第05讲 函数的三要素（秋季讲义）（人教A版2019必修第一册）（含答案解析）

第05讲函数的三要素【人教A版2019】模块一模块一定义域问题1．函数的概念(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，xA.(2)函数的四个特征：①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.2．函数的三要素(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．3．抽象函数的定义域(1)抽象函数小括号内整体取值范围一致；(2)定义域是指自变量x的取值范围.4．求给定解析式的函数定义域的方法求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.5．求抽象函数定义域的方法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.【题型1具体函数的定义域的求解】【例1.1】（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数fx=x+1A．23,+∞C．23,1∪【解题思路】根据函数解析式有意义可得出关于实数x的不等式组，即可解得函数的定义域.【解答过程】由题意对于fx=x+13x−2+x−10故选：C.【例1.2】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若函数f(x)=1kA．(0,4) B．[0,4) C．[0,4] D．(0,4]【解题思路】由题意可知kx2+kx+1>0【解答过程】函数f(x)=若k=0，则不等式为1>0恒成立，满足题意；若k≠0，则k>0综上可知，实数k的取值范围是0≤k故选：B．【变式1.1】（23-24高一下·广东汕头·期中）函数f(x)=3x−2+1A．{x|x>23且x≠2} B．{x|x<2C．x|23≤x≤2 D．{x|x≥【解题思路】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可.【解答过程】由题意得3x−2≥0x−2≠0，解得x≥23即定义域为x∣x≥2故选：D.【变式1.2】（23-24高一上·重庆·期末）函数fx=−A．−1,4 B．−1,0C．−4,1 D．−4,0【解题思路】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【解答过程】由题意，函数fx分母不为零：x≠0……①负数不能开偶次方根：4+3x−x2由①②得：fx的定义域为−1,0故选：B.【题型2抽象函数的定义域的求解】【例2.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）若函数fx的定义域是1,4，则函数fx−3的定义域是（A．4,5 B．1,16 C．1,4 D．−2,1【解题思路】根据函数fx的定义域求出fx的定义域，然后求解【解答过程】因为函数fx的定义域是1,4，所以1≤x≤4，所以1≤所以fx的定义域是1,2，故对于函数fx−3，有1≤x−3≤2，解得从而函数fx−3的定义域是4,5.【例2.2】（23-24高一上·浙江·期末）若函数y=fx的定义域为0，4，则函数y=A．−12,1∪1,32 B．【解题思路】根据条件列出不等式组，解出即可.【解答过程】因为函数y=fx的定义域为0,4所以0≤2x+1≤4x−1≠0，解得−12故函数y=f2x+1x−1故选：A.【变式2.1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）若函数f2x−1的定义域为−3,1，则y=f3−4xA．1 B．1,32 C．32【解题思路】根据题意先求得函数fx的定义域为−7,1，然后结合抽象函数定义域与x−1【解答过程】由题意可知−3≤x≤1，所以−7≤2x−1≤1，要使函数y=f3−4xx−1有意义，则−7≤3−4x≤1,故选：D.【变式2.2】（23-24高一上·湖南衡阳·期中）已知函数fx+1的定义域为[1,7]，则函数ℎx=f(2x)+A．[4,16] B．(−∞,1]∪[3,+∞) C．【解题思路】根据给定条件，结合抽象函数定义域的意义，列出不等式求解作答.【解答过程】函数fx+1的定义域为[1,7]，则2≤x+1≤8，因此在f(2x)中，2≤2x≤8函数ℎx=f(2x)+9−x2所以函数ℎ(x)的定义域为[1,3].故选：C.【题型3复合函数的定义域的求解】【例3.1】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若函数f2x−1的定义域为−1,1，则函数y=fx−1A．−1,2 B．0,2 C．−1,2 D．1,2【解题思路】由已知求出f(2x−1)中2x−1的取值范围，它即为f(x−1)中x−1的范围，再结合分母不等于0，二次根式中被开方数非负得出结论．【解答过程】f(2x−1)中，−1≤x≤1，则−3≤2x−1≤1，所以函数y=fx−1x+1中−3≤x−1≤1故选：A．【例3.2】（23-24高一上·河北邢台·期末）已知函数fx=11x−2，则函数A．2,11 B．2,13 C．2,15 D．4,11【解题思路】根据函数fx【解答过程】因为fx所以x−2>0，解得x>2，即fx的定义域为2,+若y=fx则x>2,13−x>2,解得2<x<11，即y=fx−f故选：A.