第11讲 函数与方程的综合应用（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第11讲函数与方程的综合应用【人教A版2019】模块一模块一函数的零点与方程的解1．函数的零点(1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值.(2)函数的零点与方程的解的关系函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.关系如下表所示：根零点交点方程f(x)=0的根函数y=f(x)的零点f(x)图象与x轴交点的横坐标方程f(x)=g(x)的根函数y=f(x)-g(x)的零点f(x)与g(x)图象交点的横坐标2．函数零点存在定理(1)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的解.(2)函数零点存在定理的几何意义：在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点.3．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.【题型1求函数的零点（个数）】【例1.1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=lnx，则函数y=f(f(x))的零点为（A．1 B．0 C．e D．e【例1.2】（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数fx=xx+3,x<0,A．1 B．2 C．3 D．4【变式1.1】（2024·陕西西安·一模）函数f(x)=log2x−A．4 B．4或5 C．5 D．−4或5【变式1.2】（23-24高一上·吉林·期末）函数fx=xA．l B．2 C．3 D．4【题型2零点存在性定理的应用】【例2.1】（23-24高一下·湖南·期中）函数fx=xA．1,2 B．2,3 C．3,4 D．4,5【例2.2】（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）“a≤−2”是“函数fx=ax+3在区间−1,2上存在零点”的（A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式2.1】（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数fx=2A．−2,−1 B．0,1 C．−1,0 D．−1,0【变式2.2】（23-24高一下·海南·阶段练习）函数fx=xA．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【题型3\o"比较零点的大小关系"\t"/gzsx/zj145218/_blank"比较零点的大小关系】【例3.1】（2024·广东梅州·二模）三个函数fx=x3+x−3，gx=lnx+x−3A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．b<c<a【例3.2】（2024·新疆乌鲁木齐·二模）设x>0，函数y=x2+x−7,y=2xA．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b【变式3.1】（23-24高一上·河北唐山·期末）若函数f(x)=12x−x，g(x)=log13x−x，ℎ(x)=xA．a>b>c B．c>a>b C．a>c>b D．c>b>a【变式3.2】（2024·浙江丽水·二模）已知正实数x1,x2,x3满足x12A．x3<xC．x1<x【题型4根据函数零点（方程根）的个数求参数范围】【例4.1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数fx=x−2+a,x≥2ax−2,x<2（a>0且a≠1），若存在实数A．0<a<1 B．a>1 C．12<a<1 【例4.2】（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知fx=|log21−x|，x<1A．(1,2) B．2,C．13+12,4【变式4.1】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(x)=x+2a,x<0x2−ax,x≥0，若关于x的方程【变式4.2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）已知函数f(1)若fx=1，求(2)若函数y=ffx−m模块模块二二分法1．二分法(1)二分法的定义：

对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.(2)区间的中点：一般地，我们把x=称为区间(a,b)的中点.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0，我们便知区间(a,)包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内.(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤

给定精确度，用二分法求函数y=f(x)零点的近似值的一般步骤如下：

1.确定零点的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0.

2.求区间(a,b)的中点c.

3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)=0(此时=c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)f(c)<0(此时∈(a,c))，则令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此时∈(c,b))，则令a=c.

4.判断是否达到精确度：若|a-b|<，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4.【题型5\o"用二分法求近似解的条件"\t"/gzsx/zj145219/_blank"用二分法求近似解的条件】【例5.1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A．fx=2x C．fx=x+1【例5.2】（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A．log2x+x=0 B．ex+x=0 C．【变式5.1】（2024高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式5.2】（23-24高一上·福建福州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A．fx=3x+1 B．fx=x3【题型6用二分法求方程的近似解】【例6.1】（24-25高一上·全国·随堂练习）若函数fxffffff那么方程x3+xA．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875【例6.2】（24-25高一上·全国·课后作业）用二分法求方程ln2x+6+2=3x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918-0.3604-0.9989则由表中的数据，可得方程ln2x+6+2=3A．1.125 B．1.3125 C．1.4375 D．1.46875【变式6.1】（23-24高一上·四川成都·期中）设函数fx=xlnx+2x−6，用二分法求方程xlnx+2x−6=0在A．2.5,3 B．2.25,2.5 C．2,2.25 D．不能确定【变式6.2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若函数fx=x3+x751.43751.40625f−20.625−0.984−0.2600.165−0.052A．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【题型7用二分法求函数的近似值】【例7.1】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知函数fx=x3+x−1x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f−11−0.3750.1719−0.1309−0.25950.01245−0.06113−0.02483若用二分法求fx零点的近似值（精确度为0.1），则对区间0,1等分的最少次数和fx零点的一个近似值分别为（

