新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第25讲 三角函数的图像与性质（解析版）

第25讲三角函数的图像与性质【基础知识网络图】应用应用三角函数的图象与性质正弦函数的图象与性质余弦函数的图象与性质正切函数的图象与性质【基础知识全通关】一、正弦函数SKIPIF1<0,余弦函数SKIPIF1<0,正切函数SKIPIF1<0的图象与性质函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图象定义域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0值域SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0最值当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．既无最大值，也无最小值周期性最小正周期为SKIPIF1<0最小正周期为SKIPIF1<0最小正周期为SKIPIF1<0奇偶性SKIPIF1<0,奇函数SKIPIF1<0，偶函数SKIPIF1<0，奇函数单调性在SKIPIF1<0上是增函数；在SKIPIF1<0上是减函数．在SKIPIF1<0上是增函数；在SKIPIF1<0上是减函数．在SKIPIF1<0上是增函数．对称性对称中心SKIPIF1<0；对称轴SKIPIF1<0，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心SKIPIF1<0；对称轴SKIPIF1<0，既是中心对称图形又是轴对称图形.对称中心SKIPIF1<0；无对称轴，是中心对称图形但不是轴对称图形.二、函数SKIPIF1<0的图象与性质1．函数SKIPIF1<0的图象的画法（1）变换作图法由函数SKIPIF1<0的图象通过变换得到SKIPIF1<0（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.（2）五点作图法找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：①先确定最小正周期T=SKIPIF1<0,在一个周期内作出图象；②令SKIPIF1<0,令X分别取0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求出对应的x值，列表如下：由此可得五个关键点；③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到SKIPIF1<0的简图.2．函数SKIPIF1<0（A>0,ω>0）的性质（1）奇偶性：SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0为奇函数；SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0为偶函数.（2）周期性：SKIPIF1<0存在周期性，其最小正周期为T=SKIPIF1<0.（3）单调性：根据y=sint和t=SKIPIF1<0的单调性来研究，由SKIPIF1<0得单调增区间；由SKIPIF1<0得单调减区间.（4）对称性：利用y=sinx的对称中心为SKIPIF1<0求解，令SKIPIF1<0，求得x.利用y=sinx的对称轴为SKIPIF1<0求解，令SKIPIF1<0，得其对称轴.3．函数SKIPIF1<0（A>0,ω>0）的物理意义当函数SKIPIF1<0（A>0,ω>0,SKIPIF1<0）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=SKIPIF1<0叫做周期，f=SKIPIF1<0叫做频率,SKIPIF1<0叫做相位，x=0时的相位SKIPIF1<0叫做初相.三、三角函数的综合应用（1）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0的定义域均为SKIPIF1<0.（2）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.（3）函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0的最小正周期为SKIPIF1<0．（4）对于SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时为奇函数，当且仅当SKIPIF1<0时为偶函数；对于SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时为奇函数，当且仅当SKIPIF1<0时为偶函数；对于SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时为奇函数．（5）函数SKIPIF1<0的单调递增区间由不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0来确定，单调递减区间由不等式SKIPIF1<0来确定；函数SKIPIF1<0的单调递增区间由不等式SKIPIF1<0来确定，单调递减区间由不等式SKIPIF1<0来确定；函数SKIPIF1<0的单调递增区间由不等式SKIPIF1<0来确定．【注】函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把SKIPIF1<0化为正数后再求解．（6）函数SKIPIF1<0图象的对称轴为SKIPIF1<0，对称中心为SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0图象的对称轴为SKIPIF1<0，对称中心为SKIPIF1<0；函数SKIPIF1<0图象的对称中心为SKIPIF1<0.【注】函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于SKIPIF1<0轴的直线都为对称轴.函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴的交点和渐近线与SKIPIF1<0轴的交点都为对称中心，无对称轴.【考点研习一点通】1、定义域和值域（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0（4）SKIPIF1<0SKIPIF1<0【点拨】（1）（4）利用两角和公式对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求出函数的最大值及最小值，注意自变量的取值范围.（2）根据角的范围得出sinx的范围，运用换元配方后求出y的最大值及最小值，进而得出函数的值域．（3）解析式利用二倍角的正弦公式化简后求值域；【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，令：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0为增函数；∴SKIPIF1<0.（3）根据SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，故函数的值域为SKIPIF1<0.（4）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，由正弦函数的单调性可知SKIPIF1<0，故函数的值域为SKIPIF1<0.【总结】①形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可根据SKIPIF1<0的有界性来求最值；②形如SKIPIF1<0或SKIPIF1<0可看成关于SKIPIF1<0的二次函数，但也要注意它与二次函数求最值的区别，其中SKIPIF1<0；③形如SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的形式来确定最值.【变式1-2】已知函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，值域是SKIPIF1<0，求常数SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时函数取得最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时函数取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，则当SKIPIF1<0时函数取得最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时函数取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．考点02奇偶性、周期性、单调性2、已知函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0是偶函数，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0【变式2-1】已知函数SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是偶函数SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、求函数SKIPIF1<0的单调区间。【点拨】运用换元法，注意定义域，转化为求熟悉的二次函数单调区间的问题.【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0显然函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0始终是单调递减的，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0单调递增；故SKIPIF1<0单调递减区间为SKIPIF1<0；单调递增区间为SKIPIF1<0.【变式3-1】求函数SKIPIF1<0的单调区间.