【变式3.1】（23-24高一上·河南信阳·阶段练习）已知函数fx+1x−1的定义域为(−2,0)，则f(2x−1)的定义域为（A．(−12,12) B．(−5,−1)【解题思路】由已知条件求得fx的定义域，再由fx的定义域求出【解答过程】∵函数fx+1x−1的定义域为(−2,0)，即∴x+1x−1又∵−1<2x−1<13，解得∴f(2x−1)的定义域为(0,2故选：C.【变式3.2】（23-24高三上·全国·阶段练习）若函数fx的定义域为1,3，则函数gx=A．1,2 B．1,5 C．1,2 D．1,5【解题思路】利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答.【解答过程】因函数fx的定义域为1,3，则在函数g必有1≤2x−1≤3x−1>0，解得1<x≤2所以gx的定义域为1,2故选：A.模块二模块二值域问题1．复合函数的值域求复合函数的值域是由内向外逐层求解，先看整个函数的定义域，再依次从内层开始求每层的值域，每一个内层的值域都对应它外面一层的定义域，这样一层层处理就可以得到整个函数的值域.2．求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)配方法；(3)不等式法；(4)单调性法；(5)换元法；(6)数形结合法.【题型4复杂函数求值域问题】【例4.1】（23-24高一下·吉林·阶段练习）函数fx=x+1−4xA．14,+∞ B．54,+∞ C．【解题思路】先求出函数的定义域，然后利用换元法转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次方程最值性质进行求解即可.【解答过程】由1−4x≥0得x≤14，设t=1−4x，则t≥0，且t2则fx等价为y=1−t∵t≥0，∴当t=2时函数取得最大值54即fx≤5故选：D.【例4.2】（23-24高一上·四川宜宾·期中）函数y=1−x+x2A．13,3 B．13,1∪(1,3] 【解题思路】对函数y=1−x+【解答过程】结合题意：y=1−x+当x=0时，y=1；当x>0时，y=1−2x1+x+x即x=1，原式取得最小值13另一方面，因为x>0，2x1+x+x2>0,所以当x<0时，y=1−2x当且仅当−1x=−x，即x另一方面因为x<0，令m=1+x+x2，则Δ=1所以y=1−2x1+x+x综上所述：函数y=1−x+x2故选：A.【变式4.1】（23-24高三·全国·对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则y=[f(x)]2+f(A．[1,3] B．[1,9] C．[12,36] D．[12,204]【解题思路】首先由f(x)的定义域得出y=[f(x)]2+f(x2【解答过程】由f(x)的定义域为[1,9]，y=[f(x)]则1≤x2≤9所以y=(x+2)因为x∈[1,3]，所以函数y在x∈1,3当x=1,y=12，当x=3,y=36，故函数y的值域为12,36.故选：C．【变式4.2】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称为高斯函数．例如：π=3，−5,1=−6，已知函数fx=A．−1,1 B．−1,0 C．1,0 D．−1,0,1【解题思路】利用基本不等式可求得函数fx的值域，由此可求得函数y=【解答过程】当x>0时，0<fx=2x当x<0时，fx=2x此时−1≤fx又因为f0=0，所以，函数fx当−1≤fx<0时，fx=−1；当当fx=1时，综上所述，函数y=fx的值域为故选：D.【题型5已知值域求参数问题】【例5.1】（23-24高一上·湖北黄石·期中）若函数y=ax2+4x+1的值域为0,+∞A．0,4 B．4,+∞ C．0,4 D．【解题思路】当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据fx的值域包含0,+【解答过程】当a=0时，y=4x+1≥0，即值域为若a≠0，设fx=ax2+4x+1，则需fx的值域包含综上所述：a的取值范围为0,4.故选：C.【例5.2】（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数fx=12x2−x+5在m,nA．4 B．5 C．8 D．10【解题思路】首先利用二次函数最值求出m≥98，则得到其单调性，则【解答过程】fx=12x2−x+5则fx在m,n所以fm=4mf所以m，n为方程12即m,n为方程x2−10x+10=0的两个根，所以故选：D.【变式5.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知函数fx=ax+bx2【解题思路】先令y=ax+bx2+1，将该函数整理成关于x的方程，该方程有实数根，所以对应判别式Δ≥0，这样便可求出y的范围，即原函数的值域，又已知函数值域是−1,4，所以让它对应端点相等求出【解答过程】解：令y=ax+bx2+1，并将该函数变成：∴Δ=a2−4y(y−b)=−4∴b−a又函数f(x)的值域为−1,4，∴b−a2+b2∴a=±4，b=3．