高等数学（第二版）课件：三重积分

高等数学（第二版）一、三重积分的概念二、三重积分的计算三重积分重积分一、三重积分的概念定义

设

是定义在空间有界闭区域

上的有界函数。将闭区域

作任意分割，分割成n个小闭区域

，其中

既表示第i个小闭区域，也表示它的体积。在

上任取一点

，作乘积

，并作和

。如果当各小闭区域直径中最大值

趋向于零时，该和式的极限总存在，则称此极限值为函数

在闭区域

上的三重积分。记作

，即其中

称作体积元素。在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的平面划分

，那么除了包含

的边界点的一些不规则小闭区域外，得到的小闭区域

是长方体，其边长分别为

及

，则

，因此在直角坐标系中，有时也把体积元素

记作

，而把三重积分记作其中

称作直角坐标系中体积元素。连续函数

在闭区域

上的三重积分必存在。以后我们总假定函数

在闭区域上是连续的。类似地,我们可以将三重积分推广到n重积分。对于空间物体的质量，如果它的密度函数为

，该物体所占空间为闭区域

，则物体的质量可表示为二、三重积分的计算1．直角坐标计算三重积分(1)设区域

由许多小柱体组合而成。假定平行于z轴且穿过闭区域

内部的直线与闭区域

的边界曲面相交不多于两点(当

不满足这一条件时,可将

分成若干个满足条件的区域之和,利用区域可加性进行处理)。把闭区域

投影到xOy平面上，得一平面闭区域

。过

内的任一点(x,y)作平行于z轴的直线自上向下地穿透

。设穿入

内时的竖坐标为

，穿出

外时的竖坐标为

，且

与

皆为连续函数。此时积分区域

可表示为如果投影区域

为垂直型，则于是空间闭区域

可表示为可得三重积分的计算公式为若把投影区域

为水平型区域，则三重积分可表示为解

作闭区域如图所示,将

投影到xOy面上，得投影区域例1

计算,其中

由平面

及三坐标面所围区域。在

内任取一点作平行于

轴的直线，该直线在平面

处穿入

内，又在平面

处穿出

外。于是例2

计算,其中

由平面

及三坐标面所围区域。解

由于函数

及积分区域

关于自变量均为对称，所以于是在

中任取一点作平行于

轴的直线，该直线由锥面

穿入

内，又由平面

穿出

外。于是解

积分区域

如图，

在xOy面上的投影可表示为例3

计算三重积分

其中

由锥面

及平面

所围。这一在

上的二重积分可以考虑用极坐标计算，由于故(2)设区域由平面薄片叠加而成。于是，三重积分化为如果区域

由垂直于

轴的平面闭区域

与高度为

的立体叠加而成,由

叠加至

，则例4

计算三重积分

其中

是由椭球面

所围成的空间闭区域。解

空间闭区域

可表示为如图所示，则可得其中

为垂直于

轴的平面截

所得的平面截面区域。它是椭圆盘

其面积为

因此2．柱面坐标下计算三重积分当空间闭区域

在坐标面上的投影为由圆弧与直线所围成的区域，被积函数为

等形式时，常常用柱面坐标计算。设

为空间内一点,并设点

在

面上的投影

的极坐标为

则这样的三个数

、

、

就叫做点

的柱面坐标，并规定

、

、

的变化范围为：三组坐标面分别为显然，点

的直角坐标与柱面坐标的关系为

常数,即以轴为中心轴的圆柱面；常数,即过轴的半平面；常数,即与面平行的平面。现在要把三重积分

化为柱面坐标下的三重积分.为此,我们用上述三组坐标面将

分割成许多小区域,除了含

的边界外,这种小闭区域都是柱体。现在考虑

、

、

各取微小增量

、

、

时所成的柱体体积。在不计高阶无穷小时，该体积可近似地看作边长分别为

、

、

的长方体体积。故可得柱面坐标中的体积元素为解

球面与抛物面的交线为

因此，闭区域

在

面上的投影为圆形闭区域例5

计算三重积分

，其中

为由球面

与抛物面

所围成的闭区域。在

内过任意点做平行于z轴的直线，此直线由

穿入

内，然后由

穿出

外，因此

可表示为于是例6

计算累次积分

。解

这一累次积分可看作是由函数

在积分区域上的三重积分转化而来，如图所示。因为区域

在

面上的投影区域是圆域，所以取柱面坐标计算。区域

在柱面坐标系下可表示为于是3．球面坐标下计算三重积分设

为空间一点，则点M也可用三个有序数

来确定。其中

为原点O与M间的距离，

为有向线段

与z轴正向的夹角，

为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段

的夹角，这里P为点M在

面上的投影见。这样的三个数

叫做点M的球面坐标，这里

的变化范围为三组坐标面分别为常数，即以原点为中心的球面；常数，即以原点为顶点，z轴为轴的圆锥面；常数，即过z轴的半平面。设点M在

面上的投影为P，点P在x轴上的投影为A，则OA=，AP=，PM=则点M的直角坐标与球面坐标之间的关系为又用球面坐标的坐标平面分割积分区域

为n个小闭区域。考虑由

、

、

各取微小增量

所成的六面体的体积。不计高阶无穷小时，可把这六面体近似地看成长方体。其三边边长分别为

于是得球面坐标系中的体积元素为若积分区域

是球面、锥面、平面所组成，则常常可以用球面坐标来计算三重积分。例7求半径为a的球面与半顶角为的锥面所围成的立体体积。解

设球面过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，则球面方程为

，锥面方程

。所以

在球面坐标系下为所以

解