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二重积分的应用一、求平面图形的面积二、求空间立体的体积三、求平面薄片的质量由二重积分的几何解释可以知道：以曲面z=f(x,y)为顶，以D为底的直曲顶柱体的体积为：特别当f(x,y)=1时，平面D的面积为：

由二重积分的物理解释可以知道，密度为f(x,y)的平面薄板D的质量为：

一、平面图形的面积

例1

求由抛物线x=y2和直线x–y=2所围成图形的面积.解记其面积为S，则先对x积分后对y积分作平行于x轴的直线与y轴相交，沿x轴正方向看，入口曲线为x=y2，出口曲线为x=2+y.因此区域D在y轴上的投影区间为[–1,2].故

二、求空间立体的体积由二重积分的几何意义，若在D上连续，则以D为底，以

为顶的曲顶柱体的体积为例2

设平面x=1，x=–1，y=1和y=–1围成的柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截，求截下部分立体的体积.解由于所截得的形体是一个曲顶直柱体，其曲顶为z=3–x–y，而其底因此，由二重积分的几何应用得到例3

设平面薄片D是由x+y=2，y=x和x轴所围成的区域，它的密度，求该薄片的质量.解平面薄片D先解方程组得两曲线的交点为(1,1)，D可用不等式表示为

三、求平面薄片的质量例4

设平面薄片D为介于圆之外，而在圆内的区域，且D内点(x,y)处的密度,求该平面薄片质量.解平面薄片D.极点在区域D的边界上.区域D为极坐标系下的不等式表达式为注意到，则例5

设平面薄片所占Oxy平面上的区域D为，面密度为

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