高考数学专项复习训练：用空间向量研究距离夹角问题 12种常考题型归类（88题）（原卷版）

专题06用空间向量研究距离、夹角问题12种常考题型归类（88题）

高频考点

题型一求点到直线的距离（二）求线线角的最值或范围

（一）求点线距题型七已知线线角求其他量

（二）根据点线距求值题型八求直线与平面所成的角

（三）求点线距的最值（一）求线面角

题型二求点到平面的距离（-）求线面角的最值或范围

题型三求直线与平面的距离题型九已知线面角求其他量

题型四求两平行平面的距离题型十求两平面的夹角（二面角）

题型五求两条异面直线的距离题型十一已知面面角求其他量

题型六求异面直线所成的角题型十二立体几何中的探索性问题

（-）求线线角

==解题策略

知识点1：点到线面距离

1、点到直线的距离

已知直线/的单位方向向量为「，A是直线/上的定点，尸是直线/外一点.设通=£,则向量正在直线/

222

上的投影向量而=（＞「）「，在用AAP。中，由勾股定理得：PQ=^API-\AQ\=y/a-Ca-u）

2、点到平面的距离

如图，已知平面1的法向量为3，A是平面戊内的定点，P是平面1外一点.过点P作平面1的垂线/,交

平面a于点。，则）是直线/的方向向量，且点P到平面a的距离就是加在直线/上的投影向量gA的长

__►riAPn|AP-n\

度.PQ=|AP=|二|—―1=---

\n\In\\n\

知识点2：用向量法求空间角

1、用向量运算求两条直线所成角

已知〃，b为两异面直线，A,C与B,。分别是。，b上的任意两点,a,b所成的角为则

①cos<m丽”

\AC\\BD\

|ACBD

②cos0=|cos<AC,BD>|=

\AC\-\BD'

2、用向量运算求直线与平面所成角

设直线/的方向向量为平面1的法向量为。，直线与平面所成的角为［与「的角为。，则有

/a-u

①COS0="

|a||〃|

②sine=|cosd=f^2.（注意此公式中最后的形式是：sin。）

\a\-\u\

3、用向量运算求平面与平面的夹角

如图，若。于A,PB工户于B,平面交/于E,则为二面角。一/一，的平面角,

ZAEB+ZAPB=180°.

E-

若%分别为面e，£的法向量

①cos<修，％〉=J三

-1*1引

②cos6»根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;

若二面角为锐二面角（取正），贝1"05夕=|（：05<4，叼〉|；

若二面角为顿二面角（取负），贝1」（：05。=一|（：05<%,〃2〉1；

解题策略

1.两条平行直线a,b之间的距离

如图1,两条平行直线a,b之间的距离可以看成直线6上一点A到直线。的距离,则d=、（显F—噜出,

其中AGb,BGa,。是直线。的方向向量.

2.异面直线a,b之间的距离

如图2,设AGq,BGb,与两条直线的方向向量都垂直的向量为"，则异面直线a,方之间的距离为向

量A&在n方向上投影向量的模，即d=%川.

3.直线到平面的距离、两平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离

如图3,直线/到平面a的距离可转化为直线/上一点A到平面a的距离，即直线/到平面a的距离d

_\Ab-n\

~\n\

如图4,与平面a平行的平面£到平面a的距离等于平面£上一点A到平面a的距离，即d=哈1

AA

4.向量法求点到直线的距离的两种思路

(1)直接套用点到直线的距离公式求解的步骤:建立空间直角坐标系T直线的方向向量a一所求点到直线

上一点的向量屋'及其在直线的方向向量a上的投影向量的长度一代入公式.

注意平行直线之间的距离与点到直线的距离之间的转化.

(2)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，即利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向

量的模.

5.向量法求点到平面的距离的一般步骤

(1)建立空间直角坐标系.

(2)求出该平面的一个法向量.

(3)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量.

(4)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平

行.

6.直线到平面的距离、两个平行平面之间的距离

(1)当直线与平面平行时，要求直线到平面的距离，需要在直线上任取一点，求出该点到平面的距离即

可.

(2)当平面与平面平行时，要求两个平面之间的距离，需在一个平面内找到一点，求出该点到另一个平

面的距离即可.

7.利用法向量求直线AB与平面a所成的角。的步骤

⑴求平面a的法向量”.

