2025年高考数学一轮复习学案：相关定理在解三角形中的综合应用（高阶拓展、竞赛适用）

第11讲相关定理在解三角形中的综合应用

（高阶拓展、竞赛适用）

（8类核心考点精讲精练）

考情探究・

命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为13-15分

【备考策略】1.掌握正余弦定理在三角形中的应用、熟练掌握面积公式的应用

2能熟练掌握解三角形中的相关定理公式进行综合应用

【命题预测】本节内容是在新高考卷的命题考查为解答题，常考查相关定理公式综合，需备考综合复习

知识点1海伦-奉九韶公式

知识点2三倍角公式

知识点3射影定理

知识点4角半分线定理

核心知识点知识点5张角定理

知识点6倍角定理

知识点7中线电理

知识点8三角恒等式

考点1海伦-奉九韶公式及其应用

考点2三倍角公式及其应用

考点3射影定理及其应用

考点4角平分线定理及其应用

核心,考点考点5张角定理及其应用

考点6倍角定理及其应用

考点7中线长定理及其应用

考点8三角恒等式及其应用

知识讲解

1.海伦-秦九韶公式

三角形的三边分别是a、b、c,

则三角形的面积为S=1p(p_aXp_b)(p_c)

其中P';,这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。

我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式：

2

"62-2、

S-a2b2-

4、2,

2.三倍角公式

sin3a=3sin«-4sin3a,

cos3a=4cos2tz-3cosa

3.射影定理

(3)AD-^ABxAC-BDxCD(库斯顿定理)

c

AB口“BD

(4)c

ACQ“CD

5.张角定理

sin/3sintz_sin(a+/)

ABAC~-AD

6.倍角定理

在中，三个内角4B、C的对边分别为a、b、c,

⑴如果/=25,则有^b2+bc

⑵如果C=24,则有:c?-a2+ab

(3)如果3=2C,则有=J+ac

倍角定理的逆运用

在△NBC中，三个内角/、B、C的对边分别为a、b、c,

⑴如果/=b2+bcM-.A=2Bo

⑵如果c?=a?+ab,则有:C=2Ao

⑶如果〃=°2+或7,则有：8=2。。

7.中线长定理

AD为的中线，则中线定理:AB2+AC2^2(AD2+DC2)

证明：

在"BD和"DC中，用余弦定理有：

222

3+8。2Ag2AD+DC-AC

<2ADBD+2ADDC-^AB'+AC2=2(AD2+DC2)

BD=DC

8.三角恒等式

在AABC中，

①sinZ+sin5+sinC=4cos—cos—cos—；

222

4B.C

@cosA+cosB+cosC=1+4sin-sin-sin一；

222

(3)sin2A+sin2B+sin2C=2+2cosAcosBcosC；

④cos2A+cos2B+cos2C=1-2cosAcosBcosC；

向.2%.2B.2C.A.B.C

◎sin——Fsm——I-sin一=1-2sin-sin一sm一；

222222

角242B2con.4.B.C

222222

⑦tanA+tanB+tanC=tanA-tanBtanC；

⑧cotA-cotB+cotA-cotC+cotB-cotC=1；

/BCABC

@cot—+cot—+cot—=cot—cot—cot一；

222222

4BBCCA

⑩tan-tan——Ftan-tan——Ftan-tan一二1。

222222

考点一、海伦-秦九韶公式及其应用

典例引领

L(2024•浙江湖州•模拟预测)若一个三角形的三边长分别为a,b,c,设0=g(a+6+c),则该三角形的面

^S=dp(p_a)(p_b)(p_c),这就是著名的“海伦-秦九韶公式"若"BC的三边长分别为5,6,7,则该三

角形的面积为.

【答案】676.

【分析】将三边长分别代入公式即可求解.

