第13讲 同角基本关系与诱导公式（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第13讲同角基本关系与诱导公式【人教A版2019】模块一模块一同角基本关系式1．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系基本关系式语言描述平方关系同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.商数关系同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.(2)基本关系式的变形公式2．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧(1)利用可以实现角的正弦、余弦的互化，利用可以实现角的弦切互化.(2)形如等类型可进行弦化切.【题型1同角基本关系式的应用】【例1.1】（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知α是第四象限角，若cosα=15，则tanA．24 B．−24 C．2【例1.2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知sinα=35，且α是第二象限角，则tanA．−34 B．−43 C．【变式1.1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知θ是三角形的内角，若sinθ−cosθ=15A．75 B．−15 C．−【变式1.2】（23-24高一下·山东潍坊·期末）已知2sinα=cosα，则A．4 B．−4 C．−3 D．3【题型2弦切互化】【例2.1】（23-24高一下·上海·期中）已知α是第三象限角，tanα=512，则cosA．513 B．C．1213 D．−1213【例2.2】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知tanα=4A．45 B．67 C．8【变式2.1】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知sinα+cosα=35A．−25 B．52 C．−【变式2.2】（23-24高一下·山西·阶段练习）已知2sinθ=cosθ，则A．−15 B．15 C．4【题型3三角函数式的化简、求值】【例3.1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）（1）已知tanα=23（2）若sinα−cosα=【例3.2】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：(1)1+2sin(2)sin2【变式3.1】（24-25高一上·上海·课后作业）已知2cos(1)tanα(2)2sin【变式3.2】（23-24高一下·上海·期中）已知sinθ+(1)tanθ(2)求sin2【题型4三角函数恒等式的证明——同角三角函数基本关系】【例4.1】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：(1)sin2(2)21−【例4.2】（23-24高一下·全国·课后作业）求证：(1)sin2(2)已知tanα=13【变式4.1】（23-24高一·江苏·课后作业）求证：（1）1+tan（2）sin4（3）tan2【变式4.2】（23-24高一·全国·随堂练习）求证：(1)sin4(2)sin4(3)cosα模块模块二诱导公式1．诱导公式(1)诱导公式公式一二三四五六七八角正弦余弦正切余切口诀函数名不变，符号看象限.函数名改变，符号看象限.(2)诱导公式的作用诱导公式作用公式一将任意角转化为0～2π的角求值公式二将0～2π的角转化为0~π的角求值公式三将负角转化为正角求值公式四将π2～π的角转化为0～π公式五实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化公式六实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化2．诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.【题型5三角函数的化简、求值——诱导公式】【例5.1】（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）若tanα=−2，cosβ=2−1A．22−1 B．−1 C．1−2【例5.2】（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边经过点P3,4,则sinα−A．−45 B．−35 C．【变式5.1】（24-25高一上·全国·课堂例题）化简：(1)cos−α(2)sin1400°+α【变式5.2】（23-24高一上·山东淄博·期末）已知α角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点P(−4,3).(1)求sinα,(2)求f(α)=cos【题型6三角函数恒等式的证明——诱导公式】【例6.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：tan(2【例6.2】（24-25高一·全国·课后作业）求证：tan2π−α【变式6.1】（24-25高一·全国·课后作业）求证:2sin【变式6.2】（23-24高一上·全国·课后作业）（1）求证：tan(2π−α)（2）设tan(α+8π7【题型7同角关系式和诱导公式的综合应用】【例7.1】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知sinπ2+α=35，α∈3π2,2π，则sinπ+α=【例7.2】（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知α角的始边与x轴非负半轴重合，P−2,3是α角终边上一点，则tan−πA．−4712 B．4712 C．31【变式7.1】（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）如图，以Ox为始边作角α与β0<β<π2<α<π，它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q

(1)求2cos(2)若OP⊥OQ，求P的坐标.【变式7.2】（23-24高一下·江西萍乡·期中）在①sinαcosα=−已知角α∈3(1)求tanα(2)求sin3一、单选题1．（23-24高一下·北京延庆·期末）若tanα=−34，cosα<0，则A．45 B．−45 C．32．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：sin300°+tan600°=A．32 B．−32 C．33．（2024高三·北京·专题练习）若α是第二象限角，且tanα=−12，则cosA．32 B．−32 C．54．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知α∈0,π，且1+sinα1−A．23 B．13 C．−14 5．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知P−9,8为角α终边上一点，则5sinα−2A．−6122 B．−2 C．22616．（24-25高一上·全国·课后作业）已知sin(−π−α)=35，且αA．−45 C．13 D．7．（2024高三·北京·专题练习）已知角α以Ox为始边，它的终边与单位圆O相交于点P(−45,A．−45 B．45 C．−8．（2024高二下·浙江·学业考试）《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角∠AOB=2α，若“弦”为23，“矢”为1时，则12sinα⋅cosA．1 B．3 C．33 D．二、多选题9．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知角α和β的终边关于x轴对称，则（

）A．sinα=−sinβC．sinπ2+α10．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（

）A．若sinθcosB．若tanx=1C．若sinα=2D．若α为第一象限角，则cos11．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知0<x<π，sinx+cosx=A．sinxcosx=−C．sinx−cosx=−三、填空题12．（23-24高一上·安徽·期末）已知tanα=34，则2sin13．（24-25高三上·江苏常州·开学考试）若tanα=2，则sinπ2−α14．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P1,3，则2cosπ−θ四、解答题15．（24-25高二上·辽宁沈阳·开学考试）计算(1)tan(−31(3)cos16．（23-24高一下·山西忻州·开学考试）（1）角α的终边上有一点P(