【变式5.2】（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数fx(1)若fx的定义域为R，求m的取值范围；(2)若fx的值域为0,+∞【解题思路】（1）由定义域为R即可知不等式mx2−8x+m+6≥0对x∈R（2）由fx的值域为0,+∞可知函数y=mx2−8x+m+6【解答过程】（1）因为fx的定义域为R所以mx2−8x+m+6≥0当m=0时，−8x+6≥0不恒成立，不合题意.当m≠0时，由题意可得m>0Δ解得m≥2.综上可知m的取值范固为2,+∞（2）设函数y=mx2−8x+m+6因为fx的值域为0,+∞，所以当m=0时，fx=−8x+6当m≠0时，由题意知m>0Δ=64−4mm+6故m的取值范围为0,2.模块模块三解析式问题1．函数解析式的常见求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).【题型6已知函数类型求解析式】【例6.1】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知f(x)是一次函数，且2f(2)−3f(1)=5，2f(0)−f(−1)=3，则f(x)=（

）A．3x−2 B．3x+2C．92x−1【解题思路】根据题意设函数fx=kx+b(k≠0)，列出方程组，求得【解答过程】由题意，设函数fx因为2f(2)−3f(1)=5，2f(0)−f(−1)=3，所以22k+b−3k+b则k−b=5k+b=3，解得k=4,b=−1所以fx故选：D.【例6.2】（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）设fx为一次函数，且ffx=4x−1．若f3A．fx=2x−11或fxC．fx=2x−11 【解题思路】设fx=kx+b，根据已知条件可得出关于k、b的方程组，解出这两个未知数的值，再结合f3=−5可得出k、【解答过程】设fx=kx+b，其中k≠0，则所以，k2=4kb+b=−1，解得k=−2当k=−2时，fx=−2x+1，此时当k=2时，fx=2x−1综上所述，fx故选：B.【变式6.1】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）（1）若二次函数gx满足g1=1,g（2）已知fx是一次函数，且满足fx+1−2f【解题思路】（1）根据待定系数法即可求解，（2）根据待定系数法即可求解.【解答过程】解：（1）设gx∵g1=1,g−1=5∴gx=3x则,fx+1即−kx+3k−b=2x+3不论x为何值都成立,∴k=−2,3k−b=3,解得【变式6.2】（23-24高一上·全国·课前预习）（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x−1，求f(x)；（2）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)−f(x)=2x，求f(x).【解题思路】（1）设f(x)=ax+b(a≠0)，代入f(f(x))，整理，得恒等式，求出a,b即可；（2）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)【解答过程】（1）设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=因为f(f(x))=4x−1，所以a所以a2=4ab+b=−1解得所以f(x)=2x−13（2）设f(x)=a由f(0)=1，得c=1由f(x+1)−f(x)=2x得a整理，得2ax+a+b=2x所以2a=2a+b=0所以所以f(x)=x【题型7已知f(g(x))求解析式】【例7.1】（23-24高一上·湖北·期中）已知fx+1=x+2，则函数fA．fx=x2 B．C．fx=x2−2x+3（x≥1）【解题思路】令x+1=t（t≥1），采用换元法求函数的解析式.【解答过程】设x+1=t（t≥1），则ft所以fx=x故选：C.【例7.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知fx+1=x+3，则fA．fx+1=x+4x≥0C．fx+1=x【解题思路】令t=x+1,t≥1，利用换元法求出函数ft=t【解答过程】因为fx+1=x+3，所以令t=所以ft=t−1所以fx+1因为t≥1，所以x+1≥1，即x≥0，所以fx+1=x故选：D.【变式7.1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式(1)函数f(x)满足f(x+1)=x2+2x+2(2)函数f(x)满足2f(x)−f(−x)=x2，求函数【解题思路】（1）令t=x+1，用换元法进行求解；（2）用−x替换2f(x)−f(−x)=x2的x，得到2f(−x)−f(x)=x【解答过程】（1）令t=x+1，则x=t−1(t∈R)，又f(x+1)=x所以ft所以函数f(x)的解析式为f(x)=x（2）∵2f(x)−f(−x)=x∴用−x替换上式中的x，得到2f(−x)−f(x)=−x解方程组2f(x)−f(−x)=x22f(−x)−f(x)=【变式7.2】（24-25高一上·全国·课堂例题）（1）已知fx+1=x+2（2）已知fx为二次函数，且fx+1+fx−1=2x2−4x，求fx；【解题思路】（1）利用换元法或配凑法求解即可；（2）利用待定系数法，令fx=ax2+bx+c（3）将已知等式中的x用1x替换，得到另一个式子，与已知等式联立可求出f【解答过程】（1）方法一

（换元法）：令t=x+1，则x=t−1所以ft所以fx的解析式为f方法二