【详解】解：由题意得

:p=g(a+6+c)=；x(5+6+7)=9

S"BC=]p(P-a)(p-b)(p-c)=79x(9-5)(9-6)(9-7)=676

故答案为：6^/6

2.(2023•江苏•三模)海伦(Heron,约公元1世纪)是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的"海

伦公式"是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长。，b,c计算其面积的公式

1p(p-a)(p-6)5-c),其中p=：,若a=5,b=6,c=7,则借助“海伦公式"可求得△ABC的内切

圆的半径r的值是.

【答案】巫

3

【分析】首先根据海伦公式求得三角形N8C的面积，然后根据三角形内切圆计算公式，计算出三角形N8C

的内切圆.

【详解】p="+：+'=5+："=9,SABC=J9x(9-5)x(9-6)x(9-7)=676,

A

由于%Bc=1g+6+c)/，所以3=2s=2x6^=巫.

2a+b+c5+6+73

故答案为：巫

3

【点睛】本小题主要考查三角形面积的计算，考查三角形内切圆半径的计算，属于基础题.

3.(2023•辽宁葫芦岛•二模)《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一

个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五"三斜求积

”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是："以小斜幕

并大斜幕减中斜塞，余半之，自乘于上，以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得

积."若把以上这段文字写成公式，即S=0/一,现在有周长为10+2后的。8c满足

sinN:sin8:sinC=2:3：V7,则用以上给出的公式求得“8C的面积为（）

A.6乖＞B.477C.877D.12

【答案】A

【分析】利用正弦定理结合三角形的周长可求得“3C的三边边长，利用题中公式可求得。8c的面积.

【详解】由题意结合正弦定理可得：a:6:c=sinN:sin8:sinC=2:3：V7,

・・•△/BC周长为10+2万，即°+6+°=10+2不，

.,.«=4,b=6,c=2A/7.

密+不—修⑺2］

22

所以S=16X4-=6百,

41>

故选：A.

4.（23-24高三下•重庆渝中•阶段练习）我国南宋著名数学家秦九韶（约1202〜1261）独立发现了与海伦公

式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中.具体

的求法是："以小斜幕并大斜幕减中斜幕，余半之，自乘于上.以小斜幕乘大斜幕减上，余四约之，为实一

为从隅，开平方得积."如果把以上这段文字写成公式，就是丘2_「+,一［］现将一根长为

20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm,则该三角形面积的最大值为（）

cm2.

A.6厢B.4V10C.6A/5D.475

【答案】A

【分析】S=^4a2c2-[(c+a)2-2ac-b2]2,代入后利用基本不等式可求S的得最大值.

【详解】令6=6,贝gc=14,

S=a2c2-©+；_=l-^4a2c2-[(c+a)2-2ac-Z72]2,

代入得S=：y/[(2ac)2-(160-2ac)2]=；J160(4ac-160),

由基本不等式：14=a+c^2y[ac,所以4ac<196,可得SWGJTU,

当且仅当。=c=7时取等号，

所以a=c=7时，面积S取得最大值6^/5万.

故选：A.

即时检测

a+h+c

1.(22-23高三下•河北•期中)已知“8C中角/,B,C所对的边分别为a,b,c,p=---,则“3C

的面积$=而｝而二丽二H，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若“BC

的周长为15,(sin+sin5):(sin5+sinC):(sinC+sin^)=4:6:5,则^ABC的面积为.

【答案】电1

4

【分析】先用正弦定理解得〃=3,65,*7,代入海伦公式即可解得.

【详解】解：可令sinZ+sin8=4%,sin5+sinC=6左，sinC+sin4=5%,

将上式相加：sinZ+sinB+sinC=g左，

357

由此可解的：sin^4=—k.sin5=—k,sinC=—A：,

由正弦定理：a:b:c=3:5:7,

又因为：a+b+c=15,

解得：a=3,b=5,c=7.所以夕="，上■=£•

代入海伦公式解得：$=”正

4

故答案为：”也

4

2.(2023・浙江•模拟预测)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形

三边长求三角形面积的公式.在^ABC中，设。，瓦c分别为^ABC的内角A,B,C的对边，S表示“BC的面积,

a

其公式为5=b=V3,S=,贝U。.

sinC2

【答案】1或理

【分析】由正弦定理结合题设推得“=2c,利用条件解方程可得答案.

