ur(t)＋－uc(t)iRLC控制系统的时域数学模型例2设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示,当外力f(t)作用于系统时,系统将产生运动。试写出外力f(t)与质量块的位移x(t)之间的微分方程。Kf(t)mfx(t)解:弹簧的弹力:方向与运动方向相反，大小与位移成比例，K是弹性系数阻尼器的阻尼力:方向与运动方向相反，大小与运动速度成比例，f是阻尼系数机械系统控制系统的时域数学模型f(t)fK1K2x1x2x3例3如图所示为一机械位移相同。当外力f(t)作用于系统时,系统将产生运动。试写出外力f(t)与位移x1(t)之间的微分方程。解:注意:列写机械系统的微分方程式，关键是要选择合适的质点作受力分析，然后利用有关定律求解微分方程。控制系统的时域数学模型例4

试列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程。解:电枢控制直流电动机的工作实质:将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压在电枢回路中产生电枢电流，再由电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩，从而拖动负载运动。其它系统MRaLa控制系统的时域数学模型线性系统微分方程的编写步骤:⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化,比如略去一些对系统影响小的次要因素,对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始,按照信号的传递顺序,在所有元部件的方程中消去中间变量,最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。控制系统的时域数学模型2.控制系统微分方程的建立例:编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载-+-

+

功率放大器测速发电机测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机解：速度控制系统方块图：控制系统的时域数学模型-（1）各环节微分方程:运放Ⅰ:运放Ⅱ:功率放大:反馈环节:电动机环节:齿轮系:见书例2-2控制系统的时域数学模型（2）消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。控制系统的时域数学模型2.2控制系统的复数域数学模型

一是指输入量是在t≥0时才作用于系统，则在t=0时，系统输入量xr以及其各阶导数均为零；二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量xc及其各阶导数在t=0时的值也为零。传递函数:是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。一、传递函数的定义和性质描述该线性定常系统的传递函数为：线性定常系统的微分方程式一般表达式为:

在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：控制系统的复数域数学模型

传递函数的性质传递函数是复变量s的有理真分式函数传递函数只取决于系统或元件的结构和参数,而与输入量的形式无关,也不反映系统内部的任何信息传递函数与微分方程有相通性G(s)R(s)C(s)传递函数微分方程传递函数微分方程控制系统的复数域数学模型

传递函数与s平面上一定的零极点图相对应式中：分子多项式的根，称为系统的零点分母多项式的根，称为系统的极点称为根轨迹增益或传递系数放大系数或增益控制系统的复数域数学模型

例1

试求如图所示RLC无源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S)方法一:由前面例题可知描述网络输入输出关系的微分方程:在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，得由传递函数定义，得＋－ur(t)＋－uc(t)iRLC控制系统的复数域数学模型

方法二:引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。＋－Ur(s)＋－Uc(s)RLS解:用复数阻抗表示电阻时仍为R，电容C的复数阻抗为1/Cs，电感的复数阻抗为Ls。则由分压定律可得:总结:系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函数往往更简单。控制系统的复数域数学模型例2

求如图所示有源网络的传递函数Uc(S)/Ur(S)分析:依运算放大器的特点，可认为放大器输入电压u0≈0；又运算放大器输入阻抗很大，可近似认为输入电流i0=0。由上式整理，得-KUriC0R0R1Uc解：则运用复数阻抗可得：控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型UriaCR0RUc-KG0(s)R0Ua例3系统如右图所示,已知方框对应的微分方程为,求系统的传递函数Uc(S)/Ur(S)。解:对G0(s)相应的微分方程进行拉氏变换得:又由运算放大器特性，有①

控制系统的复数域数学模型①×②有

②二、典型环节的传递函数控制系统的复数域数学模型

比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化比例环节的传递函数为比例环节又称放大环节。其数学方程为1.比例环节KXr(s)Xc(s)机械杠杆、齿轮变速器、放大器、测速电机电压与转速关系、电位器电位器比例环节举例控制系统的复数域数学模型

齿轮穿动系统比例环节举例控制系统的复数域数学模型测速发电机TGu(t)ω

2.惯性环节惯性环节又称非周期环节,其输入、输出间的微分方程为式中:T—时间常数;K—比例系数惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化,存在时间上延迟,时间常数愈大惯性愈大,延迟时间也愈长,时间常数T表征了该环节的惯性。Xr(s)Xc(s)电热炉温度随电压变化系统、直流电机的励磁回路、两相伺服电动机控制系统的复数域数学模型惯性环节举例控制系统的复数域数学模型单容水槽隔热加热系统惯性环节举例控制系统的复数域数学模型电枢控制直流电动机MRaLa

