高等数学（第二版）课件：空间解析几何

高等数学（第二版）一、笛卡儿坐标系二、空间中的向量第一节空间中的笛卡儿（直角）坐标向量空间解析几何三、向量的长度与方向四、距离和中点一、笛卡儿坐标系

我们用如图所示的三个互相垂直的轴来确定空间中的点位置。图中所示的轴组成一个右手坐标系。通过你如此握住右手，即大拇指以外的手指从

轴向

轴弯曲，那么大拇指指向为

轴正方向。

空间中的点

的笛卡儿坐标

是过点

垂直于坐标轴的平面与该轴的交点在该轴上的坐标。由于定义的这种坐标的轴相互以直角相交，因此笛卡儿坐标也称为直角坐标。ⅦO

x

y

Ⅰ

Ⅳ

Ⅴ

Ⅵ

Ⅷ

Ⅱ

Ⅲ

z

由坐标轴

轴和

轴构成的平面为

平面，它的标准方程是

；

平面，它的标准方程为

；

平面，它的标准方程为

。三个坐标平面的的交点为原点

。且三个坐标平面将空间分成了八个部分，依次称为第一至第八卦限。例1.给出下列方程和不等式的几何解释：在

平面内和其上方的点组成的空间。垂直于

轴并且在

与

轴相交且与平面平行的平面。

平面上的第二象限。第一卦限。平面

和

之间的板形区域（包含平面）。平面

和

的交线。二、空间中的向量若

是一个起点在点

，终点在

的向量，则

的分量形式是

。跟平面情形一样，这也是点

的位置向量。从起点

到终点

的向量为

。用从原点到点

，

，

的有向线段表示的向量为标准单位向量，用

，和

表示。于是从原点到任意一点

的位置向量就可以写成：这样，向量

可以表示成我们把这作为空间向量的主要记号。空间中向量的运算法则：加、减法数量乘法设

和

是向量，

是实数，三、向量的长度与方向从三角形ABC得

再从三角形ACD得定义（1）空间向量

的长度为：（3）单位向量

是长度为1的向量。标准单位向量的长度是（2）空间中的零向量是：

。与平面上一样，

的长度为零而且无方向。若

，则

是与

同方向的单位向量。等式

把

表示成它的长度

和方向

的乘积。例2求与从

到

的向量同方向的单位向量

。故：解：只要用

的长度除它即可：解：速率是速度向量的大小，于是有例3．把一个质点的速度向量

表示成它的速度和方向的乘积。例4．一个6牛顿的力F作用在向量

的方向上。把F表示成它的长度和方向的乘积。解：

力向量是四、距离和中点空间中点

到点

的距离为

的长度。即：一个点

在中心为

、半径为

的球面上，那么

。即半径为

中心为

的标准球面方程为：中点连接

和

的线段的中点M是点例5．求下列球面的中心和半径：解：用求圆周的中心和半径的办法求球面的中心和半径：对含

和

的项进行必要的配方，并把每个二次函数写成线性表达式的平方。然后从标准形式的方程求得中心和半径。故中心是

，半径是

。

例6.已知和的，求线段的中点。代入中点坐标公式解：一、数量积二、垂直（正交）向量和投影第二节空间向量的数量积、向量积、混合积空间解析几何三、向量积四、混合积一、数量积当把空间中两个非零向量

和

的起始点重合在一起时，它们形成一个大小为

的夹角。空间中两个向量的数量积（或内积，点积）可以用定义平面向量数量积的同样方式定义。定义

设

和

是空间中的两个非零向量，

和

的数量积（点积、内积）为，其中

是

和

之间的夹角。1.数量积的定义空间中的两个非零向量

和

的数量积的计算：设

，

，则

把数量积定义中的

解出来，就得到求空间中的两个给定向量之间夹角的公式。空间中的两个非零向量

和

之间的夹角为例1.求

和

之间的夹角。解：2.数量积的性质若

和

是任意向量，而

是数，则（1）（2）（3）（4）（5）二、垂直（正交）向量和投影与平面向量的情形一样，两个非零向量

和

是垂直的或正交的，当且仅当

在一个非零向量

上的投影向量（如图）是由从Q到直线PS做垂线而得的向量

。这与平面向量的情形完全一样，该向量记为

（

在

上的向量投影）。

如果

表示一个力，那么

表示在方向

的有效力

由于在上的向量投影：故数

称为

在方向

的数量分量。我们可以通过

“点乘”

的方向求得数量分量。例2．求在上的向量投影和在方向的数量分量。解：

的数量分量。在方向

与平面向量一样，可以把一个向量表示成个平行于的向量和一垂直于的向量之和。例3．一个力作用在速度为的太空船上。把F表示成一个平行于的向量和一个垂直于的向量之和。解：