【详解】在“BC中，由正弦定理得‘、=告，

SinasinA

而6=百，故卫=」，结合垣=，可得£=」)，

siri5sinAsinBsinCsinAsinC

艮［1有sin/=2sinC,a=2c,

由6=百,s=等可得冬小⑵2r4c]J

7

整理得3c4-1002+7=0,解得C2=1或02=],

故。=1或,=叵，符合题意，

3

故答案为：1或4

3.(22-23高三上•陕西渭南•阶段练习)我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即A48C的三个

内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,则A48C的面积S="工八2_--+厂*].若b=行,

142

a+b+c_c

,则A4BC面积S的最大值为()

sin4+sin8+sinC2sinA

D,包

A.V2B.1C

t3

【答案】C

【分析】先利用正弦定理求出。=2〃，代入公式，结合二次函数可求答案.

a+b+c

【详解】因为号,所以c=2a；

sin/+sinB+sinC2sin/sinZ

因为八E所以S=W°-1=%-9a4+20/7

当/=瞿时，S有最大值，最大值为_1_9x史Q+20XW_4=2.

94V8193

故选：C.

4.(22-23高三上•山东滨州•期中)三角形的三边分别为a,b,c,秦九韶公式S=

和海伦公式S=Jo(p-a)(p-6)(p-c),其中”，是等价的，都是用来求三角形的面积.印度数学

家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a,b,c,d,则

S=a){p-b)(p-c)(p-<7)-abedcos20,其中p,8为一组对角和的一半.已知四边形四

条边长分别为3,4,5,6,则四边形最大面积为()

A.21B.4710C.10A/5D.6厢

【答案】D

【分析】由题意可得。=3+4[+6=9,由已知可推出s=64Usin。，即可得出答案.

【详解】・・2=3,6=4,c=5,d=6,

°=3+4；5+6=9,又易知0<夕〈兀，sin6>0,

则S=yl(P~~b)(p-c)(p-d)-abedcos120

-V6X5X4X3-3X4X5X6COS20=6&Usin0，

当sine=l,即6=1时，有最大值为6厢.

故选：D.

考点二、三倍角公式及其应用

典例引领

1.(2023•全国•高三专题练习)己知AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.若/=28,且A为锐

角，则5+」二的最小值为()

bcos^4

A.272+1B.3C.2V2+2D.4

【答案】A

方法一：

c1一1

【分析】将式子：+一;中的边。都转化为角的关系，即变为2COS4+--+1,由于cos/>0,利用均

bcosAcosA

值不等式便可求得其最小值.

【详解】sinC=sin(/+B)=sinAcosB+cos4sin5=sin2BcosB+cos2BsinB

=2sin5cos2B+QCOS?3-1kinB=sinB(4cos?3_1)=sin5(2cos25+1)

/.sinC=sinBQcos/+1),即c=b(2cosA+l):.—=2cosA+l.

fb

'：A为锐角z.cosA>0f贝U£+---=2cosA+---+1>2板+1

bcosAcosA

当且仅当2cos/=—即cos/=我时，等号成立，

cosA2

「1

+——7的最小值为2亚+1.

bcos?!

故选：A

方法二：三倍角公式

,/A=2B,sinC=sin（35）=3sinB—4sin3B

3sin5-4sin3B

=3-4sin2B

bsin5

=2cos/+l

,/A为锐角cosA>0f贝Ug+---=2cosA+---+1>2板+1

bcosAcosA

i0

当且仅当2cos4=-即cosZ=卫时，等号成立，

cosA2

的最小值为2亚+1.

bcosA

故选：A

即

1.已知A4BC的内角48,C的对边分别为4,"C,若4=28,则E+［攻］的最小值为

bya)

710

A.-lB.-C.3D.—

33

解析：

因为2=28,2+8+C=〃，所以由正弦定理，得

二十（%］2;回型+（土］=始吐%*+=3-4sm"+」

b\a）sin5^sin2B）sin5\cosB）cosB

1

=4cos9B+——----1

cos25

TT

因为4=28,所以0<B<一,

3

所以cos28〉0,所以4cos2Bd----\-----1>2.4cos2Bx—\------1=3,

cos2BVcos2B

当且仅当4cos2B=——时，即cosB=—时等号成立，

cos2B2

所以二+（四］的最小值为3.

b\a）

故选:C.

