2025届苏教版高三最后一模数学试题含解析

2025届苏教版高三最后一模数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．向量，，且，则（）A． B． C． D．2．在中，，，，则边上的高为（）A． B．2 C． D．3．已知等差数列满足，公差，且成等比数列，则A．1 B．2 C．3 D．44．已知函数，则（）A． B．1 C．-1 D．05．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：①是奇函数时，是奇函数；②是偶函数时，是奇函数；③是偶函数时，是偶函数；④是奇函数时，是偶函数⑤是偶函数；⑥对任意的实数，．那么正确论断的编号是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤6．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，则满足M∪X＝N的集合X的个数为()A．1 B．2C．3 D．47．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A．月收入的极差为60 B．7月份的利润最大C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．这一年的总利润超过400万元8．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．9．已知定点都在平面内，定点是内异于的动点，且，那么动点在平面内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点 B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点 D．抛物线，但要去掉两个点10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．11．数列满足，且，，则（）A． B．9 C． D．712．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________．14．正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心，另外三个顶点圆柱下底面的圆周上，记正四面体的体积为，圆柱的体积为，则的值是______.15．若函数（）的图象与直线相切，则______.16．设全集，集合，，则集合______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列和满足，，，，.（Ⅰ）求与；（Ⅱ）记数列的前项和为，且，若对，恒成立，求正整数的值.18．（12分）已知在平面四边形中，的面积为.（1）求的长；（2）已知，为锐角，求.19．（12分）新高考，取消文理科，实行“”，成绩由语文、数学、外语统一高考成绩和自主选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成.为了解各年龄层对新高考的了解情况，随机调查50人（把年龄在称为中青年，年龄在称为中老年），并把调查结果制成下表：年龄（岁）频数515101055了解4126521（1）分别估计中青年和中老年对新高考了解的概率；（2）请根据上表完成下面列联表，是否有95%的把握判断对新高考的了解与年龄（中青年、中老年）有关？了解新高考不了解新高考总计中青年中老年总计附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（3）若从年龄在的被调查者中随机选取3人进行调查，记选中的3人中了解新高考的人数为，求的分布列以及.20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2（1）求椭圆C的方程；（2）假设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连接OM并延长交椭圆C于N，并且ON=62OM，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且21．（12分）设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围．22．（10分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据向量平行的坐标运算以及诱导公式，即可得出答案.【详解】故选：D【点睛】本题主要考查了由向量平行求参数以及诱导公式的应用，属于中档题.2、C【解析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.【详解】过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.3、D【解析】

先用公差表示出，结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列，所以，解得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题，化归基本量，寻求等量关系是求解的关键.4、A【解析】

由函数，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意函数，则，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中根据分段函数的解析式，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5、A【解析】

根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数，则，所以，所以是偶函数；当是奇函数时，则，所以，所以是偶函数；当为非奇非偶函数时，例如：，则，，此时，故⑥错误；故③④正确.故选：A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.6、D【解析】可以是共4个，选D.7、D【解析】

直接根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由图可知月收入的极差为，故选项A正确；1至12月份的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，7月份的利润最高，故选项B正确；易求得总利润为380万元，众数为30，中位数为30，故选项C正确，选项D错误.故选：.【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力和应用能力.8、D【解析】

因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线可解得．【详解】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线方程得：，即，由得．故选：．【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．9、A【解析】

根据题意可得,即知C在以AB为直径的圆上.【详解】,，,又，,平面,又平面，故在以为直径的圆上，又是内异于的动点，所以的轨迹是圆，但要去掉两个点A,B故选：A【点睛】本题主要考查了线面垂直、线线垂直的判定，圆的性质，轨迹问题，属于中档题.10、A【解析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．11、A【解析】

先由题意可得数列为等差数列，再根据，，可求出公差，即可求出．【详解】数列满足，则数列为等差数列，，，，，，，故选：．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．12、B【解析】

