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文档简介
四川省自贡市普高2025届高考适应性考试数学试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,则的虚部是()A. B. C. D.2.已知点(m,8)在幂函数的图象上,设,则()A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.a<c<b3.已知函数,以下结论正确的个数为()①当时,函数的图象的对称中心为;②当时,函数在上为单调递减函数;③若函数在上不单调,则;④当时,在上的最大值为1.A.1 B.2 C.3 D.44.已知点P不在直线l、m上,则“过点P可以作无数个平面,使得直线l、m都与这些平面平行”是“直线l、m互相平行”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95446.已知双曲线的渐近线方程为,且其右焦点为,则双曲线的方程为()A. B. C. D.7.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.8.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.29.设,且,则()A. B. C. D.10.直三棱柱中,,,则直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.11.已知定义在R上的函数(m为实数)为偶函数,记,,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.12.若x,y满足约束条件则z=的取值范围为()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.由于受到网络电商的冲击,某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响,承受了一定的经济损失,现将地区200家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示,估算月经济损失的平均数为,中位数为n,则_________.14.已知定义在的函数满足,且当时,,则的解集为__________________.15.如图,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱,的中点,是侧面正方形内一点(含边界),若平面,则线段长度的取值范围是______.16.(5分)已知,且,则的值是____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的最小正周期是,且当时,取得最大值.(1)求的解析式;(2)作出在上的图象(要列表).18.(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的左顶点为,右焦点为,为椭圆上两点,圆.(1)若轴,且满足直线与圆相切,求圆的方程;(2)若圆的半径为,点满足,求直线被圆截得弦长的最大值.19.(12分)已知函数,其中.(1)讨论函数的零点个数;(2)求证:.20.(12分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.(1)求的值;(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.(12分)已知是抛物线的焦点,点在轴上,为坐标原点,且满足,经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点,且.(1)求抛物线的方程;(2)直线与抛物线交于、两点,若,求点到直线的最大距离.22.(10分)已知x∈R,设,,记函数.(1)求函数取最小值时x的取值范围;(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
通过复数的乘除运算法则化简求解复数为:的形式,即可得到复数的虚部.【详解】由题可知,所以的虚部是1.故选:D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的基本概念,属于基础题.2、B【解析】
先利用幂函数的定义求出m的值,得到幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,再利用幂函数f(x)的单调性,即可得到a,b,c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知,m﹣1=1,∴m=2,∴点(2,8)在幂函数f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴幂函数解析式为f(x)=x3,在R上单调递增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故选:B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质,以及利用函数的单调性比较函数值大小,属于中档题.3、C【解析】
逐一分析选项,①根据函数的对称中心判断;②利用导数判断函数的单调性;③先求函数的导数,若满足条件,则极值点必在区间;④利用导数求函数在给定区间的最值.【详解】①为奇函数,其图象的对称中心为原点,根据平移知识,函数的图象的对称中心为,正确.②由题意知.因为当时,,又,所以在上恒成立,所以函数在上为单调递减函数,正确.③由题意知,当时,,此时在上为增函数,不合题意,故.令,解得.因为在上不单调,所以在上有解,需,解得,正确.④令,得.根据函数的单调性,在上的最大值只可能为或.因为,,所以最大值为64,结论错误.故选:C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值,意在考查基本的判断方法,属于基础题型.4、C【解析】
根据直线和平面平行的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】点不在直线、上,若直线、互相平行,则过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,即必要性成立,若过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行,则直线、互相平行成立,反证法证明如下:若直线、互相不平行,则,异面或相交,则过点只能作一个平面同时和两条直线平行,则与条件矛盾,即充分性成立则“过点可以作无数个平面,使得直线、都与这些平面平行”是“直线、互相平行”的充要条件,故选:.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合空间直线和平面平行的性质是解决本题的关键.5、C【解析】
根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.6、B【解析】试题分析:由题意得,,所以,,所求双曲线方程为.考点:双曲线方程.7、C【解析】
先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.8、B【解析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件,表示的可行域,如图,由可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最大,最大值为,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.9、C【解析】
