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文档简介
江苏省苏州市陆慕高级中学2025届高三第一次调研测试数学试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知变量的几组取值如下表:12347若与线性相关,且,则实数()A. B. C. D.2.双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.3.若函数恰有3个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.5.已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,是直线与抛物线的一个交点,若,则()A. B.3 C. D.26.网络是一种先进的高频传输技术,我国的技术发展迅速,已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手机,现调查得到该款手机上市时间和市场占有率(单位:%)的几组相关对应数据.如图所示的折线图中,横轴1代表2019年8月,2代表2019年9月……,5代表2019年12月,根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预测该款手机市场占有率的变化趋势,则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%(精确到月)()A.2020年6月 B.2020年7月 C.2020年8月 D.2020年9月7.设双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.B.C.D.8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了六天恰好到达目的地,请问第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里9.设,是方程的两个不等实数根,记().下列两个命题()①数列的任意一项都是正整数;②数列存在某一项是5的倍数.A.①正确,②错误 B.①错误,②正确C.①②都正确 D.①②都错误10.函数的部分图象大致是()A. B.C. D.11.己知抛物线的焦点为,准线为,点分别在抛物线上,且,直线交于点,,垂足为,若的面积为,则到的距离为()A. B. C.8 D.612.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为.14.已知正项等比数列中,,则__________.15.若实数,满足,则的最小值为__________.16.平面向量与的夹角为,,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线为,是上的两个动点,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)证明:当取最小值时,与共线.18.(12分)已知椭圆:(),点是的左顶点,点为上一点,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与的另一个交点为(异于点),是否存在直线,使得以为直径的圆经过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.19.(12分)已知函数,函数.(Ⅰ)判断函数的单调性;(Ⅱ)若时,对任意,不等式恒成立,求实数的最小值.20.(12分)已知曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;(2)已知点,直线与曲线交于、两点,求.21.(12分)已知函数有两个零点.(1)求的取值范围;(2)是否存在实数,对于符合题意的任意,当时均有?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项.(1)求证:数列为等差数列;(2)设,求的前100项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
求出,把坐标代入方程可求得.【详解】据题意,得,所以,所以.故选:B.【点睛】本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值.2、C【解析】
根据双曲线的标准方程,即可写出渐近线方程.【详解】双曲线,双曲线的渐近线方程为,故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,属于容易题.3、B【解析】
求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为,令,则或,上单调递减,上单调递增,所以0或是函数y的极值点,函数的极值为:,函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数,来确定参数的取值范围的问题,在解题的过程中,注意应用导数研究函数图象的走向,利用数形结合思想,转化为函数图象间交点个数的问题,难度不大.4、A【解析】
阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.5、D【解析】
根据抛物线的定义求得,由此求得的长.【详解】过作,垂足为,设与轴的交点为.根据抛物线的定义可知.由于,所以,所以,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查数形结合的数学思想方法,属于基础题.6、C【解析】
根据图形,计算出,然后解不等式即可.【详解】解:,点在直线上,令因为横轴1代表2019年8月,所以横轴13代表2020年8月,故选:C【点睛】考查如何确定线性回归直线中的系数以及线性回归方程的实际应用,基础题.7、A【解析】
由题意,根据双曲线的对称性知在轴上,设,则由得:,因为到直线的距离小于,所以,即,所以双曲线渐近线斜率,故选A.8、B【解析】
人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,计算,代入得到答案.【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列,设此人第一天走的路程为,则,解得,从而可得,故.故选:.【点睛】本题考查了等比数列的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.9、A【解析】