(2)利用公式sin6=|cos〈牯，加尸诞包确定仇注意直线与平面所成角的取值范围为「。，y.

\AB\\n\

8.利用法向量求两平面夹角的步骤

(1)求两平面的法向量.

(2)求两法向量的夹角的余弦值，从而确定夹角的大小，注意两平面夹角的取值范围为［0,与.

9.两异面直线所成的角的求法

(1)平移法：通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形求

解.

(2)取定基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧.在

fi-h

利用公式cos〈a,b)=而祈求向量力的夹角时，关键是求出。力及⑷与回，一般是把方用一个基底表

示出来，再求有关的量.

(3)用坐标法求异面直线的夹角的方法

①建立恰当的空间直角坐标系；

②找到两条异面直线的方向向量的坐标形式；

③利用向量的夹角公式计算两直线的方向向量的夹角；

④结合异面直线所成角的范围得到异面直线所成的角.

10.求直线与平面所成的角的思路与步骤

思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某

一三角函数值).

思路二：用向量法求直线与平面所成的角可利用向量夹角公式或法向量.

11.利用法向量求直线与平面所成的角的基本步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量AS；

(3)求平面的法向量〃；

(4)计算：设直线与平面所成的角为仇则sin0=也坐1

\n\\AB\

12.平面与平面夹角的向量求法

(1)若AB,分别是二面角a—/-万的两个半平面内与棱/垂直的异面直线，则平面a与平面尸的夹角

就是向量屈与B的夹角或其补角(如图①).

（2）利用坐标法求平面与平面夹角的步骤

设"1，"2分别是平面a,P的法向量，则向量"1与"2的夹角（或其补角）就是两个平面夹角的大小，如

图②.

利用坐标法的解题步骤如下：

①建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系.

②求法向量：在建立的坐标系下求两个平面的法向量“1,"2.

③计算：设平面a与平面”的夹角为8则cos6=^富.

13.立体几何中的探索性问题

立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度.

这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对

结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存

在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性.

14.利用向量解决存在性问题的方法策略

首先，假定题中的数学对象存在；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把存在性问题

转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论.利用上述思维策略，可使此类存在性难题变为常规

问题.

S'考点精析___________________________________________________

题型一求点到直线的距离

（一）求点线距

1.（2024.河南新乡.高二统考期末）已知空间三点4（2,1,0）,3（2,1,0,1）,则点C到直线A3的距离

为.

2.（2024・高二课时练习）矩形A8C。中，ZBCA=3Q°,AC=20,平面ABC。，且上4=5,则产到

BC的距离为.

3.（2023春•湖南常德•高二常德市一中校考期中）如图，在棱长为1的正方体ABCD-AgGP中，点6到

直线AG的距离为（）

rV6n276

53

4.（2024・广东佛山・统考模拟预测）如图，在平行六面体ABCD-A4CQj中，以顶点A为端点的三条棱长

都是d且ZAAB=ZAAZ）=60o,E为eq的中点，则点E到直线AG的距离为（）

D.争

5.（2024•浙江温州・统考三模）四面体。4及7满足/498=/30。=/。。4=90°,。4=1,03=2,6^=3,

点。在棱OC上，且OC=3OD,点G为44BC的重心，则点G到直线AD的距离为（）

A.—B.|C.@D.-

2233

（二）根据点线距求值

6.【多选】（2023春・江西宜春•高二江西省丰城中学校考开学考试）点〃在z轴上，它与经过坐标原点且方

向向量为1=（1,-M）的直线/的距离为"，则点M的坐标是（）

A.（0,0,-3）B.（0,0,3）

C.（0,0,qD.（0,0,-73）

7.（2024.江苏南京•统考二模）在梯形ABCD中，AB//CD,?D90?AB=2近,AD=DC=y/2,如

图1.现将△ADC沿对角线AC折成直二面角尸-AC-3,如图2,点M在线段上.

P

DC

M

图1图2

⑴求证：APLCM；

（2）若点M到直线AC的距离为挛，求瞿的值.

5BP

（三）求点线距的最值

8.（2023・江苏•高二专题练习）如图，已知正方体48。-4860的棱长为1,。为正方形的中心,

若尸为平面内的一个动点，则尸到直线4片的距离的最小值为（）

V-.------D.B

43

9.（2024.吉林・统考模拟预测）如图1,在等腰梯形ABCD中，AB〃CD,AB=AD=1,CD=2,DE=EC,

沿AE将VADE折成VAPE,如图2所示，连接尸3,PC,得到四棱锥P-ABCE.