考点三、射影定理及其应用

典例引领

1.（22-23高三•吉林长春•阶段练习）在。3。中，角4瓦。所对的边分别为。也c,S表示。的面积，

若ccosB+bcosC=Qsiib4,S=——（b2+a2-c2）,则N5=（）

12

A.90°B.60°C.45°D.30°

【答案】B

【分析】利用三角形射影定理求出角4,再利用面积定理求出角。即可计算作答.

【详解】在中，由射影定理a=ccosB+bcosC及ccosB+bcosC=asiiL4得：asxnA=a,解得sin/=l,

而00<4<180。，则4=90°,由余弦定理cosC=/+/-°2及s="（/+>一/）得:cosC二空J

2ab12ab

]6

而S=wa6sinC,因此，cosC=V3sinC,即tanC=Y-,又0"<C<180°,则C=30°,

23

所以8=180°-N-C=60°.

故选：B

即时检测I

1.（21-22高三上•全国•阶段练习）在。5C中，内角A,B,C的对边分别是〃，b,c,

c=acosB+2cosA,2b=c,若cosC=-4，则AASC的面积为

4

【答案】乎

【分析】由三角形中的射影定理。=“0$8+6««4结合已知条件求得6的值，进而得到c的值，然后利用

余弦定理求得。的值，进而利用面积公式求得.

【详解】由三角形中的射影定理。=acosB+bcos/,结合已知条件C=QCOS3+2cos4,可得6=2,

2b=c,c=4,由/=/+/一2。6cosC,可得16=/+4—4QX

解得〃=3（负值舍去），，三角形的面积为Lbsin。=—x3x2x

22

故答案为：当

2.（2022•山西临汾•一模）在中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a=-36cosC,则tarU

的最大值为.

3

【答案】-/0.75

4

【分析】利用三角形射影定理结合正弦定理可得tanC=-4tan5,再由和角的正切公式，配方变形即可计算

作答.

【详解】在中，由射影定理Q=bcosC+ccos5及〃=-3bcosC得：ccosB=-4bcosC,

由正弦定理边化角为：sinCcosB=-4sin5cosC,于是得tanC=-4tanB,

由Q=-36COSC>0得，cosC<0,即角。是钝角，tanB>0,

tanB+tanC3tan5

tan/=-tan（5+C）=

1-tanBtanC1+4tan2B

当且仅当J—「=2而后,即tanB=!时取J〃,

Vtan52

3

所以tan/的最大值为“

3

故答案为：-

考点四、角平分线定理及其应用

■典例_引__领___

1.（2023・全国•高三专题练习）Zk/BC中，边内上有一点。，证明：4。是//的角平分线的充要条件

日ABBD

7E—

ACDC

【答案】证明见解析

【分析】证明两个命题为真：一个是由ND是NN的角平分线证明噌=能，一个是由噜=黑证明

DC710DC

是一/的角平分线.

【详解】证明：设〃：是//的角平分线，q：噜=黑

如图，过点3作BE〃/C交的延长线与点E,

、I

（1）充分性（png）:若N1=N2,贝|JN1=NE,所以N2=NE,所以=又4BDEMCD4,所以

BEBDb,、，ABBD

就=而，所以就=而.

（2）必要性（［=＞。）：反之，若黑=器,则,•,3E//ZC,.•.隼=黑，所以

AOLJx^/J。

AB=BE,所以N2=NE,又BE“AC,所以N1=NE,所以N1=N2.