）A．4，0.7 B．5，0.7 C．4，0.65【例7.2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数fx=ex−x−2的一个正零点的近似值（精确度为0.1)A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算fD．没有达到精确度的要求，应该接着计算f【变式7.1】（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）函数fx=xA．2 B．3 C．4 D．5【变式7.2】（23-24高一上·江苏淮安·期末）已知函数f(x)在(0,1)内有一个零点，且求得f(x)的部分函数值数据如下表所示：x010.50.750.6250.56250.68750.656250.671875f(x)-11-0.3750.1718-0.1308-0.25950.01245-0.06113-0.02483要使f(x)零点的近似值精确到0.1，则对区间(0,1)的最少等分次数和近似解分别为（

）A．6次0.7 B．6次0.6C．5次0.7 D．5次0.6一、单选题1．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）函数y=x2+3x+2A．1,0,2,0 B．1，2 C．−1,0,2．（23-24高一下·浙江杭州·期中）下列函数中不能用二分法求零点的是（

）A．y=3x−1 B．y=x3 C．y=x3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx在区间a,b具有单调性，且fafb<0，则方程fA．至少有一实根 B．至多有一实根C．没有实根 D．有且只有一实根4．（23-24高一上·湖南长沙·期末）设f(x)=2x+x−8，用二分法求方程2x+x−8=0A．1,2或2,3都可以 B．2,3C．1,2 D．不能确定5．（24-25高一上·全国·课前预习）用二分法求函数fxx0.06250.093750.1250.156250.1875f-0.4567-0.18090.09780.37970.6647根据上述数据，可得fx=5A．0.09375 B．0.109375 C．0.125 D．0.0781256．（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数y=x2+2x−10,y=2x+2x−10,y=log2x+2x−10A．a<b<c B．b<a<c C．a<c<b D．c<a<b7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数fx的定义域为R，且fx+1是奇函数，当x>1时，fx=2−x,1<x≤2x2A．3 B．4 C．5 D．68．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知函数fx=x2−1x−1+1,x∈−2,0A．m|−12<m<C．{m|−32<m<−12或m=0}二、多选题9．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）在用“二分法”求函数fx零点的近似值时，若第一次所取区间为−2,4，则第二次所取区间可能是（

A．−2,−1 B．−2,1 C．2,4 D．1,410．（23-24高二下·湖北孝感·期末）若函数y=fx在区间a,b上的图象不间断，则下列说法正确的是（

）A．若fafb>0B．已知方程ex=8−x的解在k,k+1C．若fafb<0，则D．若fx在a,b内有且只有一个零点，则11．（24-25高三上·江苏连云港·开学考试）已知函数fx=log2x,0<x≤2x2−6x+9,x>2，若方程fx=k有四个不同的零点xA．0<k<1 B．2C．x1x2三、填空题12．（24-25高一上·全国·课后作业）函数fx=x−x−6的零点是13．（24-25高一上·上海·随堂练习）用二分法求方程x3−2x−5=0的实根，由计算器可算得f2=−1，f3=16，14．（24-25高二上·湖南郴州·阶段练习）已知函数gx=2x−1，若函数fx=四、解答题15．（24-25高一·全国·课后作业）用二分法求下列函数在给定区间内的零点：(1)fx=3x(2)fx=2x16．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列函数是否存在零点，如果