两相伺服电动机惯性环节举例控制系统的复数域数学模型积分环节的微分方程是积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。式中K=1/T,称为积分环节的放大系数,T称为积分时间常数Xr(s)Xc(s)模拟机的积分器、电动机角速度和转角间的传递函数3.积分环节控制系统的复数域数学模型积分环节举例控制系统的复数域数学模型液压伺服马达典型电路其它积分环节举例控制系统的复数域数学模型4.振荡环节振荡环节的微分方程是Xr(s)Xc(s)式中——振荡环节的自然振荡频率

——振荡环节的阻尼比有两个储能元件的系统:弹簧阻尼系统、机械旋转系统、RLC电路控制系统的复数域数学模型RLC电路振荡环节举例控制系统的复数域数学模型电枢控制式直流伺服电机5.微分环节理想微分环节的微分方程为式中

——微分时间常数。

sXr(s)Xc(s)实际微分环节：控制系统的复数域数学模型RC电路运动方程:传递函数:微分环节举例当Tc<<1时，又可表示成:控制系统的复数域数学模型测速发电机微分环节举例控制系统的复数域数学模型阻尼器其他微分环节举例控制系统的复数域数学模型6.迟延环节迟延环节的数学表达式为式中——迟延时间对于迟延时间很小的迟延环节，常把它展开成泰勒级数，并略去最高项，得如下简化迟延环节传递函数:Xr(s)Xc(s)控制系统的复数域数学模型ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测量注意:信号通过迟延环节，不改变其性质，仅仅发生时间上延迟了时间τ。控制系统的复数域数学模型2.3控制系统的结构图与信号流图控制系统结构图:是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。它们表示了系统中各自变量之间的因果关系以及各变量所进行的运算。

信号线：方框（或环节）：信号比较点：信号引出点：结构图的组成G(s)Xr(s)Xc(s)Xc(s)Xc(s)Xr2Xr1(s)Xr3(s)Xc(s)±±±系统结构图的组成和绘制绘制系统结构图的步骤如下:1.首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。2.绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。3.按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。控制系统的结构图与信号流图例1

试绘制如图所示无源网络的结构图＋－ur＋－ucR1R2C解:(1)应用复阻抗概念，根据克希霍夫定律，可写出以下方程:控制系统的结构图与信号流图(2)按照上述方程可分别绘制相应元件的方块图，如下所示:Ur(s)Uc

(s)I1(s)+_1/R1I(s)Uc(s)R2I1(s)I2(s)R1CsI(s)I2(s)I1(s)+(3)按信号流向将各框图连起来R1CsUr(s)I1(s)+_1/R1I2

(s)+I(s)Uc(s)R2控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图基本连接方式:串联、并联、反馈1.串联方框的等效变换R(s)C(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)G1(s)G2(s)2.并联方框的等效变换G1(s)G2(s)C2(s)±C(s)R(s)C1(s)R(s)C(s)G1(s)±

G2(s)方框图等效变换控制系统的结构图与信号流图3.反馈连接方框的等效变换G(s)H(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)R(s)C(s)化简一般方法:移动分支点或相加点交换相加点合并控制系统的结构图与信号流图4.相加点和分支点的移动注意:⑴移动前后必须保持信号的等效性⑵相加点和分支点一般不宜交换其位置⑶“-”号可以在信号线上越过方框移动，但不能越过相加点和分支点遵循原则:交换前后变量关系保持等效①交换前后前向通路中传递函数的乘积应保持不变；②回路中传递函数乘积应保持不变控制系统的结构图与信号流图①相加点前移G(s)R1(s)R2(s)±C(s)G(s)G(s)R1(s)R2(s)C(s)±G(s)R1(s)R2(s)±C(s)G(s)1/G(s)R1(s)R2(s)C(s)±②相加点后移控制系统的结构图与信号流图③交换或合并相加点R3(s)R1(s)R2(s)--E1C(s)R2(s)R1(s)R3(s)--C(s)R1(s)R3(s)R2(s)--C(s)④负号在支路上移动G(s)H(s)E(s)-R(s)C(s)G(s)H(s)E(s)+R(s)C(s)-1控制系统的结构图与信号流图⑤分支点前移G(s)R(s)C

