重难点02 十字架模型综合（二大类型）

重难点02十字架模型综合（二大类型）模型解密类型一：【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】--矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；可证：△ADE∽△BAF所以在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系【解答】可证：△ADN∽△BAM∴∴但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系可证△EOH∽△GOF典例分析【典例1】（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证AF＝BG；【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．求的值；【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝120°，DB＝DC，点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P．请直接写出的值．【典例2】（2023•湘潭县三模）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：∠CGE＝90°；（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA；（3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，直接写出的值．真题精练1．（2023•九龙坡区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED＝2α，则∠AGD的度数为（）A．90﹣α B．90+α C．90+2α D．90﹣2α2．（2023•裕华区二模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为（）A．9 B．10 C．6 D．13．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（）A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α4．（2022•甘井子区校级模拟）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是（）A． B． C． D．45．（2023•平房区三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD为对角线，AC⊥CD，AB＝AC，若∠ABD＝2∠ADC，CD＝2，则AD的长为．6．（2023•东莞市三模）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O．下列结论：①AE＝BF且AE⊥BF；②S△AOB＝S四边形DEOF；③AD＝OE；④连接OC，当E为边DC的中点时，tan∠EOC值为，其中正确的结论有．7．（2022•内黄县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为．8．（2022•德城区模拟）如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有．9．（2023•越秀区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为．10．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．11．（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．12．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE＝DF．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求的值．【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由．13．（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．14．（2022•天桥区一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝3，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．请问．是定值吗？若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．15．（2023•南关区四模）【问题提出】如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，GF⊥AE．请判断AE与GF的数量关系，并说明理由．【类比探究】如图②，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连结AE交GF于点O．则GF与AE之间的数量关系为．【拓展应用】在（2）的条件下，若，，则CE的长为．16．（2023•运城二模）综合与实践：问题情境：在数学活动课上，老师出了这样一道题：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α到矩形CEFG的位置，点D恰好在边CG上．问题解决：（1）如图1，连接AC，CF，AF，AF与CG交于点H．①α的值为，AF＝；②求GH的长．（2）如图2，若将四边形ABCP沿渞直线CP折叠，得到四边形A′PCB′，使得点B的对应点B′恰好在EF上，点A的对应点为A′，点G在A′P上，求AP的长．

