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高等数学（第二版）建模和最优化微分中值定理及导数的应用例1（油罐的设计）一容积为300立方米的带盖直圆柱油罐，怎样设计才能使所用材料最省？分析：显然，要所用材料最省，就是要使直圆柱油罐表面积最小。由于直圆柱油罐的容积已为定数300立方米，所以若半径一确定，则高也随之而定。建立模型：由已知，所以，因此取为自变量，总表面积为求解：我们的目标是求使的值最小的。因为对，可微，因此只能在一阶导数为零的值处取到最小值令，即得，求解得为函数在内的唯一驻点，因而就是最小值点。再有，将代入上式得解释：所用材料最省的容量为300立方米的直圆柱油罐的高等于其直径。即例2某工厂准备年计划生产某商品4000套，平均分成若干批生产，已知每批生产准备费为100元，每套产品库存费为5元，如果产品均匀投放市场（上一批用完后立即生产下一批，因此库存量为批量的一半），试问每批生产多少套产品才能使生产准备费与库存费之和为最小？建立模型：设每批生产套，总费用为元。由已知年生产批数为，生产准备费为，库存费为所以识别临界点：因为令，得又因为，当时，。所以，当时，取极小值，亦即最小值。解释：每批生产400套产品时，生产准备费与库存费之和最小。例3（内接矩形）一个矩形内接于一个半径为2的半圆。矩形可以达到的最大面积为多少，矩形的尺寸是什么？建立模型：设是把半圆和矩形放在坐标平面上得到的矩形的角点的坐标。于是矩形的长、高和面积可以用矩形右下角点的位置表出：长：，高：，面积：。注意的值位于区间中，这是从我们所选的矩形的角点的位置求得的。现在，我们的数学目标就是求连续函数在定义域[0，2]上的绝对最大值。识别临界点和端点：在处没有定义，而且得当时。两个零点和中只有是A的定义域的内点，从而是一临界点。A在端点以及一个临界点处的值为在临界点值：在

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