（配凑法）：fx+1=x+2因为x+1≥1所以fx的解析式为f（2）设fx则f=ax+12所以2a=22b=−42a+2c=0，解得所以fx（3）fx令x=1x，得于是得到关于fx与f1x解得fx【题型8求函数值或由函数值求参】【例8.1】（23-24高一上·广西钦州·期末）若函数fx=2x−3，且f2a−1=6，则a等于（

）A．114 B．74【解题思路】将x=2a−1代入函数解析式，解方程即可.【解答过程】由fx=2x−3，令则f2a−1解得a=11故选：A.【例8.2】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，且fx=x3f1A．9 B．10 C．11 D．12【解题思路】由赋值法先得f0=0，再由f1【解答过程】fx+fy+2xy=fx+yfx+fy+2xy=fx+y中令x=1又fx=x3f1xfx+fy+2xy=fx+y再令x=1，y=2，则f3故选：D.【变式8.1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知数fx(1)求函数fx(2)求f−2(3)已知f2a+1=4【解题思路】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案.（2）根据函数的解析式求得正确答案.（3）根据已知条件解方程来求得a.【解答过程】（1）由解析式知：x−1≠0x+3≥0，可得x≥−3且x≠1故定义域为{x|x≥−3或x≠1}，（2）f−2=8（3）由f2a+1=8所以2a+4=9⇒a=52，显然2a+1=6在所以a=5【变式8.2】（23-24高一上·浙江·阶段练习）已知函数fx对∀x,y∈R，都有fx+y+f(1)求证：fx(2)求f2024【解题思路】（1）取x､y都为（2）令x=y=0，分析可得f0=1，进而可求f2=14，令【解答过程】（1）因为fx+y取x､y都为x2（2）令x=y=0，则2f0=2f0−1当f0=12时，令y=0，则2fx所以f0因为f1令x=y=1，则f2+f0令y=1，则fx+1即fx+1即fx+2可得fx+2用x+3代x可得fx+5可得fx+5=fx−1，即fx+6一、单选题1．（23-24高二上·安徽马鞍山·开学考试）已知函数fx的定义域为0,1，则函数fx2A．0,1 B．0,1 C．−1,1 D．−1,0【解题思路】依题意得0<x【解答过程】因为函数fx的定义域为0,1所以0<x2≤1所以函数fx2−f故选：A.2．（23-24高一上·江苏苏州·期中）函数y=1−x+1−2x的值域为（

A．−∞,12 B．0，+∞ 【解题思路】令1−2x=t，t≥0，可得y=【解答过程】令1−2x=t，t≥0，则x=所以函数y=1+t2−1t=0时，y有最小值12所以函数y=1−x+1−2x的值域为1故选：C.3．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【解题思路】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项.【解答过程】对于A中，函数fx=x2的定义域为R，g对于B中，函数fx=x−1的定义域为R，gx所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；对于C中，函数fx=1的定义域为R，与gx所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；对于D中，函数fx=x=x,x≥0可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数,故D正确；故选：D.4．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)−2x]=3，则f(5)=（

）A．11 B．9 C．7 D．5【解题思路】设fx=ax+ba≠0，根据f[f(x)−2x]=3恒成立可得a【解答过程】设fx则f[f(x)−2x]=fax+b−2x整理得a2所以a2−2a=0ab+b−3=0所以fx=2x+1，所以故选：A.5．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是R，则A．0<m≤4 B．0≤m<4 C．m≥4 D．0≤m≤4【解题思路】函数f(x)=mx2+mx+1的定义域是R，等价于不等式mx2+mx+1≥0对任意x∈【解答过程】因为函数f(x)=mx2所以不等式mx2+mx+1≥0当m=0时，1>0，对任意x∈R当m≠0时，m>0Δ≤0，即m>0m综上，实数m的取值范围是0≤m≤4;故选：D.6．（23-24高一上·天津南开·期中）已知fx−1x=xA．fx+1=x+1C．fx+1=x【解题思路】利用配凑法先求出函数fx，再整体代入即可求出函数f【解答过程】因为f所以f所以fx+1=x+1故选：C.7．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）设函数f(x)=12x−1,x≥01x,x<0，若A．−13或−3 B．C．−13或143 【解题思路】根据给定的分段函数，先分类讨论求得f(a)的值，再分类讨论求得a的值，从而得解.【解答过程】设t=f(a)，则f(t)=−1当t<0时，由1t=−13，解得t=−3，当t≥0时，由于是f(a)=−3或f(a)=4当a≥0时，由12a−1=−3或12a−1=43，解得当a<0时，由1a=−3或1a=43，解得所以实数a的值为−13或故选：C.8．（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数fx满足fxy=fx+fy−1，且x,y∈0,+∞，则f【解题思路】通过赋值得f1=1，【解答过程】由题意在fxy=fx+fy−1中令令y=1x，则f1所以f1故选：C.二、多选题9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数f(x)的定义域为R，值域为[−2,3]，则下列函数的值域也为[−2,3]的是（