ADD7~）

由（1）（2）可得，N。是的角平分线的充要条件是喂=黑.

【点睛】本题考查充分必要条件的证明，要证明P是夕的充要条件，必须证明两个命题为真：即充分性：

png,必要性：qnP.

2.（2023•全国•统考高考真题）在“8C中，/BAC=60。,AB=2,BC=娓,/8/C的角平分线交8c于

贝UAD=.

【答案】2

【分析】方法一：利用余弦定理求出ZC,再根据等面积法求出N。；

方法二：利用余弦定理求出4C,再根据正弦定理求出反C,即可根据三角形的特征求出.

如图所示：记4B=c,AC=b,BC=a,

方法一:由余弦定理可得，22+b2-2x2xbxcos600=6,

因为，＞0,解得：6=1+6，

由S“ABC=S^ABD+S&ACD可得，

—x2x6xsin600=—x2xADxsin300+—xADx6xsin30°,

222

26（1+石）

解得：AD=­b=3+^3-2

1+-

2

故答案为：2.

方法二：由余弦定理可得，2?+/一2x2x6xcos60°=6,因为b＞0,解得：6=1+6，

由正弦定理可得，-^-=—=^-,解得：sinB=G也,sinC=—,

sin60°sinBsinC42

因为1+6＞指＞拒，所以C=45°,5=180°-60°-45°=75°,

又NBAD=30。,所以/AD2=75°,BPAD=AB=2.

故答案为：2.

【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义

结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规.

3.（2024・河北•三模）中，cos/=』，AB=4,AC=2.则乙4的角平分线的长为—.

8

【答案】2

【分析】作出图形，利用余弦定理求得2C,进而求得cosB的值，利用正弦定理可求得2。的值，最后在

Z\ABD中利用余弦定理求得的长.

【详解】在。3c中，cosA=~,AB=4,AC=2,

8

由余弦定理得BC=y/AB2+AC2-2AB-ACcosA=372，

由余弦定理得cosB==述，

2ABBC8

由题意可得/BAD=ACAD,/ADB+/ADC=兀，sinZADB=sin（兀一/ADC）=sinZADC,

由正弦定理得^^AB

在AABD中,①

sinZADB

CDAC

在△/CD中，由正弦定理得②

sinZCAD~sinZACD

—=—=2,:.BD^2CD,则助=2叱=2近,

CDAC3

在△4aD中，由余弦定理得AD=J4B2+BD?-2AB-8。cos2=2.

故答案为：2.

9IT

4.（2023・江苏•一模）在zUBC中,ZBAC=―,NB/C的角平分线4D交3C于点。，△23。的面积是

△4DC面积的3倍，贝han8=（)

A.走6小

DR3A/3D.

755

【答案】A

【分析】利用面积之比可得c=3b,,作边上高，垂足为〃，即可求tanB.

【详解】

<--ABADsinABAD

因为沁=』----------------AB

~AC

--AC-ADsinCAD

2

即c=3b,在“BC中，作N8边上高，垂足为a,

且L

„CHbsinNG4HbsinZCAHVV3

则niltan8=——=--------------=----------------------=——=—,

BHAB+AHAB+bcosZCAH77

—b

2

故选:A.

即时性测

3

1.（2024高三・全国•专题练习）已知4。是。3C的角平分线，cosNBAC=—,AB=5,AC=2,则

4

AD=.