图1图2

⑴若平面尸AECI平面PBC=/,求证：1」IBC；

（2）若点T是PC的中点，求点T到直线EB的距离的取值范围.

题型二求点到平面的距离

10.(2024•浙江温州.高二校联考期末)如图所示，在棱长为1的正方体ABC。-中E为线段的

中点.

(1)求证：平面平面ACGA；

(2)求A到平面A用E的距离.

11.(2023春•江西鹰潭•高三贵溪市实验中学校考阶段练习)如图，在三棱柱ABC-AyBXC中，C£_L平面ABC,

ACIBC,BC=AC=Cq=4,。为4片的中点，＜2耳交2G于点E.

(2)求点E到平面B&D的距离.

12.(2024.云南楚雄•高二统考期中)如图，在正三棱柱ABC-A4c中，E是线段8G上靠近点8的一个

三等分点，。是AG的中点.

⑴证明：A。〃平面A5]£；

(2)若AA=AB=6,求点4到平面AgE的距离.

13.（2024•河南新乡.高二统考期末）如图，在四棱锥P-A3CD中，底面A3CD,底面ABCD是矩形,

AB=2AZ）=4,尸。=孚,E是上4的中点，丽=2而，则点C到平面。跖的距离为（）

P

A3A/10口2A/10rV10「回

55510

14.（2024.福建龙岩.高二校联考期中）如图，在圆锥SO中，A5是底面圆。的直径，SO=AB=4fAC=BC,

。为SO的中点，N为的中点，则点N到平面S3。的距离为（）

45

A.—B.-C.1D.2

33

15.（2024・重庆长寿•高二统考期末）如图，已知24,平面ABCD,底面ABCD为矩形，PA=AD=2,AB=4,

M、N分别为A3、PC的中点.

（1）求证：MV〃平面PAD；

（2）求点D到平面PMC的距离.

16.（2024•福建宁德•高二校联考期中）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，底面

E为PC的中点，PD=DC=2.

（1）证明：RV/平面BDE；

⑵求点E到平面的距离.

17.（2024•江苏•高二专题练习）如图，四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，PD_L底面45CD,PD=DC=1,

M为8C的中点，且

P

⑴求8C;

⑵求点B到平面PAM的距离.

18.（2023秋•陕西西安•高二统考期末）在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC=2AD=2AB=2^2,ZABC=90°,

。为8。中点，如图（1）.把△ABD沿3D翻折，使得平面平面3cD,如图（2）.

图⑵

⑵若M为线段3c的中点，求点加到平面ACD的距离.

题型三求直线与平面的距离

19.（2023•江苏•高二专题练习）如图，在长方体中，AAl=AB=2,BC=1,E、F、H分别

是AB、CO、4片的中点，则直线EC到平面AFH的距离为.

20.(2023•高二单元测试)如图，在三棱锥尸-ABC中，P4,底面ABC,ABAC=90°,点、D、E分别为

棱Q4,PC的中点，4是线段AD的中点，N是线段的中点，PA=AC^4,AB=2.

⑴求证："N〃平面以汨；

(2)求直线MN到平面BDE的距离.

21.(2023秋・广东广州•高二广州市白云中学校考期末)如图，在正三棱柱ABC-A4G中，点。为4B的中

(1)证明：3C〃平面AG。；

(2)求直线BC到平面AQD的距离.

题型四求两平行平面的距离

22.（2024高二课时练习）已知正方体48。。-440，的棱长为4,设〃、"、从/分别是4。1,丹昂RG，Bg,

的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离.

23.（2024.高二课时练习）两平行平面a,夕分别经过坐标原点。和点4（1,2,3）,且两平面的一个法向量

«=（-1,0,1）,则两平面间的距离是（）

A.V2B.4C.73D.3夜

24.（2024・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，04,底

面ABC。，OA=2,M、N、R分别是Q4、BC、AZ）的中点.求：

（1）直线MN与平面OCD的距离；

（2）平面MNR与平面OCD的距离.

25.（2024.高二课时练习）直四棱柱A8CD-AgGA中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱4人=3,

M、N分别为4环42的中点，E、尸分别是CQ，AG的中点.