）A．y=f(x+1) B．y=f(x)+1 C．y=f(−x) D．y=−f(x)【解题思路】结合题意根据复合函数值域及函数图象变换，逐个选项验证可得答案.【解答过程】对于A，y=f(x+1)的图象可看作由fx对于B，由y=fx∈−2,3可得y=fx+1∈对于C，函数y=f(−x)与函数y=fx的图象关于y故函数y=f(−x)的值域与函数y=fx的值域相同，为[−2,3]对于D，由y=fx∈−2,3可得y=−f(x)∈−3,2，即故选：AC.10．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．若fx的定义域为−2,2，则f2x−1B．函数y=x1−xC．函数y=2x+1−x的值域为D．函数fx=x2【解题思路】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.【解答过程】对于A，因为fx的定义域为−2,2，所以−2≤2x−1≤2，解得−12≤x≤3对于B，y=x所以y≠−1，即函数y=x1−x的值域为对于C，令t=1−x，则x=1−t2所以y=21−t2所以当t=14时，该函数取得最大值，最大值为所以函数y=2x+1−x的值域为−对于D，fx=x2−2x+4=x−12所以函数fx=x2−2x+4故选：AC．11．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数f(x)定义域为R，且f(x)=x3f1x（x∈(−A．f(0)=0C．f(x)−f(−x)=x D．f(x)=【解题思路】根据条件，令x=y=0，可得f(0)=0，A正确；再令y=−x，可得f(x)+f−x=x2，据此变形f(x)=【解答过程】对于A，f(x)+fy+xy=f(x+y)中令则f(0对于BCD，再令y=−x，则f(x)+f−x即f(x)+f−x所以f(x)=即f(x)−f(−x)=x(x≠0)②，又因为f(0联立①②，解得f(x)=x2+x故选：AC.三、填空题12．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数f(x)=xax2+x+1的定义域为R，则实数a【解题思路】由f(x)=xax2+x+1的定义域为R【解答过程】由f(x)=xax2+x+1当a=0时，x+1>0，得x>−1，不符合要求，故舍去，当a≠0时，有a>01−4a<0，解得a>综上，a>1故答案为：a>113．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数fx=xax+b（a，b为常数，且a≠0）满足f2=1，方程fx【解题思路】根据f2=1，且方程fx=x的解只有一个，求出【解答过程】因为fx=xax+b，且令fx=xax+b=x，整理可得a若方程fx=x有唯一解，则1−ba=0或又因为f2=2所以fx故答案为：fx14．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=10，且对于任意x∈R都有f(x+20)≥f(x)+20，f(x+1)≤f(x)+1，若g(x)=f(x)−x+2，则g(10)=11【解题思路】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得f10的值，由此求得g【解答过程】在f(x+20)≥f(x)+20中，令x=−10，得f(10)≥f(−10)+20，由f(x+1)≤f(x)+1，得f(10)=f(9+1)≤f(9)+1≤f(8)+2≤⋯≤f(1)+9=19，又f(x)≥f(x+1)−1，f(−10)≥f(−9)−1≥f(−8)−2≥⋯≥f(1)−11=−1，因此f(10)≥f(−10)+20≥−1+20=19，则有19≤f(10)≤19，即f(10)=19，所以g(10)=f(10)−10+2=11.故答案为：11.四、解答题15．（23-24高一上·全国·课后作业）设函数fx的定义域为0,1(1)求函数Fx(2)设a>0，求函数Gx【解题思路】（1）根据题意可得0≤2x−1≤1，从而可得出答案；（2）根据题意可得0≤x+a≤10≤x−a≤1，分a>12，a=【解答过程】（1）解：因为函数fx的定义域为0,1所以0≤2x−1≤1，解得12所以函数Fx=f2x−1（2）解：因为函数fx的定义域为0,1所以0≤x+a≤10≤x−a≤1，即−a≤x≤1−a当a>1−a或1+a<−a，即a>12时，不等式组无解，即函数当a=12时，定义域是当0<a<12，定义域是16．（23-24高一上·安徽宣城·期中）根据下列条件，求fx(1)已知fx满足(2)已知fx是一次函数，且满足3f(3)已知fx满足【解题思路】（1）