还原几何体可知原几何体为半个圆柱和一个四棱锥组成的组合体，分别求解两个部分的体积，加和得到结果.【详解】由三视图还原可知，原几何体下半部分为半个圆柱，上半部分为一个四棱锥半个圆柱体积为：四棱锥体积为：原几何体体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查三视图的还原、组合体体积的求解问题，关键在于能够准确还原几何体，从而分别求解各部分的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、0或6【解析】

计算得到圆心，半径，根据得到，利用圆心到直线的距离公式解得答案.【详解】，即，圆心，半径.，故圆心到直线的距离为，即，故或.故答案为：或.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力。14、【解析】

设正四面体的棱长为，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解．【详解】解：设正四面体的棱长为，则底面积为，底面外接圆的半径为，高为．∴正四面体的体积，圆柱的体积．则．故答案为：．【点睛】本题主要考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，属于中档题．15、2【解析】

设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设，因为，所以，即，又，.所以，即，.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.16、【解析】

分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.【详解】由题可知，集合A中集合B的补集，则故答案为：【点睛】本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）,；（Ⅱ）1【解析】

（Ⅰ）易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公式即可.（Ⅱ）由题可知要求的最小值,再分析的正负即可得随的增大而增大再判定可知即可.【详解】（Ⅰ）因为,故是以为首项,2为公比的等比数列,故.又当时,,解得.当时,…①…②①-②有,即.当时也满足.故为常数列,所以.即.故,（Ⅱ）因为对,恒成立.故只需求的最小值即可.设,则,又,又当时,时.当时,因为.故.综上可知.故随着的增大而增大,故,故【点睛】本题主要考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,同时也考查了根据数列的增减性判断最值的问题,需要根据题意求解的通项,并根据二项式定理分析其正负,从而得到最小项.属于难题.18、（1）；（2）4.【解析】

（1）利用三角形的面积公式求得，利用余弦定理求得.（2）利用余弦定理求得，由此求得，进而求得，利用同角三角函数的基本关系式求得.【详解】（1）在中，由面积公式：在中，由余弦定理可得：（2）在中，由余弦定理可得：在中，由正弦定理可得:，为锐角.【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于中档题.19、（1）；（2）见解析，有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联；（3）分布列见解析，.【解析】

（1）分别求出中青年、中老年对高考了解的频数，即可求出概率；（2）根据数据列出列联表，求出的观测值，对照表格，即可得出结论；（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，可能取值为0，1，2，分别求出概率，列出随机变量分布列，根据期望公式即可求解.【详解】（1）由题中数据可知，中青年对新高考了解的概率，中老年对新高考了解的概率.（2）列联表如图所示了解新高考不了解新高考总计中青年22830老年81220总计302050，所以有95%的把握判断了解新高考与年龄（中青年、中老年）有关联.（3）年龄在的被调查者共5人，其中了解新高考的有2人，则抽取的3人中了解新高考的人数可能取值为0，1，2，则；；.所以的分布列为012.【点睛】本题考查概率、独立性检验及随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.20、（1）x22+y2【解析】

（1）根据椭圆的几何性质可得到a2，b2；（2）联立直线和椭圆，利用弦长公式可求得弦长AB，利用点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，从而可求得三角形面积，再用单调性求最值可得值域．【详解】（1）因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a=2又由右准线方程为x=2，得到a2解得a=2,c=1，所以所以，椭圆C的方程为x2（2）①设B(x1,y1∵ON=6因为点B,N都在椭圆上，所以x122+y12所以OB=x②由原点O到直线l的距离为1，得|m|1+k2联立直线l的方程与椭圆C的方程：y=kx+mx2设A(x1,y1OA=(1+k2)所以k△OAB的面积S==1因为S=2λ(1-λ)在[并且当λ=45时，S=225所以△OAB的面积S的范围为[10【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．21、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式的解集即可；(Ⅱ)不等式的