重难点02十字架模型综合（二大类型）模型解密类型一：【十字架模型】--正方形第一种情况：过顶点在正方形ABCD中，AE⊥BF，可得AE=BF，借助于同角的余角相等，证明△BAF≌△ADE（ASA）所以AE=BF第二种情况：不过顶点在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH也可以如下证明在正方形ABCD中，E，F，G，H分别AB、BC、CD、DA边上的点，其中：EG⊥FH，可得EG=FH类型二：【十字架模型】--矩形在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中：AE⊥BF，探究AE与BF的关系；可证：△ADE∽△BAF所以在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的点，其中：EG⊥FH，探究EG与FH的关系【解答】可证：△ADN∽△BAM∴∴但是只有垂直的条件，点的位置发生变化，那么可以证明出相似三角形，但是线段之间的关系不在成立在矩形ABCD中，AB=a，AD=b，其中EG⊥FH，探究EG与FH的关系可证△EOH∽△GOF典例分析【典例1】（2023•嘉鱼县模拟）【问题探究】如图1，正方形ABCD中，点F、G分别在边BC、CD上，且AF⊥BG于点P，求证AF＝BG；【知识迁移】如图2，矩形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于点P．求的值；【拓展应用】如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BDC＝120°，DB＝DC，点E、F分别在线段AB、BC上，且CE⊥DF于点P．请直接写出的值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∠2+∠ABP＝90°，∵AF⊥BG，∴∠1+∠ABP＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABF和△BCG中，，∴△ABF≌△BCG（ASA），∴AF＝BG；（2）解：作EM⊥DC于点M，作HN⊥BC于点N，则EM∥AD∥BC，HN∥AB∥DC，∴EM⊥HN，EM＝AD＝BC，HN＝AB＝DC，又∵EG⊥HF，∴∠GEM＝∠FHN，∴Rt△EMG∽Rt△HNF，∴，即；（3）解：过点D作DH⊥BC于点H，交CE于点M，则∠DHF＝∠ABC＝90°，∴∠CMH+∠BCE＝90°，∵CE⊥DF，∴∠PDM+∠PMD＝90°，∵∠PMD＝∠CMH，∴∠BCE＝∠PDM，∴△CBE∽△DHF，∴，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DCH＝30°，BC＝2CH，在Rt△CHD中，∠CHD＝90°，∴tan30°＝，∴CH＝DH，∴BC＝2DH，∴＝2．【典例2】（2023•湘潭县三模）已知点E、F分别是四边形ABCD边AB、AD上的点，且DE与CF相交于点G．（1）如图①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD•DF＝AE•DC，求证：∠CGE＝90°；（2）如图②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC时，求证：DE•CD＝CF•DA；（3）如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，设DE⊥CF，当∠BAD＝90°时，直接写出的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵AD•DF＝AE•DC，∴，∴△ADE∽△DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴∠ADE+∠DFC＝∠DCF+∠DFC＝90°，∴∠DGF＝90°，∴∠CGE＝∠DGF＝90°；（2）证明：∵∠DGF＝∠EGC，∠A＝∠EGC，∴∠DGF＝∠A，∴∠GDF＝∠ADE，∴△GDF∽△ADE，∴，∴，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠CDG，∵∠AED＝∠CFD，∴∠CFD＝∠CDG，∵∠DCF＝∠GCD，∴△DCF∽△GCD，∴，∴，∴DE•CD＝CF•DA；（3）解：如图，作CN⊥AD于点N，CM⊥AB交AB的延长线于点M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝∠AMC＝∠ANC＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴CM＝AN，AM＝CN＝x，∠MCN＝90°，∵BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠BCD＝∠BAD＝90°，∴∠BCM＝∠DCN＝90°﹣∠BCN，∴∠M＝∠CND＝90°，∴△BCN∽△DCN，∴，∴CM＝x，在Rt△BCM中，由勾股定理得，∴（x﹣3），解得x＝或x＝0（不合题意舍去），∴CN＝，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠CFN+∠ADE＝90°，∵∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠DEA＝∠CFN，∴∠A＝∠CNF＝90°，∴△ADE∽△NCF，∴．真题精练1．（2023•九龙坡区模拟）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DE＝CF，连接AE，DF，DG平分∠ADF交AB于点G，若∠AED＝2α，则∠AGD的度数为（）A．90﹣α B．90+α C．90+2α D．90﹣2α【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∠ADE＝∠DCF，AD∥BC，∵DE＝CF，∴△DFC≌△AED（ASA），∴∠AED＝∠DFC＝2α，∴∠ADF＝∠DFC＝2α，∵DG平分∠ADF，∴∠ADG＝α，∴∠AGD＝90°﹣α．故选：A．2．（2023•裕华区二模）图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为（）A．9 B．10 C．6 D．1【答案】A【解答】解：设直角三角的另一直角边为a，则，S1＝（a+3）2﹣4××3a＝a2+9，S2＝a•a＝a2，∴S1﹣S2＝a2+9﹣a2＝9．故选：A．3．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，点E、F、G分别是正方形ABCD的边AD、BC、AB上的点，连接DG，EF，GF．且EF＝DG，DE＝2AG，∠ADG的度数为α，则∠EFG的度数为（）A．α B．2α C．45°﹣α D．45°+α【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°，如图，过点F作FH⊥AD于点H，则四边形CDHF为矩形，∴FH＝CD，DH＝CF，∠FHE＝90°，∴FH＝AD，在Rt△FHE和Rt△DAG中，，∴Rt△FHE≌Rt△DAG（HL），∴EH＝AG，∠HFE＝∠ADG＝α，∵DE＝AG，∴DE＝2EH，即点D为DE中点，∴EH＝DH＝AG＝CF，∴AB﹣AG＝BC﹣CF，即BG＝BF，∴△BFG为等腰直角三角形，∠BFG＝45°，∴∠EFG＝90°﹣∠BFG﹣∠HFE＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α．