【答案】半/刖

【分析】设N—借助张角定理可得曙=喂+嘿，结合数据计算即可得解

【详解】设NBAD=/C4D=9,

sin28sin。sin。

则由张角定理可得:---=----1---，

ADABAC

2sin6cosesin。sin。口口〜2cos。11

故--------------=--------1-------,即有-----=——+——,

ADABACADABAC

m2cos611720

所以K=^+5=5'贝U°=Tcos”‘

又因cos20=2cos2d-l=3,COS6=^^

44

所以"=型3"以恒=血

7747

2.（2023高三•全国•专题练习）在ABC中，8=120。，N8=后，N的角平分线4。=6,则/C=（）

A.2B.V5C.V6D.g

【答案】C

【分析】由正弦定理求得sinNND8=Y2,则N/OB=45。，从而得到C=30。，再根据正弦定理即可求出答

2

案.

sinZADB=ABsmB

AD

..8=120°,AB=C,AD=5

5

:.sinZADB=—得NADB=45°,

2f

NADC=135°,/BAD=180°-120°-45°=15°,

/.ZBAC=30°,.\C=30\

ACAB4cABsinB/7

，由正弦定理

sinBsinC

故选：C.

3.（2023秋•山西大同•高三统考阶段练习）（多选）设。为的外心，AB=2,AC=4,/A4C的角平

分线4"交5C于点〃，则（）

—►2—►1―►—►1—►2—►

A.AM=-AB+-ACB.AM=-AB+-AC

3333

C.AB-AO=2D.AMAd=6

【答案】AC

【分析】对于A、B：根据题意结合正弦定理可得需=g,结合平面向量的线性运算求而；对于C、D：

根据外心的性质结合平面向量的数量积运算求解.

ABBM〜曰BMsmABAM

【详解】在A/BM中，有正弦定理可得------------，可得----=---------

sinZAMBsinZBAMABsinZAMB

ACCMCMsmZCAM

在中，有正弦定理可得-------------，可得——=----------

sinZAMCsinZCAM--------ACsmZAMC

因为/B=2,AC=4f为/8ZC的角平分线,

可知NBAM=/CAM,ZAMB=7t-ZAMC,

贝Ijsin/BAM=sin/CAM,sinNAMB=sin(兀-ZAMC)=sinZAMC,

一/曰sinNBAMsm/CAM

可得---------=----------，

sinZAMBsinZAMC

bzBMCManBMAB1

ABACCMAC2

n\^AM=AB+BM=AB+-BC=AB+-(AC-AB^=-AB+-AC,

故A正确，B错误;

分别取/8,/C的中点尸,£,连接尸，可知OE，/C,O

因为。为的外心，则刀•刀=|刀］画cosNBNO=(1研=2,

就•益=|就卜同C0s/G40=；|可=8,

所以就•而-AO=-AB-AO+-AC-Ad=—2x2.H—1x8。=4,

3333

故C正确；D错误.

故选：AC.

考点五、张角定理及其应用

典例引领

L（内蒙古呼和浩特・统考一模）如图，已知/。是A48c中/A4c的角平分线，交BC边于点D.

A

ABBD

（1）用正弦定理证明:

ACDC

（2）若N8/C=120。，4B=2,AC=1,求的长.

4

【答案】⑴证明见解析；⑵“

【详解】试题分析：（1）根据是的角/A4c平分线，利用正弦定理、三角形内角和定理及诱导公式，即

可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出8C的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出的长.

试题解析：（1）「AD是NBAC的角平分线，••2BADZCAD

sinZBADsinZADB

根据正弦定理，在4ABD中,

sinZ;DACsin/ADC

^EAADC中,

vsinz.ADB=sin(n-ZADC)二sin乙ADC

,sinZBAD^DBsin/DACDC

'sinZADB-AB'sinZADC-AC

,ABDB

AC-DC

222

(2)根据余弦定理，COSNBAC=BA±AC-BC

2-AB-AC

即…袈等

解得BC=A/7

ABDB

ACDC

.DB_2

"DC~T"

解得CD=Y^,BD=2^7；

33

设AD=x,贝I］在4ABD-SgAADC中,

根据余弦定理得，

2"xT

凡2f25,

且cos6CT=/+x（3）

2x2

99

解得x《，即AD的长为泉

0J

2.在A48C中，角4B、。所对的边分别为a、b、c,已知点。在3c边上,

AD±AC,sinABAC=^^,AB=3后,AD=3，则CD=

3---------

解：如图

272-cosABAC1

~9~~AC+亚

一1

272-31

--9---A--C-1--30产

AC=342

CD=^AD-+AC~=373

即时检测

1.在AZBC中，角/、8、C所对的边分别为a、b、c,4D是NR4。的角平分线，若

ABAC=-,\AD\=243，则2b+c的最小值为.