【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的周期为SKIPIF1<0，且图象如图所示：显然，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；故SKIPIF1<0的单调递减区间为SKIPIF1<0；单调递增区间为SKIPIF1<0.4、已知函数f(x)=4tanxsin(SKIPIF1<0)cos(SKIPIF1<0)-SKIPIF1<0.(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f(x)在区间[SKIPIF1<0]上的单调性.【点拨】通过诱导公式、两角差的余弦函数、二倍角公式，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）根据（Ⅰ）的结论，研究三角函数在区间[SKIPIF1<0]上的单调性．【解析】（Ⅰ）f(x)的定义域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以f(x)的最小正周期SKIPIF1<0（Ⅱ）令SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的单调递增区间SKIPIF1<0由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0.所以,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增,在区间SKIPIF1<0上单调递减.【总结】对于较为复杂的三角函数，可通过恒等变形转化为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的形式进行.注意三角函数的单调性的求解.【变式4-1】已知函数SKIPIF1<0，（1）求SKIPIF1<0的定义域及最小正周期；（2）求SKIPIF1<0的单调递增区间.【解析】（1）由题知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，故SKIPIF1<0的单调递增区间区间为SKIPIF1<0.【变式4-2】设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，－π＜φ≤π)在x＝SKIPIF1<0处取得最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为SKIPIF1<0．（1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)＝SKIPIF1<0的值域．【解析】（1）由题设条件知f(x)的周期T＝π，即SKIPIF1<0，解得ω＝2．因f(x)在SKIPIF1<0处取得最大值2，所以A＝2，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又由－π＜φ≤π得SKIPIF1<0．故f(x)的解析式为f(x)SKIPIF1<0．（2）g(x)＝SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠SKIPIF1<0，故g(x)的值域为SKIPIF1<0．【考点易错】1、已知函数SKIPIF1<0.（Ⅰ）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（II）设SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值和最小值.【点拨】（1）注意到所求角和已知角的关系，用二倍角公式来处理；（2）先求出SKIPIF1<0的解析式，再运用求最值的方法解决.【解析】（Ⅰ）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（II）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【总结】先通过倍角公式和两角的和、差公式进行化简，利用余弦函数的单调性可知函数的最值.【变式1-1】已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，求函数SKIPIF1<0的最大值和最小值.【解析】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，②由①②得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．【变式1-2】已知函数SKIPIF1<0的定义域是SKIPIF1<0，值域是SKIPIF1<0，求常数SKIPIF1<0．【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时函数取得最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时函数取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，则当SKIPIF1<0时函数取得最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时函数取得最小值SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．2、已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,（1）求函数f(x)的解析式.（2）求函数f(x)在区间0,5π12【解析】（1）由图象可知A=2，又A>0，故A=2周期SKIPIF1<0，又T=2πω=∴f∵φ<则函数f(x)的解析式为f(x)=2sin（2）∵SKIPIF1<0，∴sin(2x−当2x−π6=π2当2x−π6=−π6所以f(x)max=f(3、已知函数SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的最小正周期；（2）若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的最大值与最小值的和为2，求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递增；当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.【巩固提升】1、函数SKIPIF1<0的最小正周期为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以最小正周期为SKIPIF1<0.故选D.2.已知函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），若函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点，则SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内没有零点，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选C.3.设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则下列判断正确的是A．函数的一条对称轴为SKIPIF1<0B．函数在区间SKIPIF1<0内单调递增C．SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，使得函数SKIPIF1<0在其定义域内为偶函数【答案】D【解析】函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0不能使函数取得最值，所以不是函数的对称轴，A错；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数先增后减，B不正确；若SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0不成立，所以C错；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0函数是偶函数，D正确，故选：D．4、若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是减函数，则SKIPIF1<0的最大值是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故选A.5、函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，周期为SKIPIF1<0.6、函数f（x）=sin22x的最小正周期是__________．【答案】SKIPIF1<0【解析】函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0，周期为SKIPIF1<0.7、关于函数f（x）=SKIPIF1<0有如下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称．②f（x）的图象关于原点对称．③f（x）的图象关于直线x=SKIPIF1<0对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的图象不关于SKIPIF1<0轴对称，命题①错误；对于命题②，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，定义域关于原点对称，SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的图象关于直线SKIPIF1<0对称，命题③正确；对于命题④，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，命题④错误.故答案为：②③.8.已知函数SKIPIF1<0