利用韦达定理可得,,结合可推出,再计算出,,从而推出①正确;再利用递推公式依次计算数列中的各项,以此判断②的正误.【详解】因为,是方程的两个不等实数根,所以,,因为,所以,即当时,数列中的任一项都等于其前两项之和,又,,所以,,,以此类推,即可知数列的任意一项都是正整数,故①正确;若数列存在某一项是5的倍数,则此项个位数字应当为0或5,由,,依次计算可知,数列中各项的个位数字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2为周期,故数列中不存在个位数字为0或5的项,故②错误;故选:A.【点睛】本题主要考查数列递推公式的推导,考查数列性质的应用,考查学生的综合分析以及计算能力.10、C【解析】
判断函数的性质,和特殊值的正负,以及值域,逐一排除选项.【详解】,函数是奇函数,排除,时,,时,,排除,当时,,时,,排除,符合条件,故选C.【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象,属于基础题型,一般根据选项判断函数的奇偶性,零点,特殊值的正负,以及单调性,极值点等排除选项.11、D【解析】
作,垂足为,过点N作,垂足为G,设,则,结合图形可得,,从而可求出,进而可求得,,由的面积即可求出,再结合为线段的中点,即可求出到的距离.【详解】如图所示,作,垂足为,设,由,得,则,.过点N作,垂足为G,则,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因为,所以为线段的中点,所以F到l的距离为.故选:D【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识,属于中档题.12、A【解析】
观察可知,这个几何体由两部分构成,:一个半圆柱体,底面圆的半径为1,高为2;一个半球体,半径为1,按公式计算可得体积。【详解】设半圆柱体体积为,半球体体积为,由题得几何体体积为,故选A。【点睛】本题通过三视图考察空间识图的能力,属于基础题。二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】.14、【解析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商,可得,再利用等比数列的性质可得,再利用等比数列的通项公式即可求解.【详解】由,所以,解得.,所以,所以.故答案为:【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项,需熟记公式,属于基础题.15、【解析】
由约束条件先画出可行域,然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域,如图所示,由,即,当平行线经过点时取到最小值,由可得,此时,所以的最小值为.故答案为.【点睛】本题考查了线性规划的知识,解题的一般步骤为先画出可行域,然后改写目标函数,结合图形求出最值,需要掌握解题方法.16、【解析】
由平面向量模的计算公式,直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为,所以,所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算,只需先求出向量的数量积,进而即可求出结果,属于基础题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)(Ⅱ)证明见解析.【解析】由与,得,,的方程为.设,则,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),当且仅当或时,取最小值,此时,,故与共线.18、(1);(2)存在,【解析】
(1)把点代入椭圆C的方程,再结合离心率,可得a,b,c的关系,可得椭圆的方程;(2)设出直线的方程,代入椭圆,运用韦达定理可求得点的坐标,再由,可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点.【详解】(1)由题可得∴,所以椭圆的方程(2)由题知,设,直线的斜率存在设为,则与椭圆联立得,,∴,,∴若以为直径的圆经过点,则,∴,化简得,∴,解得或因为与不重合,所以舍.所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查了向量的数量积的运用,属于中档题.19、(1)故函数在上单调递增,在上单调递减;(2).【解析】试题分析:(Ⅰ)根据题意得到的解析式和定义域,求导后根据导函数的符号判断单调性.(Ⅱ)分析题意可得对任意,恒成立,构造函数,则有对任意,恒成立,然后通过求函数的最值可得所求.试题解析:(I)由题意得,,∴.当时,,函数在上单调递增;当时,令,解得;令,解得.故函数在上单调递增,在上单调递减.综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数在上单调递增,在上单调递减.(II)由题意知.,当时,函数单调递增.不妨设,又函数单调递减,所以原问题等价于:当时,对任意,不等式恒成立,即对任意,恒成立.记,由题意得在上单调递减.所以对任意,恒成立.令,,则在上恒成立.故,而在上单调递增,所以函数在上的最大值为.由,解得.故实数的最小值为.20、(1).(2)【解析】
(1)根据极坐标与直角坐标互化公式,以及消去参数,即可求解;(2)设两点对应的参数分别为,,将直线的参数方程代入曲线方程,结合根与系数的关系,即可求解.【详解】(1)对于曲线的极坐标方程为,可得,又由,可得,即,所以曲线的普通方程为.由直线的参数方程为(为参数),消去参数可得,即直线的方程为,即.(2)设两点对应的参数分别为,,将直线的参数方程(为参数)代入曲线中,可得.化简得:,则.所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程,极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及直线的参数方程的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.21、(1);(2).【解析】
(1)对求导,对参数进行分类讨论,根据函数单调性即可求得.(2)先根据,得,再根据零点解得,转化不等式得,令,化简得,因此,,最后根据导数研究对应函数单调性,确定对应函数最值,即得取值集合.【详解】(1),当时,对恒成立,与题意不符,当,,∴时,即函数在单调递增,在单调递减,∵和时均有,∴,解得:,综上可知:的取值范围;(2)由(1)可知,则,由的任意性及知,,且,∴,故,又∵,令,则,且恒成立,令,而,∴时,时,∴,令,若,则时,,即函数在单调递减,∴,与不符;若,则时,,即函数在单调递减,∴,与式不符;若,解得,此时恒成立,,即函数在单调递增,又,∴时,;时,符合式,综上,存在唯一实数符合题意.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,
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