（1）求证：平面AW〃平面EFBZ）；

（2）求平面AAW与平面EFBD的距离.

26.【多选】（2024•福建福州•高二校联考期中）已知正方体的棱长为1，点反。分别是

A百、4G的中点，P^^AP=-AB+-AD+-AA；,则下列说法正确的是（）

A.点A到直线8E的距离是半

B.点。到平面ABCR的距离为正

4

C.平面40。与平面与CQ间的距离为毡

3

25

D.点P到直线A3的距离为弁

36

题型五求两条异面直线的距离

27.【多选】（2024•辽宁朝阳•校联考一模）如图，在棱长为1正方体488-4月£0中，M为用G的中

点，E为4G与2M的交点，/为8M与C4的交点，则下列说法正确的是()

3G

A.AG与。1B垂直

B.E/是异面直线AG与8c的公垂线段，

c.异面直线AG与与C所成的角为■!

D.异面直线AG与瓯间的距离为日

28.（2024•高一课时练习）如图所示，在空间四边形B4BC中，AC=BC^2,ZACB=90°,AP=BP=AB,

PCLAC.

Pz

c

(1)求证：PCLAB-,

(2)求异面直线PC与AB的距离；

⑶求二面角B-AP-C的大小.

29.(2024・全国•高三专题练习)如图，正四棱锥尸-ABCD的棱长均为2,点E为侧棱尸。的中点.若点M,

N分别为直线A8,CE上的动点，则的最小值为.

B匕-----------

30.(2024•全国•高三专题练习)如图，多面体ABC-AS。是由长方体一分为二得到的，A\=2,AB=BC=l,

NABC=90。，点。是8片中点，则异面直线。A与8。的距离是.

31.(2024•辽宁沈阳•高二沈阳二十中校联考期末)如图①菱形ABCD,=60°,BEEC^1.沿着AE将

折起至！IABNE,使得/DAB'=90。，如图②所示.

BEC

图①图②

(1)求异面直线AB'与8所成的角的余弦值;

(2)求异面直线AB'与8之间的距离.

题型六求异面直线所成的角

（一）求线线角

32.（2024・四川宜宾•高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD-4月

中，E,F,G分别为DD-BD,8月的中点，则G片与尸G所成的角的余弦值为.

33.（2023秋・贵州铜仁•高二统考期末）已知正四棱柱ABCD-ABGA中，AB=2,AAi=4,点E,b分

别是和84的中点，M是线段的中点，则直线AM和CE所成角的余弦值为（）

「V17y/187

617

34.（2024.河南周口.高二校联考阶段练习）在正四棱锥尸-ABCD中，PA^AB=2,M为棱PC的中点，

则异面直线AC,所成角的余弦值为（）

A.立B.gC.@D.逅

2356

35.（2024.高二单元测试）如图，在四棱锥尸-ABC。中，抬，平面ABCD,底面ABCD是菱形，AB=2,

ZBAD=6Q°.

（1）求证：班＞1平面PAC；

（2）若Q4=AB,求尸B与AC所成角的余弦值.

36.（2023・江苏•统考二模）如图，在三棱台A2C-$4G中，BA±BC,平面44班，平面ABC,二面角

用一BC-A的大小为45。，AB=2,BC=A4=M=L

⑴求证：A41_L平面ABC；

（2）求异面直线与8。所成角的余弦值.

（二）求线线角的最值或范围

37.（2024•浙江宁波.高一效实中学校考期中）在正方体A8CD-AgGA中，M为棱8的中点，N为直

线CG上的异于点C的动点，则异面直线AB与"N所成的角的最小值为。，则sin6=（）

ATioRVio「3Mn2M

105105

38.（2023・高三课时练习）已知平面ABC。，四边形A3CD是矩形，四=4）为定长，当A3的长度变

化时，异面直线PC与AD所成角的取值范围是.