。三、空间中两个向量的向量积我们假定在空间中给定两个非零向量和。和我们用右手法则选择一个垂直于这个平面的单位向量。如果不平行，那么它们决定一个平面。1.定义

设给定两个非零向量和，和的向量（叉）积为如果和中的一个或两个为零，我们定义为零。这样一来，和的叉积为零，和平行或它们中的一个或两个为零。当且仅当非零向量和称为平行向量，当且仅当2.向量积（叉积）的性质：通常，由于位于和所在的平面上，而在和所在的平面上，所以向量积乘法是不满足结合律的。当我们用定义计算

和

的两两向量积时，便得到

3.的行列式表示假定那么由分配律和

和

相乘的法则告诉我们于是我们可以用下列行列式计算向量积（叉积）

例5．求垂直于

，

和

所在的平面的向量。解：

向量

垂直于平面，因为它垂直于平面上的两个向量。利用分量我们求得

例6．

求顶点

，

和

的三角形的面积。解：由和所确定的平行四边形的面积是三角形的面积是这个值的一半

。

例7．求垂直于

，

和

所在的平面的单位向量。解：向量垂直于平面，它的方向是垂直于平面的单位向量，由例5和例6有：4.转矩当我们在扳手上用一个力F转动一个螺栓时，我们产生一个转矩作用在螺栓的轴上以使螺栓前进。转矩的大小依赖于力作用在扳手的多远处及垂直于扳手的作用点处的力有多大。我们测量转矩大小的数是杠杆

的臂长和F的垂直于

的数量分量的乘积。

转矩的大小

转矩向量

如果令

是沿螺栓的轴并指向转矩方向的单位向量，那么转矩向量可以完整地表示为当

和

平行时，定义

为零。这与转矩的解释正好是吻合的。假如图中的力F平行于扳手，即我们试图通过沿着扳手的柄的方向拉或推扳手，所产生的转矩为零。四、混合积积

称为

和

（按这个次序）的混合积。从公式可以看出，积的绝对值是由

和

确定的平行六面体（由

组成的平行四边形为底面的箱体）的体积。数

是箱体底面平行四边形的面积，数

是平行六面体的高。把

和

以及

和

确定的平面作为平行六面体的底所在的平面，我们可以看出由此，我们还得到（点积与叉积可交换）向量的混合积可以用行列式计算：一、空间中的直线和线段二、空间中的平面方程第三节空间中的直线和平面空间解析几何三、相交直线一、空间的直线和线段假定

是一条过点

且平行于向量

的直线。则

是使

平行于

的所有点

的集合。于是对某个数值参数

有

。

的值依赖点

在直线上的位置，并且

的定义域是

。方程

的展开形式是这个方程可以写成：过点

平行于

的直线的向量方程为其中

是

上的点

的位置向量，而

是

的位置向量。直线的参数方程：过

平行于

的直线的标准参数方程为例1.求过点

平行于

的直线的参数方程。解：例2.求过点

和点

的直线的参数方程。解：向量平行于直线，又上例中我们还可以取

作为“基点”而写出这些方程的作用跟第一组完全一样；只不过在一个给定时刻

点在直线上的位置不同。为参数化连结两点的线段，我们首先参数化过点的直线。再求端点对应的

的值并限制以这些为端点的区间。直线连同这个附加的限制就是参数化线段。例3.求过点

和点

的线段。我们注意点解：从例2中的点

和

的直线在

过点

，而在

过点

。我们加上限制

就得到这线段的参数方程：二、空间中的平面方程假定平面M过点

并且正交于（垂直于）非零向量

。则M是使

正交于

的所有点

的集合，于是点积

。这个方程等价于或过点

且正交于（垂直于）

平面有：向量方程：分量方程：简化分量方程：其中解：分量方程是经化简得例4．求过

垂直于

的平面方程。我们要注意例4中

的分量如何成为方程

的系数。例5．求过

和

的平面的方程。解：我们求一个垂直于该平面的向量，再利用这个向量和三个点中的一个写平面的方程，向量积是正交于所求平面的向量。把这个向量的分量和坐标

代入分量形式的方程，即得三、相交直线不平行的两张平面交于一条直线。两条直线平行当且仅当它们方向相同。类似地，两张平面平行当且仅当存在某个数

，有

。例6．求平行于平面

和

的交线的向量。解：两平面的交线正交于法向量

和

从而平行于

。反之，

为一个平行于交线的向量。的任何非零倍数都符合要求。例7．求平行于平面

和

的交线。由于例6中已经确定了一个平行于交线的向量

，故仅需求交线上的一个点。我们可以求两平面的任何公共点，在两平面方程中令

，并解

和

的联立方程求得一个公共点为

，故该交线为解：一、柱面二、二次曲面第四节柱面和二次曲面空间解析几何一、柱面一个柱面是由在空间中平行于各顶直线通过给定平面曲线的所有直线组成的曲面。这里的曲线称为柱面的母线。在立体几何中，柱面意味圆柱面，母线是圆周，但允许母线是任何类型的曲线。曲面同平行于坐标平面的平面相交形成的曲线称为横截线或迹。母线（在yOz平面）过母线平行于x轴的直线例1．求由平行于

