第14讲 三角函数的图象与性质（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第14讲三角函数的图象与性质【人教A版2019】模块一模块一正弦函数、余弦函数1．正弦函数与余弦函数的图象(1)正弦函数的图象①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示.

②五点法观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”.(2)余弦函数的图象

①图象变换法作余弦函数的图象

由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示.②五点法作余弦函数的图象

类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象.(3)正弦曲线、余弦曲线

正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线.2．正弦函数与余弦函数的性质(1)周期函数①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.(2)正弦函数与余弦函数的性质正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表：函数y=sinxy=cosx图象定义域RR值域[-1,1][-1,1]周期性最小正周期：2π最小正周期：2π奇偶性奇函数偶函数单调性增区间减区间最值图象对称性对称中心：

对称轴方程：对称中心：

对称轴方程：3．正弦型函数及余弦型函数的性质函数和的性质函数定义域RR值域[-|A|,|A|][-|A|,|A|]单调性当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化.奇偶性当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，

当时为偶函数.当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，

当时为奇函数.周期性图象

对称性将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解.【题型1正、余弦函数图象及应用】【例1.1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）当x∈−3π,3π时，曲线y=cosA．4 B．5 C．6 D．7【例1.2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数fx的部分图象如图所示，则fx的解析式可能为（A．fx=2C．fx=2【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像：(1)y=sin(2)y=3sin【变式1.2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数fx(1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数fx(2)若方程fx=a在x∈0,【题型2正、余弦函数的定义域、值域与最值】【例2.1】（23-24高一上·安徽·期末）函数y=sin2x+πA．[0,1] B．−12,1 C．−【例2.2】（23-24高一下·山东日照·期中）函数y=2sinx−1A．π3,5π6 B．π3【变式2.1】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数f(x)=2cos(2ωx+π(1)求ω的值，并求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)的对称轴；(3)求f(x)在[0,π【变式2.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数f(x)=2sinωx−π(1)求f(x)的对称轴方程．(2)求f(x)在0,π2上的最值及其对应的【题型3正、余弦函数的图象与性质】【例3.1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数fx(1)求fx(2)当x∈0,5π【例3.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=sin2x+a(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值；【变式3.1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数f(x)=2sin(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的严格减区间；(3)若x∈0,π2时，f(x)【变式3.2】（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知fx(1)求函数fx(2)求函数fx(3)x∈−3π【题型4正、余弦函数的含参问题】【例4.1】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数f(x)=sinωx+π6(ω>0)在区间0,A．23,+∞ B．23,4【例4.2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,φ<π2，x=−π4A．18 B．17 C．14 D．13【变式4.1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数fx=sinωx+π6（ω>0）在区间0,5π上恰好有3条对称轴，则ω的取值范围是（C．715,2【变式4.2】（2024·安徽·模拟预测）已知函数fx=cosωx−π6(ω>0)A．0,23 B．0,53 C．模块模块二正切函数1．正切函数的性质与图象(1)正切函数的图象及性质定义域周期性由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π.奇偶性由诱导公式可知，正切函数是奇函数.图象单调性正切函数在每一个区间上都单调递增值域正切函数的值域是实数集R对称中心(2)三点两线法作正切曲线的简图类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点(-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图.【题型5正切函数的定义域、值域与最值】【例5.1】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数fx=−3tanA．xx≠π4C．xx≠2kπ+【例5.2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数fx=3tan2x+πA．33,33 B．33,3【变式5.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数y=tan2x−【变式5.2】（23-24高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域：（1）y=1+（2）y=tan【题型6正切函数的图象与性质】【例6.1】（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数fx=tan2x−π3②fx在5③2π3,0为④fx最小正周期为A．0 B．1 C．2 D．3【例6.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数fx=tanA．π2是函数fx的一个周期 B．函数fxC．函数fx的图像关于点2024π,0对称 【变式6.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx(1)求fx(2)试比较fπ与f【变式6.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数f(x)=tan(1)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间；(2)求不等式−1≤f(x)≤3(3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图.【题型7正切函数的含参问题】【例7.1】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数fx=1−tanωx−π4ω≠0在0,1上单调递增，则ω的取值范围是（C．0,π4 【例7.2】（23-24高一上·广东·期末）若函数y=tan(x−φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点，则φA．0 B．π4 C．π2 【变式7.1】（2024·安徽马鞍山·一模）已知函数fx=tanωx+φ（ω>0，φ<π2）的图象经过点0,3，若函数A．23,5C．53,8【变式7.2】（23-24高三上·河南南阳·期末）已知−14,m,14,m,3A．π B．2π C．π2 【题型8三角函数的零点问题】【例8.1】（24-25高二上·浙江·开学考试）设函数fx=2sinωx+φ−1(ω>0)，若对于任意实数φ,fxA．83,5 B．4,5 C．4,20【例8.2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数fx=sinx−cosA．π B．2π C．3π【变式8.1】（23-24高一下·陕西西安·期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)求函数fx在区间0,2π【变式8.2】（23-24高一下·山东日照·期中）已知函数fx=−2sin(1)当t=23，x∈π2,(2)设函数fx在−π,−①求t的取值范围；②证明：m+n>−3【题型9与三角函数相关的复合函数】【例9.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合：(1)y=3cos2x(2)y=cosx−sin【例9.2】（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数f(x)=sin2x+a(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值；(3)对于任意x∈0,π3，不等式f(x)≥【变式9.1】（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域.(1)f(x)=tan(2)f(x)=|sinx|+2cos(3)f(x)=sin【变式9.2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）设a为常数，函数f(x)=−2sin(1)当a=1时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在区间(0,π)上有两个不同的零点，求实数(3)当−1≤a≤1时，设n为正整数，f(x)在区间(0,nπ)上恰有2024个零点，求所有可能的正整数一、单选题1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）当x∈0,2π时，曲线y=cosx与A．3 B．4 C．5 D．62．（24-25高三上·上海·开学考试）函数y=tan(−3x+πA．[kπ−π3,kπ+π3C．[kπ3−π9,kπ3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数fx=Acosωx+φA．fx=2cosC．fx=2cos4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知x∈−π2,πA．0,13 B．0,3 C．135．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数fx=2cosA．ω=2B．函数fx的图象关于直线x=C．函数fx的图象关于点πD．函数fx的单调递减区间为6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数f(x)=sin3ωx+π6(ω>0)的最小正周期为2π3A．−32 B．−12 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数fx=cosωx−π3ω>0A．176,23C．173,238．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知fx=sinωx+πA．φ=B．若gx的最小正周期为3πC．若gx在区间0,π上有且仅有3个最值点，则ωD．若gπ4=二、多选题9．（2024高一上·全国·专题练习）函数y=sinx,x∈π3,2π与直线A．0 B．1 C．2 D．3 E．410．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知函数fx=cosx，A．函数mx=fxB．函数mx=fC．函数nx=fD．函数nx=f11．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数fx=2sinωx+φω>0,A．若fx的最小正周期是π，则B．若fx的图象关于直线x=πC．若fx在0,π2上单调递增，则D．若23≤ω<53，则三、填空题12．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数y=2sin2x+π13．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知函数y=sin(2x−π6)−m在[0,π214．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数fx=sinωx+φ（ω>0，φ≤π2），x=−π8为fx的零点，x=π8为四、解答题15．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数f(x)=请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期上的图象（先在所给的表