39.（2023春•高二单元测试）三棱锥O-ABC中，。4,。氏。。两两垂直且相等，点「,。分别是线段36和。4

上移动，且满足8尸AQ<^AO,则PQ和所成角余弦值的取值范围是（）

40.（2024.江苏连云港.高二校考阶段练习）如图，在四棱锥尸-ABCD中，已知平面ABCD,且四边

形ABCD为直角梯形，ZABC=ZBAD=^,PA=AD=6A?=3C=1.点。是线段3P上的动点，当直线

CQ与DP所成的角最小时，则线段BQ的长为

Be——生

41.（2023春・浙江•高二校联考阶段练习）如图，已知四棱台的底面ABCD是直角梯形，XBAD=90",AD//BC,

AD=AB=2BC=20^=2^,OR，平面ABC。，E是侧棱8耳所在直线上的动点，AE与所成角的

余弦值的最大值为（）

题型七已知线线角求其他量

42.（2024•湖南岳阳•高二统考期末）如图，在三棱锥尸-ABC中，PAL底面ABC,/54C=90。，点D,

E,N分别为棱R4,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2.

（2）已知点H在棱m上，且直线NH与直线班所成角的余弦值为"，求线段AH的长.

9

43.（2024・广东.统考模拟预测）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面R4T>_L平面ABC。，PA=PD,

AD=2CD=2BC=2,CD±BC,BC//AD,E,尸分别为A。，PC的中点.

⑴证明：PE±CD；

（2）若B尸与C。所成的角为60。，求平面8EF和平面A8E夹角的余弦值.

44.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥尸-ABC中，PA=PB,AB=BC=2,

ZAPB=ZABC=9O°,平面，平面ABC,点E是线段R1上的动点.

2

⑵若点。在线段BC上，BQJ,且异面直线EQ与总成30。角，求平面EBC和平面A3C夹角的余弦值.

45.（2024•高二课时练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD,底面ABCD为矩形，

尸D=DC=3,AD=4,航是线段丛的中点，N是线段PC上一点（不与P,C两点重合），且丽=几无.若

直线MN与所成角的余弦值是白叵，则2=（）

46.【多选】（2023•全国•高三专题练习）在三棱锥A-BCD中，平面AftDL平面BCD,BDLCD,BD=CD=2,

△ABD为等边三角形，E是棱AC的中点，E是棱AD上一点，若异面直线DE与BF所成角的余弦值为

巫，则AF的值可能为（）

28

47.（2024.全国•高三专题练习）如图，在四棱柱ABCD-4BC0中，底面ABCD,且底面ABCD为

菱形，&4=3,AB=2,ZABC=120°,P为BC的中点，M在网上，。在平面A3CD内运动（不与尸重

合），且尸。工平面A4.CC,异面直线PQ与耳〃所成角的余弦值为。，则tan/AQW的最大值为

题型八求直线与平面所成的角

（-）求线面角

48.（2023・陕西商洛・统考二模）在四棱锥尸-ABCD中，抬，底面ABCD,底面A3CD是边长为1的正方形，

AP=2,则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为（）

A.还B.-C.—D.昱

5533

49.（2024•江苏宿迁•高二统考期中）如图，在四棱锥尸-ABCD中，尸平面ABC。，ZBAD=9O°,

PA^AB=BC=^AD=1,BC//AD,已知。是棱PZ）上靠近点P的四等分点，则CQ与平面所成角的

正弦值为（）.

D

AA/5R2逐r2V29n1

55296

50.(2024•福建宁德•高二校联考期中)在正四棱柱ABC。-AAGA中，AB=2,M=4,E在线段C4上,

且CE=；CC「

(1)求证：AC，平面。BE；

(2)求直线B{E与平面DBE所成角的正弦值.

51.(2024•江苏淮安・高二金湖中学校联考阶段练习)如图所示，在直四棱柱A8C。-A4GR中，AD//BC,

⑴证明：AC±BtD.

(2)求直线B,C,与平面ACDt所成角的正弦值.

52.(2024.河南新乡•高二统考期末)如图，正三棱锥P—ABC的所有侧面都是直角三角形，过点P作尸

平面ABC,垂足为。，过点。作平面垂足为E,连接尸£■并延长交A2于点尸.

p

⑴证明：歹起AB的中点.

(2)求直线DE与平面BCE夹角的正弦值.

53.(2024•浙江•高二校联考阶段练习)在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为正方形，API平面CDP,

AP=DP.

(1)求证：平面"CDJ：平面ADP；

(2)若。是DP中点，求直线BP与平面BCQ所成角的正弦值.

54.(2024.广东梅州.大埔县虎山中学校考模拟预测)如图①,在RtAABC中,B为直角，AB=BC=6,EF//BC,

7T

AE=2,沿所将折起，使=得到如图②的几何体，点。在线段AC上.

