备战2025年中考数学（全国）抢分秘籍10 圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（8题型）（原卷版）

抢分秘籍10圆中证切线、求弧长、求面积、新定义探究问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）圆中证切线、求弧长、求扇形面积问题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。1．从考点频率看，证明切线是数学的基础，也是高频考点、必考点，圆通常还会和其他几何图形及函数结合一起考查。2．从题型角度看，以解答题的第六题或第七题为主，分值8~10分左右，着实不少！题型一证切线、求面积【例1】（2024·湖北襄阳·一模）是的直径，，，与相交于点．(1)如图1，求证：是的切线；(2)如图2，连接，过点作分别交，于点，，交于点，若，求图中阴影部分的面积．本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；根据等腰三角形的性质切线的判定方法进行解答即可；根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可．本题考查切线的判定，圆周角定理、垂径定理以及扇形面积；根据等腰三角形的性质切线的判定方法进行解答即可；根据垂径定理，平行线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可．【例2】（2024·湖北十堰·一模）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且．(1)求证：是的切线；(2)若线段与的交点是的中点，的半径为6，求阴影部分的面积．1．（2024·广东佛山·一模）如图，点是正方形的边延长线上一点，且，连接交于点，以点为圆心，为半径作交线段于点．(1)求证：是的切线；(2)若，求阴影部分的面积．2．（2024·辽宁沈阳·一模）如图，直线l与相切于点M，点P为直线l上一点，直线交于点A、B，点C在线段上，连接BC，且．

(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，的半径为，求图中阴影部分的面积．题型二证切线、求线段或半径【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东深圳·一模）如图，已知是的直径．点P在的延长线上，点D是上一点．连接，过点B作垂直于，交的延长线于点C、连接并延长，交于点E，且(1)求证：是的切线；(2)若，求半径的长．本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键．本题考查切线的判定，圆周角定理以及解直角三角形，勾股定理，掌握直角三角形的边角关系，圆周角定理以及切线的判定方法是正确解答的关键．【例2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径为3，求的长．1．（2024·广东珠海·一模）如图，是的直径，，E是的中点，连结并延长到点F，使．连结交于点D，连结，．(1)求证：直线是的切线．(2)若，求的长．2．（2024·湖北随州·一模）如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．题型三圆与（特殊）平行四边形综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·广东江门·一模）如图，矩形中，，．E是的中点，以为直径的与交于F，过F作于G．(1)求证：是的切线．(2)求的值．本题主要考查了圆，矩形，三角形综合．熟练掌握圆的基本性质和圆周角定理推论，矩形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，切线的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数等知识，是解题的关键．本题主要考查了圆，矩形，三角形综合．熟练掌握圆的基本性质和圆周角定理推论，矩形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，切线的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数等知识，是解题的关键．【例2】（2024·安徽马鞍山·一模）如图，四边形是的内接四边形，直径平分．(1)求证：；(2)过点A向圆外作，且，求证：四边形为平行四边形．1．（2024·云南·模拟预测）如图，线段与相切于点B，交于点M，其延长线交于点C，连接，，D为上一点且弧的中点为M，连接，．(1)求的度数；(2)四边形是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；(3)若，求弧的长．2．（2024·河南平顶山·一模）如图，为的直径，点是的中点，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．

(1)求证：(2)连接，当时：①连接，判断四边形的形状，并说明理由．②若，图中阴影部分的面积为（用含有的式子表示）．3．（2024·江苏南京·一模）如图，四边形是平行四边形，；(1)如图①，当与相切时，求证：四边形是菱形．(2)如图②，当与相交于点E时．（Ⅰ）若，，求的半径．（Ⅱ）连接，交于点F，若，则的度数是°．题型四圆内接三角形和四边形【例1】（2024·湖南·模拟预测）如图，内接于，过点C作交于点E，交于点D，连接交于点G，连接，设（m为常数）．(1)求证：；(2)设，求证：；(3)求的值（用含m的代数式表示）．本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．本题主要考查圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，垂径定理等，熟练掌握圆内接三角形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．【例2】（2024·天津滨海新·一模）如图，是的直径，弦与相交于点P，若．(1)如图①，求的度数；(2)如图②，过点C作的切线，与的延长线交于点E，若，求的度数．1．（2024·安徽芜湖·一模）四边形ABCD内接于，．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2．连接交于点E．①求证：；②若，，，求的长．2．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在中，直径垂直弦于点，连接，过点作于F，交于点H，交于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，求证：；(3)如图3，连接，分别交于点，当，，求线段的长．3．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在中，为直径，和为弦，且．(1)求的度数；(2)如图2，E为上一点，连接，作于E交于F，连接，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接交于G，过F作于F，交延长线于N，若，，求的长．4．（2024·河北沧州·一模）如图，珍珍利用一张直径为8cm的半圆形纸片探究圆的知识，将半圆形纸片沿弦折叠．(1)如图1，为的切线，当时，求证：．(2)如图2，当时，通过计算比较与弧哪个长度更长．（π取）(3)如图3，M为的中点，为点M关于弦的对称点，当时，直接写出点与点M之间的距离约为_____cm．（结果保留两位小数，参考数据：27）题型五生活中的实物抽象出圆的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·河南洛阳·一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架的一端A落在地面上时，与的另一个交点为点D，水平地面切于点B．(1)求证：；(2)若，求的直径．本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等本题主要考查了切线的性质，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理等等.【例2】（2024·广东珠海·一模）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环与水平地面相切于点C，推杆与铅垂线的夹角为点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆与铁环相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．

