新人教版高中数学必修第一册幂函数导学案含答案及解析

第三章函数的概念与性质-PAGE8-§3.3幂函数导学目标：通过具体实例，结合y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝eq\r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.（预习教材P89~P96，回答下列问题）问题一：阅读下列材料，回答问题：（1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数；（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数；（3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；（5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数．以上是我们生活中遇到的几个函数问题，这些函数与我们以前学的函数有什么不同？请用的形式写出上述四个函数的解析式？你能发现这几个函数的解析式有什么共同特点吗？【知识点一】幂函数的概念一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．幂函数的结构要求：（1）底数是自变量,自变量的系数为1；（2）指数为常数;幂的系数为1；（3）解析式等号右边只有1项．自我检测1：判断下列函数哪些是幂函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）问题二：如何利用函数奇偶性作出的图像？为奇函数为偶函数【知识点二】幂函数的图像及性质（1）作出的图像，完成下表函数图象定义域值域奇偶性单调性过定点（2）根据函数图象，试总结：幂函数的性质：（1）所有的幂函数在都有图像，且都过定点；（2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．（3）当时，幂函数的图象在区间上是减函数．（4）在的右侧作一条垂直于轴的直线，与幂函数的交点中，自下到上的值；（3）根据以上信息，我们如何作出幂函数的图像（1）在第一象限内，当时，其图像类似于；当时，其图像类似于；当时，其图像类似于；（2）利用的奇偶性补齐其他象限内的图像；自我检测2：当时，幂函数的图象不可能经过第_______象限．自我检测3：求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．（1）（2）（3）（4）题型一幂函数的概念【例1-1】若函数为幂函数且在第一象限为增函数，则的值为A．1B．－3C．－1D．3【例1-2】已知幂函数的图象经过点，则_____．题型二幂函数的图象【例2】幂函数，，，的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．题型三幂函数的图象及应用【例3-1】比较下列各题中两个幂值的大小．(1)与；(2)与；(3)与．【例3-2】已知幂函数()的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为()A．－3 B．1C．2 D．1或21．下列结论正确的是()A．幂函数图象一定过原点B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数2．设α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，\f(1,2)，－1))，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为()A．－1,3B．－1,1C．1,3D．－1,1,33．在下列四个图形中，的图象大致是()4．函数在[－1,1]上是()A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数5．如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（）A． B． C． D．§3.3幂函数答案导学目标：通过具体实例，结合y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2，y＝eq\r(x)，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.（预习教材P89~P96，回答下列问题）问题一：阅读下列材料，回答问题：（1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数；（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数；（3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数；（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形的边长，这里是的函数；（5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数．以上是我们生活中遇到的几个函数问题，这些函数与我们以前学的函数有什么不同？请用的形式写出上述四个函数的解析式？你能发现这几个函数的解析式有什么共同特点吗？【答案】．【知识点一】幂函数的概念一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数．幂函数的结构要求：（1）底数是自变量,自变量的系数为1；（2）指数为常数;幂的系数为1；（3）解析式等号右边只有1项．自我检测1：判断下列函数哪些是幂函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（2）（3）（5）问题二：如何利用函数奇偶性作出的图像？为奇函数为偶函数【知识点二】幂函数的图像及性质（1）作出的图像，完成下表函数图象定义域值域奇偶性单调性过定点【答案】（2）根据函数图象，试总结：幂函数的性质：（1）所有的幂函数在都有图像，且都过定点；（2）当时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．（3）当时，幂函数的图象在区间上是减函数．（4）在的右侧作一条垂直于轴的直线，与幂函数的交点中，自下到上的值；（3）根据以上信息，我们如何作出幂函数的图像（1）在第一象限内，当时，其图像类似于；当时，其图像类似于；当时，其图像类似于；（2）利用的奇偶性补齐其他象限内的图像；自我检测2：当时，幂函数的图象不可能经过第_______象限．【答案】四自我检测3：求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性．（1）（2）（3）（4）【答案】（1）定义域，偶函数，单调递减，单调递增；（2）定义域为，非奇非偶，单调递减；（3）定义域为，偶函数，单调递增，单调递减；（4）定义域为，非奇非偶，单调递增．题型一幂函数的概念【例1-1】若函数为幂函数且在第一象限为增函数，则的值为A．1B．－3C．－1D．3【例1-2】已知幂函数的图象经过点，则_____．【答案】【例1-1】因为函数y＝(m2＋2m－2)xm为幂函数且在第一象限为增函数，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,m>0，))所以m＝1．【例1-2】设f(x)＝xα，所以eq\f(1,9)＝3α，α＝－2，所以f(4)＝4－2＝eq\f(1,16)．题型二幂函数的图象【例2】幂函数，，，的图象如图，则将m，n，p，q的大小关系用“<”连接起来结果是________．【答案】n<q<m<p题型三幂函数的图象及应用【例3-1】比较下列各题中两个幂值的大小．(1)与；(2)与；(3)与．【答案】(1)函数y＝x1.3在(0，＋∞)上为增函数，又因为3.1>2.9，所以3.11.3>2.91.3．(2)函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，又因为eq\f(1,4)<eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))．而函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且4>3，所以4>3，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).(3)因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))0＝1；而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝1；所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))．【例3-2】已知幂函数()的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则的值为()A．－3 B．1C．2 D．1或2【答案】B幂函数f（x）=（n2+2n﹣2）（n∈Z）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，∴，解得n=1．1．下列结论正确的是()A．幂函数图象一定过原点B．当α<0时，幂函数y＝xα是减函数C．当α>1时，幂函数y＝xα是增函数D．函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数【答案】D2．设α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2，3，\f(1,2)，－1))，则使函数y＝xα的定义域为R且函数y＝xα为奇函数的所有α的值为()A．－1,3B．－1,1C．1,3D．－1,1,3【答案】C3．在下列四