第10讲 指、对、幂的大小比较（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）

第10讲指、对、幂的大小比较【人教A版2019】模块一模块一指、对、幂数比较大小1．单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同时，如和，利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如和，利用指数函数单调性比较大小.2．中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3．作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4．估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5．构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6．放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用函数的性质比较大小】【例1.1】（2024高二下·河北·学业考试）已知a=20.3,b=A．c<b<a B．b<c<aC．c<a<b D．a<b<c【例1.2】（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知a=log1312A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【变式1.1】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）若a=0.30.4，b=0.40.3，c=2log83，则aA．c<a<b B．b<a<c C．a<b<c D．a<c<b【变式1.2】（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）设a=21.2,b=lg3,c=A．a>b>c B．a>c>b C．b>a>c D．c>a>b【题型2中间值法比较大小】【例2.1】（24-25高二上·安徽阜阳·开学考试）设a=log20.2，b=0.22，c=20.2，则aA．a<b<c B．b<c<a C．c<a<b D．c<b<a【例2.2】（23-24高二下·天津红桥·期末）已知a=21.2，b=2lg3，c=ln13，则（C．b>a>c D．b>c>a【变式2.1】（2024·辽宁·模拟预测）设a=0.513A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b【变式2.2】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【题型3特殊值法比较大小】【例3.1】（23-24高二下·陕西延安·期末）若a=log527,b=A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．a>c>b【例3.2】（23-24高二下·天津·期末）若a=ln1.1,b=20.1,c=A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>c>a【变式3.1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知x=ln3,y=logA．x<y<z B．z<x<y C．z<y<x D．y<z<x【变式3.2】（2024·天津和平·三模）设a=0.42，b=log0.43，c=40.3，则aA．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b【题型4作差法、作商法比较大小】【例4.1】（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）设a=log52，b=0.50.6A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．a>c>b【例4.2】（23-24高二下·重庆·期末）设a=log20262025,b=A．c<a<b B．b<a<cC．b<c<a D．a<b<c【变式4.1】（2024·四川成都·一模）若a=3−14，b=32−13，c=A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【变式4.2】（23-24高二下·山东临沂·期末）已知a=log48，b=log0.6A．b>a>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a【题型5构造函数法比较大小】【例5.1】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知a=e−1，b=3A．b>c>a B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a【例5.2】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c满足2a+a=2，2b+b=5A．c<a<b B．a<b<c C．a<c<b D．b<c<a【变式5.1】（23-24高一下·广东广州·开学考试）设a=log34，b=log4A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a【变式5.2】（2024·河南·模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+logA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【题型6数形结合法比较大小】【例6.1】（23-24高一上·浙江温州·期末）设a=4lg3，b=31A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【例6.2】（2024·全国·模拟预测）已知a=12a,1A．a<b<c B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b【变式6.1】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知a2=2b=3A．c<a<b B．b<c<a C．b<a<c D．c<b<a【变式6.2】（23-24高三上·四川·阶段练习）已知a+log2a=4,b+A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>a>b【题型7基本不等式比较大小】【例7.1】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知a=log45,b=A．c>b>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c【例7.2】（24-25高三上·江苏南通·开学考试）我们知道当0<x<2或x>4时，2x>x2.若A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a【变式7.1】（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）已知a=log32，b=log4A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．a>c>b【变式7.2】（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知a=log32，b=log43，c=0.51.2，比较A．a>b>c B．a>c>bC．b>c>a D．b>a>c【题型8放缩法比较大小】【例8.1】（2024·辽宁·一模）设a=e1033，b=ln11A．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．a<c<b【例8.2】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知a=19−17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【变式8.1】（2024·全国·模拟预测）已知a=log2π，b=ln4A．a<b<c B．bC．b<a<c D．c【变式8.2】（2024·四川乐山·三模）若a=log32,b=log4A．b<c<a B．a<c<bC．c<b<a D．c<a<b一、单选题1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知a=log23，b=log4A．a=b<c B．a<b<c C．a=c>b D．a>c>b2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知a=4π，b=log14lnπ，c=14A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．b<c<a3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）设a=0.20.3，b=0.30.2，A．c>b>a B．c>a>b C．b>a>c D．a>b>c4．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数fx=lnx，若a=f18，b=f14，c=f2A．c<b<a B．b<c<a C．c<a<b D．a<b<c5．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知偶函数fx在−∞,0上单调递增，a=fA．b>a>c B．c>b>aC．a>c>b D．a>b>c6．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知x3−yA．lnyx>0C．lny+x>0 7．（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知对数函数y=logax（a>0且a≠1）是减函数，若m=a3，n=A．m>n>p B．n>m>p C．n>p>m D．p>n>m8．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）定义在R上的奇函数fx满足：任意x1≠x2，都有fx1−fxA．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b二、多选题9．（23-24高三上·湖南常德·期中）下列不等式成立的是（

）A．0.30.7<0.3C．log0.30.2>0.310．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）若0<a<b<1,0<c<1，则下列说法中正确的是（

）A．ca<cb B．logca>11．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知10a=2，102bA．a>b B．a+2b=1C．log2a+log三、填空题12．（24-25高三上·江苏扬州·开学考试）设a=log43，b=log32，c=23，则13．（2024·北京通州·三模）已知a=2−1.1，b=log1414．（23-24高一上·湖北·期末）定义域为R的函数fx满足fx+2为偶函数，且当x1<x2<2时，f四、解答题15．（23-24高一·上海·课堂例题）设a=23x，b=x32及c=log2316．（24-25高一上·全国·课前预习）比较大小：(1)loga5.1，loga5.9（(2)log