将等式变形后,利用二次根式的性质判断出,即可求出的范围.【详解】即故选:C【点睛】此题考查解三角函数方程,恒等变化后根据的关系即可求解,属于简单题目.10、A【解析】
设,延长至,使得,连,可证,得到(或补角)为所求的角,分别求出,解即可.【详解】设,延长至,使得,连,在直三棱柱中,,,四边形为平行四边形,,(或补角)为直线与所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成的角,要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可,属于中档题.11、B【解析】
根据f(x)为偶函数便可求出m=0,从而f(x)=﹣1,根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解:∵f(x)为偶函数;∴f(﹣x)=f(x);∴﹣1=﹣1;∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|;(﹣x﹣m)2=(x﹣m)2;∴mx=0;∴m=0;∴f(x)=﹣1;∴f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(||)=f(),b=f(),c=f(2);∵0<<2<;∴a<c<b.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,指数函数的单调性,对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0,+∞)上,根据单调性去比较函数值大小.12、D【解析】
由题意作出可行域,转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图,目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,由图可知,直线的斜率最小,直线的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故选:D.【点睛】本题考查了非线性规划的应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、360【解析】
先计算第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,,面积和超过0.5,所以中位数在第二块求解,然后再求得平均数作差即可.【详解】第一块小矩形的面积,第二块小矩形的面积,故;而,故.故答案为:360.【点睛】本题考查频率分布直方图、样本的数字特征,考查运算求解能力以及数形结合思想,属于基础题.14、【解析】
由已知得出函数是偶函数,再得出函数的单调性,得出所解不等式的等价的不等式,可得解集.【详解】因为定义在的函数满足,所以函数是偶函数,又当时,,得时,,所以函数在上单调递减,所以函数在上单调递减,函数在上单调递增,所以不等式等价于,即或,解得或,所以不等式的解集为:.故答案为:.【点睛】本题考查抽象函数的不等式的求解,关键得出函数的奇偶性,单调性,属于中档题.15、【解析】
取中点,连结,,推导出平面平面,从而点在线段上运动,作于,由,能求出线段长度的取值范围.【详解】取中点,连结,,在棱长为2的正方体中,点、分别是棱、的中点,,,,,平面平面,是侧面正方形内一点(含边界),平面,点在线段上运动,在等腰△中,,,作于,由等面积法解得:,,线段长度的取值范围是,.故答案为:,.【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.16、【解析】
由于,且,则,得,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)根据函数的最小正周期可求出的值,由该函数的最大值可得出的值,再由,结合的取值范围可求得的值,由此可得出函数的解析式;(2)由计算出的取值范围,据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.【详解】(1)因为函数的最小正周期是,所以.又因为当时,函数取得最大值,所以,同时,得,因为,所以,所以;(2)因为,所以,列表如下:描点、连线得图象:【点睛】本题考查正弦函数解析式的求解,同时也考查了利用五点作图法作图,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.18、(1)(2)【解析】试题分析:(1)确定圆的方程,就是确定半径的值,因为直线与圆相切,所以先确定直线方程,即确定点坐标:因为轴,所以,根据对称性,可取,则直线的方程为,根据圆心到切线距离等于半径得(2)根据垂径定理,求直线被圆截得弦长的最大值,就是求圆心到直线的距离的最小值.设直线的方程为,则圆心到直线的距离,利用得,化简得,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达定理得,因此,当时,取最小值,取最大值为.试题解析:解:(1)因为椭圆的方程为,所以,.因为轴,所以,而直线与圆相切,根据对称性,可取,则直线的方程为,即.由圆与直线相切,得,所以圆的方程为.(2)易知,圆的方程为.①当轴时,,所以,此时得直线被圆截得的弦长为.②当与轴不垂直时,设直线的方程为,,首先由,得,即,所以(*).联立,消去,得,将代入(*)式,得.由于圆心到直线的距离为,所以直线被圆截得的弦长为,故当时,有最大值为.综上,因为,所以直线被圆截得的弦长的最大值为.考点:直线与圆位置关系19、(1)时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)见解析【解析】
(1)利用的导函数,求得的最大值的表达式,对进行分类讨论,由此判断出的零点的个数.(2)由,得到和,构造函数,利用导数证得,即有,从而证得,即.【详解】(1),∴当时,,当时,在上递增,在上递减,.令在上递减,在上递增,,当且仅当时取等号.①时,有一个零点;②时,,此时有两个零点;③时,,令在上递增,,此时有两个零点;综上:时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)由(1)可知:,令在上递增,.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.20、(1),,.(2)填表见解析;在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关(3)详见解析【解析】
(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列,即可得解;(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表,再用的计算公式运算即可;(3)获奖的概率为,随机变量,再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图可知,,因为构成以2为公比的等比数列,所以,解得,所以,.故,,.(2)获奖的人数为人,因为参考的文科生与理科生人数之比为,所以400人中文科生的数量为,理科生的数量为.由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有人,不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下:文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学
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