(1)求证：．(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内最低位置，此时点A距地面的距离最小，测得．已知铁环的半径为，推杆的长为，求此时的长．1．（2024·河北石家庄·一模）图1是传统的手工推磨工具，根据它的原理设计了如图2所示的机械设备，磨盘半径，用长为的连杆将点与动力装置相连（大小可变），点在轨道上滑动，带动点使磨盘绕点转动，，．(1)当点、、三点共线的时候，的长为______；(2)点由轨道最远处向滑动，使磨盘转动不超过的过程中：①与相切于点，如图3，求的长；②从①中相切的位置开始，点继续向点方向滑动至点，点随之逆时针运动至点，此时，求点运动的路径长（结果保留）．（参考数据：，，）2．（2024·河北石家庄·一模）如图1，某玩具风车的支撑杆垂直于桌面，点为风车中心，，风车在风吹动下绕着中心旋转，叶片端点，，，将四等分，已知的半径为．(1)风车在转动过程中，当时，点在左侧，如图2所示，求点到桌面的距离（结果保留根号）；(2)在风车转动一周的过程中，求点到桌面的距离不超过时，点所经过的路径长（结果保留）；(3)连接，当与相切时，求切线长的值，并直接写出，两点到桌面的距离的差．题型六圆中动点问题【例1】（2024·江苏淮安·一模）如图，是的直径，，延长至点C，使．动点P从点A出发，沿圆周按顺时针方向以每秒个单位的速度向终点B运动，设运动时间为t秒，连接，作点C关于直线的对称点D，连接、、、．

(1)当时．①求的度数；②判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，求t的值．本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．本题考查切线的判定，圆的相关性质，勾股定理的逆定理，弧长公式等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．【例2】（2024·云南昆明·一模）如图，，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接，分别交，于点M，N，连接，设的半径为r．(1)求证：是的切线；(2)当时，求证：；(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．1．（2024·吉林长春·模拟预测）如图①，在中，，以点为圆心，以2为半径画圆，交于点，交于点．点从点出发，沿按顺时针方向运动，当点再次经过点时停止运动．(1)的长为______；(2)在点运动的过程中，点到距离的最大值为______；(3)延长交于点，连接，交于点．①当为等腰三角形时，连结接，求的面积：②如图②，连接，当点在线段上时，作的角平分线交于点．点的位置随着点的运动而发生改变，则点形成的轨迹路径长为______．题型七圆中新定义探究综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·一模）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．(1)若是圆的“奇妙四边形”，则是_________（填序号）：①矩形；②菱形；③正方形(2)如图1，已知的半径为R，四边形是的“奇妙四边形”．求证：；(3)如图2，四边形是“奇妙四边形”，P为圆内一点，，，，且．当的长度最小时，求的值．本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键本题是圆的综合题，考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的建立数学模型并灵活应用是解本题的关键.【例2】（2024·浙江台州·一模）【概念呈现】在钝角三角形中，钝角的度数恰好是其中一个锐角的度数与90度的和，则称这个钝角三角形为和美三角形，这个锐角叫做和美角．【概念理解】（1）当和美三角形是等腰三角形时，求和美角的度数．

【性质探究】（2）如图1，是和美三角形，是钝角，是和美角，求证：．【拓展应用】（3）如图2，是的直径，且，点C，D是圆上的两点，弦与交于点E，连接，，是和美三角形．①当时，求的长．②当是和美三角形时，直接写出的值．1．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】（1）如图1，点A，B，P均在上，若，则锐角的大小为______度；【深入探究】（2）如图2，小明遇到这样一个问题：是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A，C重合），连接，，．求证：；小明发现，延长至点E，使，连接，通过证明．可推得是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明过程．【启发应用】（3）如图3，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连接，，，若，则的值为_____．题型八圆与函数的综合问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·湖南长沙·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且．

(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求点M的坐标，如果不存在，说明理由；(3)若点D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点的圆与交于点E，连接，求的面积．本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．本题主要考查了二次函数的图像和性