图①图②

(1)求证：平面AEF_L平面ABC；

(2)若AE//平面BDF,求直线AF与平面2。/所成角的正弦值.

55.(2024.福建龙岩•高二校联考期中)如图，在三棱柱ABC-A4G中，侧面8月C。为菱形，且AC=A4.

(1)证明：AB1B{C.

jr

⑵若AC1A/ZCBB^-,AB=BC,点M在直线44」，求直线AB与平面M/G所成角的正弦值的

最大值.

(二)求线面角最值或范围

56.(2023春•四川成都•高二四川省成都市新都一中校联考期末)如图，在四棱锥。-ABCD中，底面ABC。

是矩形，若3QD=QA=2,CD=1,QC=#.

(1)证明：平面QADJL平面A3CD；

(2)若E尸分别是。C,QD的中点，动点P在线段跖上移动，设。为直线的与平面ABCD所成角，求sin。

的取值范围.

57.(2023春•江苏徐州•高二统考期中)如图，圆台的下底面圆。的直径为A3,圆台的上底面圆C的直径

为尸Q,C是弧4B上一点，且尸4=AC=PC=BC=2,尸8=20.

(1)求证：PQ-LAC；

(2)若点M是线段&Q上一动点，求直线AP与平面BCM所成角的取值范围.

58.(2023•江苏淮安・江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面/平面

ABCD,PA=PD,底面ABCD是边长为2的正方形，点E在棱PC上，CE=2PE.

(1)证明：平面BOE_L平面ABC。；

(2)当直线。石与平面尸2。所成角最大时，求四棱锥P-ABCD的体积.

题型九已知线面角求其他量

59.(2023•吉林通化・梅河口市第五中学校考二模)已知四棱锥尸-ABCD的底面为平行四边形，AD=2,

OC=4,ZBAD=60°,PD_L平面ABCD,直线PD与平面？AC所成角为30。，则PD=()

A.2A/2B.9C.正D.不

57

60.(2024.上海闵行・上海市七宝中学校考二模)已知正方体ABCD-4耳£。，点E为AA中点，直线用G

交平面CDE于点。

(1)证明：点尸为BG的中点;

⑵若点〃为棱的上一点，且直线MF与平面侬所成角的正弦值为吟求鲁的值.

61.(2024・上海宝山.高二统考期末)已知E、歹分别是正方体ABC。-44GR的棱BC、。的中点，求:

(1)4。与EF所成角的大小;

(2)二面角C-QB]-C]的大小；

(3)点加在棱CO上，若与平面瓦GCB所成角的正弦值为晅，请判断点”的位置，并说明理由.

19

62.(2024.福建宁德•高二校联考期中)如图，四棱锥尸-ABCD中，四边形ABCO为梯形，其中AB//CD,

ZBCD=60°,AB=2BC=2CD=4fAD±PB.

(1)证明：平面平面ABCD；

⑵若PB=PD,且Bl与平面ABCD所成角的正弦值为与，点E在线段尸C上满足PE=2EC,求二面角

C一班)—E的余弦值.

63.(2024・广西•高二校联考阶段练习)如图，在正三棱柱ABCi-ABC中，。为AB的中点，

qE=2^c(o<A<i),AA=6AB=2B

(2)若直线BG与平面所成角为三，求2的值;

64.(2024・湖北•高二校联考阶段练习)如图，在三棱锥A-3CD中，NBCO=90。,AB=AC=的中

点为G.

A

(1)证明：直线AG，平面BCD；

(2)若BD=2,3C=1,当直线A3与平面AC。所成的角最大时，求三棱锥A-BCD的体积.

65.(2024新疆乌鲁木齐・高一乌鲁木齐市第70中校考期中)如图，在四棱锥中，底面ABC。是边

长为2的菱形，加，平面ABC。，ZABC=60°,E为BC的中点，F为边PC上的一个点.

⑴求证:平面AERL平面PAD-,

(2)若H为尸。上的动点，即与平面外。所成角的正切值的最大值为且，求平面B42与平面PC。夹角的

2

余弦值.

66.(2024•广东深圳•深圳中学校考模拟预测)如图，AD〃3C且">=23C,ADLCD,EG〃A。且EG=AD,

CD〃bG且C£>=2FG.DG_L平面ABCD,DA=DC=DG=2.

(1)求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；

(2)若点尸在线段OG上，且直线3P与平面ADGE所成的角为60。，求线段DP的长.