3

【解析】如图:

•/40是/氏4c的角平分线

17V

/BAD=ZCAD=-ABAC=-

26

sin/BNCsinN54DsinNDZC

由张角定理得:

ADACAB

.7C.71.兀

sin—sin—sin—

即

7_=_6_+_6.

2V3c

—1I1=1—

bc2

2b+c=（2b+c）x2

（当且仅当上=心,即。=J%时取"=”）

bc

2.（2024•江西宜春•三模）在中，设角4,B,。所对的边分别为eb,c.已知。=120。，A^BC的

周长为15,面积为竺Yi.

4

⑴求A/8C的外接圆面积；

⑵设。是边N8上一点，在①CC•是边上的中线；②CD是//CB的角平分线这两个条件中任选一个,

求线段8的长.

【答案】（1）亍

⑵答案见解析

【分析】（1）由"BC的面积为,求得浦=15,再由。BC的周长为15,得到a+6=15-c,结合余

4

弦定理，求得c=7,再由正弦定理，求得外接圆半径即可求解;

（2）若选择①：法1：由函=；（而+Q）,结合向量的运算法则，即可求解；

法2：设&>",列出方程组求得。=3,6=5,结合cos/4DC+cos/CD2=0,列出方程，即可求解;

若选择②，设〃>。，求得。=3,6=5,根据黑曲；=SZUS+SABO），列出方程，即可求解；

,sinZACBsin/BCDsinZACD

法2：由----------------------1--------------,列出方程，即可求解.

CDACBC

【详解】（1）解：由。3c的面积为丝可得S7Bc=』a6sinl20o=及8,解得碗=15,

424

又由一8。的周长为15,可得a+6+c=15,即a+b=15-c,

由余弦定理得。2=/+b2-2abcosC=(a+b)2-lab-labcos120°

=(15-C)2-2X15-2X15X(--),解得0=7,

设外接圆半径为R，由正弦定理得一^方=27?,所以尺=述，

sin12003

497r

所以“BC的外接圆面积为成2=子.

(2)解：若选择①：

法1：由(1)矢口，。+6=15—。=8及〃b=15,

由丽=!(0+Q),B]-^IcoI2=-(c2+CB)2=-(b2+a2+labcos1200)

244

1119

=-[(a+Z))92-3a&]=-x(8?2-3x15)=—,

444

所以|丽|=半，即CD=平.

法2：不妨设b>%由a+b=15-c=8及ab=15,解得。=3,6=5,

在△4CZ)和△BCD中，可得cos/ZOC+cos/CD5=0,

(-)2+CD2-52(-)2+CD2-32

=0,解得。。=叵.

由余弦定理得4------+-—q--------

2x-xCD2x-xCD2

22

若选择②，不妨设b>“，由Q+6=15—。=8及。6=15,角毕得。=3,6=5,

法1：由BC=S/\ACD+S^BCD，

可得"Yl=J_x5xCDsin60o+Lx3xCDsin60。，解得CD=g

4228

sin/ACBsin/BCDsinZACD

法2：由张角定理，得-----1-----

CDACBC

sin120°sin60°sin60°解得CD=?,

即-----=------1-----

CD53o

考点六、倍角定理及其应用

典例引领

1.在△ABC中，角4、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=2A,a=1,b=旧，则©=

解B=2A

由倍角定理得：b2=a2+ac,HP(V3)=I2+1Xcc=2

2.(2020高三・全国•专题练习)设锐角。8C的三个内角A.3.C的对边分别为a.6.。，且c=l,A=2C,

则“BC周长的取值范围为()

A.(0,2+V2]B.