(s)R(s)⑥分支点后移G(s)1/G(s)R(s)C

(s)R(s)G(s)R(s)C

(s)C

(s)G(s)G(s)R(s)C(s)C

(s)控制系统的结构图与信号流图⑦交换相加点和分支点（一般不采用）R1(s)R2(s)-C(s)C(s)R1(s)R2(s)-C(s)C(s)-R2(s)例2试化简如下系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s)_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)G3(s)＋＋_G1G2R(s)C(s)G2G4G3＋＋合并方框图等效变换举例控制系统的结构图与信号流图_G1G2R(s)C(s)G2G4G3＋＋合并_G1G2R(s)C(s)G2＋G3G4＋＋控制系统的结构图与信号流图_G1G2R(s)C(s)G1＋G2G4＋G1＋G2合并合并R(s)C(s)G1G2＋G2＋G3控制系统的结构图与信号流图例3试化简如下系统结构图,并求传递函数C(s)/R(s)解:①将G3(s)输出端的分支点后移得:_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)H3(s)G3(s)H2(s)H1(s)___G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)H3(s)G3(s)H2(s)H1(s)__1/G4(s)合并控制系统的结构图与信号流图_G1R(s)C(s)G2H1_H2/G4②合并H3所在的反馈环节得:③合并H2/G4所在的反馈环节得:合并_G1R(s)C(s)H1合并控制系统的结构图与信号流图④得出传递函数为:简化结构图求总传递函数的一般步骤:1.确定输入量与输出量。2.若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。3.对多回路结构，由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框。控制系统的结构图与信号流图控制系统的结构图与信号流图信号流图起源于梅森（S.J.MASON）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式,是由节点和支路组成的一种信号传递网络。x1abcdefghx5x4x3x2信号流图中常用的名词术语:源节点:只有输出支路的节点称为源节点或输入节点阱节点:只有输入支路的节点称为阱节点或输出节点混合节点:既有输入节点也有输出节点的节点称为混合节点通路:从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一点）构成的路径，称为通路。通路中各支路增益的乘积称为通路增益。x61信号流图的绘制和梅森增益公式控制系统的结构图与信号流图闭通路:如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回路。回路中各支路传输的乘积称为回路增益。前向通路:是指从输入节点开始并终止于输出节点，且与其它节点相交不多于一次的通路。该通路的各传输乘积称为前向通路增益不接触回路:如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。x1abcdefghx5x4x3x2x61控制系统的结构图与信号流图信号流图的绘制1.由系统方程绘制信号流图首先按照设定的节点次序绘出各节点,然后根据各方程绘制各支路。abcd-e-f-gxrxcx1x2x3x4控制系统的结构图与信号流图①在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号,得到节点②用标有传递函数的线段代替结构图中的方框,得到支路_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)G3(s)＋＋H(s)G2(s)C(s)R(s)G1(s)G3(s)-H(s)G4(s)11RCee1e2控制系统的结构图与信号流图2.由系统结构图绘制信号流图由系统结构图画信号流图时，有以下几个技巧:系统的输入、输出各变为一个节点每个相加点变为一个节点若分支点与相加点相邻，则按信号流动的方向，在相加点之前的分支点要变为一个节点，在相加点之后的分支点可以和相加点合并为一个节点若分支点与相加点不相邻，则该分支点要变为一个节点控制系统的结构图与信号流图梅森(Mason)公式

梅森增益公式是利用拓扑的方法推导出来的，公式表述如下:式中:P——系统的总传输；

Pk——第k条前向通道的传输；n——从输入节点到输出节点的前向通路数；Δ——信号流图的特征式；控制系统的结构图与信号流图

——

信号流图中所有单独回路增益之和；

——信号流图中每两个互不接触回路增益的乘积之和；——信号流图中每三个互不接触回路增益的乘积之和；——称为第k条通路特征式的余因子式，是在Δ中除去与第k条前向通路相接触的回路增益项（即将其置零）以后的余项式。式中:控制系统的结构图与信号流图例4:如图系统。

解:有两条前向通道:梅逊(Mason)公式举例控制系统的结构图与信号流图均接触。五个回路:控制系统的结构图与信号流图例5

试求如图所示信号流图中的传递函数C(s)/R(s)G3G2C(s)R(s)G1-1K11-1-1-11111解:单独回路有四个两个互不接触回路有四组,即控制系统的结构图与信号流图三个互不接触回路有一组,即信号流图特征式为:前向通道有四条,即G3G2C(s)R(s)G1-1K11-1-1-11111控制系统的结构图与信号流图由梅逊公式得系统传递函数为:注意:对于复杂的系统，要注意找全所有的前向通路和单独回路，对不同输入要注意其前向通路的变化控制系统的结构图与信号流图例某控制系统的结构图如下图所示,试求系统的传递函数C(s)/R(s)_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)G3(s)H2(s)H1(s)_解法1:用结构图等效变换方法求解_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)G3(s)H2(s)H1(s)_控制系统的结构图与信号流图_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)G3(s)H2(s)H1(s)_H2(s)_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)G3(s)H2(s)H1(s)_H2(s)H1(s)合并合并控制系统的结构图与信号流图_R(s)C(s)G4(s)H1(s)H2(s)_R(s)C(s)G4(s)控制系统的结构图与信号流图_G1(s)R(s)C(s)G2(s)G4(s)G3(s)H2(s)H1(s)_解法2:用梅逊公式求解前向通道两条,单独回路三个,两个互不接触回路一组,即控制系统的结构图与信