题型十求两平面的夹角(二面角)

（一）求面面角

67.（2024•吉林四平•四平市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱锥尸-ABC中，P4,底面

ABC.PC=2AC=2AB=4,。为尸C中点，且3£>_LAC.

⑴求8C的长；

（2）求锐二面角A-BD-C的余弦值.

68.（2024•江苏徐州•高二统考期中）如图，在正四棱锥尸-ABCD中，AB=2,正四棱锥尸-ABCD的体积

Q

为点M为PC的中点，点N为BD的中点.

（1）求证：MN〃平面R4D；

（2）求二面角尸-3M-N的余弦值.

69.（2024.北京.北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱ABC-AB。中，区下分别是棱44,产片上的点,

⑴证明：平面CEF，平面ACGA；

(2)若AC=AE=2,求二面角E-CF-G的余弦值.

70.(2024.安徽蚌埠•高二统考期末)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,

NADC=NBCD=9",AD=2BC=2CD=®PA=®PD=4,二面角P—AD—B的大小为120。，E是上4中

(1)求证：8E〃平面PCD；

(2)求二面角£-3£>-A的余弦值.

71.(2024.四川泸州.高二泸县五中校考期末)如图，在矩形ABCD中，点E在边CZ)上，且满足

AD=DE=42,CE=—,将VADE沿AE向上翻折，使点。到点P的位置，构成四棱锥尸-ABCE.

2

(1)若点尸在线段AP上，且E尸〃平面P3C,试确定点下的位置；

(2)若尸2=①°,求锐二面角P—EC—A的大小.

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72.(2024.江苏连云港.高二统考期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，P4,平面ABCD,PB与底面所成

的角为45。，底面A8CD为直角梯形，ZABC=ZBAD=90°,AD=2,PA=BC=1.

(1)求直线PC与平面尸3。所成角的正弦值；

(2)求平面1^45与平面尸。所成的锐二面角的余弦值.

(-)求面面角的最值或范围

73.(2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第六中学校校考三模)已知直三棱柱ABC-A与G中，侧面M耳B为正方

形，AB=BC,E，尸分别为AC和CG的中点，。为棱4片上的动点.3尸，A片.

C

(1)证明：BF.LDE；

(2)求平面BBgC与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值及此时点D的位置.

74.(2023秋•云南昆明•高二统考期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，/ADC=丁,

PD=DC=2BC=4,点E是线段AD的中点，点E在线段AP上且满足而=4而，ED_L面A8CD

(1)当2时，证明：PC7/平面跳E；

(2)当A为何值时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小？

75.(2023春•江苏南通・高二江苏省通州高级中学校考阶段练习)在四棱锥S-ABCD中，四边形A3CD为正

方形，AB=2,DS=1,平面AS。，平面ABC。，SD1AD,点E为DC上的动点，平面3SE与平面AS。

所成的二面角为阳为锐角)，则当。取最小值时，DE=

C

E

D

S

题型十一已知面面角求其他量

76.（2024・高二单元测试）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD为正三角形，AD=2,

AB=3,平面上位），平面ABC。，E为棱PB上一点（不与尸,2重合），平面ADE交棱尸C于点尸.

（1）求证：AD//EF；

（2）若二面角E-AC-8的余弦值为主质，求点8到平面AEC的距离.

20

77.（2024•河南新乡•高二统考期末）如图，在直四棱柱ABCD-A耳GR中,

AB//CD,AB±AD,AAi=AB=2AD=2CD=4,E为棱441的中点，点M在线段CE上，且比B.

（1）证明：B£，CE.

⑵若二面角耳-M的余弦值为芈，求2的值.

78.（2024•全国•高三专题练习）如图，在正四棱柱ABC。-4402中，48=2,然=4.点儿,打（2,3分

另I」在棱AVBBi.CG,叫上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明：22c2〃4。2；

(2)点尸在棱8月上，当二面角尸-4G-。2为150。时，求生尸.

79.(2024・湖南郴州•高二校考期末)正三棱柱ABC-A耳G中，BC=CQ=2,。为BC的中点，点E在人其

(1)证明：3。/平面44。；

(2)若二面角A-DE-G大小为30°,求以A，瓦nG为顶点的四面体体积.

80.(2024.全国•高二假期作业)如图1,在平行四边形A8CZ)中，NA=60。,A