轴过抛物线

的直线构成的柱面的方程。解：假定点

在

平面的抛物线

上。那么对

的任何值，点

将在柱面上。反之，任何点

的

坐标是

坐标的平方，从而在柱面上，因为它在过

且平行于

轴的直线

上。因此，不管

的值是多少，曲面上的点是坐标满足方程

的点。这使得

成为曲面的方程。正由于此，我们称该柱面为“柱面

”。

平面上的任何曲线

定义一个平行于

轴的柱面，其方程也是

，平面

上的任何曲线

定义一个平行于

轴的柱面，其方程也是

。

平面

上的任何曲线

定义一个平行于

轴的柱面，其方程也是

定义

任何两个笛卡儿坐标的方程定义一个平行于第三轴的柱面，称为柱面的方程。二、二次曲面其中的

等等是常数，但是跟二维曲线一样方程可以经过平移旋转化简。我们将仅仅研究简化后的方程。基本的二次曲面是椭球面，抛物面，椭圆锥面和双曲面。一个二次曲面是空间中

和

的二次方程的图形。最一般的形式是(1)椭圆锥面由方程

所表示的曲面称为椭圆锥面。

圆锥曲面在y轴方向伸缩而得的曲面。把圆锥面

沿y轴方向伸缩

倍

所得曲面称为椭圆锥面

(2)椭球面由方程

所表示的曲面称为椭球面。它是球面在x轴、y轴或z轴方向伸缩而得的曲面。把x2+y2+z2

a2沿z轴方向伸缩

倍

得旋转椭球面

再沿y轴方向伸缩

倍

即得(3)单叶双曲面由方程

所表示的曲面称为单叶双曲面。把zOx面上的双曲线

绕z轴旋转

得旋转单叶双曲面

再沿y轴方向伸缩

倍

即得单叶双曲面

(4)双叶双曲面由方程

所表示的曲面称为双叶双曲面。把zOx面上的双曲线

绕x轴旋转

得旋转双叶双曲面

再沿y轴方向伸缩

倍

即得双叶双曲面

。

(5)椭圆抛物面由方程

所表示的曲面称为椭圆抛物面。把zOx面上的抛物线

绕z轴旋转

所得曲面称为旋转抛物面

再沿y轴方向伸缩

倍

所得曲面称为椭圆抛物面

。(6)双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面。用平面x

t截此曲面

所得截痕l为平面x

t上的抛物线此抛物线开口朝下

其顶点坐标为

当t变化时

l的形状不变

位置只作平移

而l的顶点的轨迹L为平面y

0上的抛物线由方程

所表示的曲面称为双曲抛物面。

一、空间曲线二、极限和连续第五节向量值函数和空间曲线空间解析几何三、导数和运动四、微分法则五、定长的向量函数六、向量函数的积分一、空间曲线点

就组成了空间中的一条曲线，我们称之为质点的路径。上式中的方程和区间参数化了该曲线。空间曲线还可以表示为向量形式：当一个质点在空间中经历时间区间

而运动时，我们假设质点的坐标为定义在

上的函数：是实变量在区间I上的向量函数。二、极限和连续定义

若

，则若

，则向量函数

在定义域内的点

连续。若其在定义域的每个点都连续，则函数是连续的。

在

处连续当且仅当每个分量函数在

处是连续的。例1．若

，则三、导数和运动定义

如果

和

在

处是可微的，则向量函数

在

处是可微的，其向量导数为如果在定义域内的每个点是可微的，则向量函数

是可微的。如果

是连续的并且恒不等于0，即

和

有连续一阶导数并且不同时为0，则由

描绘的曲线是光滑的。导数的几何意义若

不等于0，我们定义

为曲线在点P的切向量。曲线在点

的切线定义为过该点平行于

的直线。对光滑曲线我们要求

是为了保证曲线在每点有连续转动的切线。在光滑曲线上没有拐角或尖。一条曲线由有限段光滑曲线以连续方式组成，则称之为分段光滑曲线当

时，导数是沿空间中由

定义的曲线运动的质点的速度的模型。导数指向运动的方向并且给出位置对于时间的变化率。对于一条光滑曲线，速度恒不为零，质点运动也不停止或颠倒方向。定义

若

是沿空间光滑曲线运动的质点的位置，则在任何时刻

，下列定义适用：(1)，位置的导数，是质点的速度向量，与曲线相切；(2)的大小，是质点的速率；(3)，速度的导数及位置的二阶导数，是质点的加速度；(4)，一个单位向量，是运动方向。例2一个人在悬挂式滑翔机上由于遇到快速上升气流而沿位置向量的路径螺旋式地向上。路径类似于螺旋线并在图中显示了

部分，求：（