故选：C．4．（2022•甘井子区校级模拟）如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB＝3，BC＝4，则EF的长是（）A． B． C． D．4【答案】C【解答】解：过点A作AG∥EF，交BC于点G，交BD于点H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，∠ABC＝∠C＝90°，∴四边形AGFE是平行四边形，∴AG＝EF，∵EF⊥BD，∴AG⊥BD，∴∠AHB＝90°，∴∠HAB+∠ABH＝90°，∵∠ABH+∠DBC＝90°，∴∠HAB＝∠DBC，∴△ABG∽△BCD，∴＝，∵BC＝4，CD＝3，∠C＝90°，∴BD＝＝＝5，∴＝，∴AG＝，∴EF＝AG＝，故选：C．5．（2023•平房区三模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD为对角线，AC⊥CD，AB＝AC，若∠ABD＝2∠ADC，CD＝2，则AD的长为2．【答案】2．【解答】解：设AC与BD交于点O，设∠ADC＝α，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∠CAD＝90°﹣α，又∵AD∥BC，∴∠BCD＝180°﹣∠ADC＝180°﹣α，∴∠ACB＝∠BCD﹣∠ACD＝90°﹣α，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣α，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝2α，又∵∠ABD＝2∠ADC＝2α，∴AO＝BO，作OE⊥AB于点E，作DF⊥AB于点F，在AF的延长线上取AF＝FG，如图，∵AO＝BO，OE⊥AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝a，则AB＝AC＝2a，∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠ABC＝90°﹣a，∴∠FAD＝∠CAD＝90°﹣α，在△FAD和△CAD中，，∴△FAD≌△CAD（AAS），∴AF＝FG＝2a，∴BG＝AB+AF+FG＝6a，BF＝AB+AF＝4a，在△AFD和△GFD中，，∴△AFD≌△GFD（AAS），∴∠G＝∠FAD＝90°﹣α，∴∠BDG＝180°﹣∠ABD﹣∠G＝90°﹣α＝∠G，∴BD＝BG＝6a，在Rt△BDF中，BF2+FD2＝BD2，即（4a）2+（2）2＝（6a）2，在△AFD和△GFD中，，∴△AFD≌△GFD（SAS），∴∠G＝∠FAD＝90°﹣α，∴∠BDG＝180°﹣∠ABD﹣∠G＝90°﹣α＝∠G，∴BD＝BG＝6a，在Rt△BDF中，BF2+FD2＝BD2，即（4a）2+（2）2＝（6a）2，解得：a＝1，∴AF＝2a＝2，在Rt△ADF中，AF2+FD2＝AD2，∴AD＝＝＝2．故答案为：2．6．（2023•东莞市三模）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于O．下列结论：①AE＝BF且AE⊥BF；②S△AOB＝S四边形DEOF；③AD＝OE；④连接OC，当E为边DC的中点时，tan∠EOC值为，其中正确的结论有①②④．【答案】①②④．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAF＝∠ADE＝90°．∵CE＝DF，∴AF＝DE．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS）．∴AE＝BF，故①正确．∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠AED．∵∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AFB+∠DAE＝90°，∴∠AOF＝90°，即AE⊥BF，故①正确．∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△ADE．∴S△AOB＝S△ABF﹣S△AOF，S四边形DEOF＝S△ADE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故②正确．如图过点E作EM⊥AB，交于点M，连接OM，在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ADE＝∠AME＝90°，∴四边形ADEM为矩形，AD＝EM，在△OME中，∵∠EOM为钝角，∴△EOM不是以点E为顶点的等腰△，∴OE≠EM，即AD≠OE，故③错误．如图，连接OC，延长AE使AE＝EG，交BC延长线于点G，过点C作CH⊥AG交于点H，∵E是边DC的中点，∴ED＝EC，在△ADE和△GCE中，，∴△ADE≌△GCE（SAS），所以∠ECG＝∠EDA＝90°＝∠BCE，∴点B、C、G共线，∴∠G＝∠GAD设边AD＝DC＝2a，∴AF＝DE＝a，tan∠GAD＝＝＝，∴tan∠CGA＝＝，AE＝＝a，∴AG＝2AE＝2a，∵CG＝AD，∴CG＝2a，在△CEG中，CH＝a，HG＝a，在△AOF中，AO＝a，∴OH＝AG﹣HG﹣AO＝a，在Rt△CHO中，tan∠EOC＝＝，故④正确．故答案为：①②④．7．（2022•内黄县模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为4或2．【答案】4或2．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4，∴CF+BF＝4．∵CE+CF＝4，∴CE＝BF．在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（SAS）．∴∠AFB＝∠BEC．∵AB∥CD，∴∠ABG＝∠BEC．∴∠ABG＝∠AFB．∵∠ABG+∠FBG＝90°，∴∠AFB+∠FBG＝90°．∴BG⊥AF．∴∠AGB＝90°．∵△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍，∴∠ABG＝45°或60°．∴∠GBF＝45°或30°．过点G作GH⊥BC于点H，如图，当∠GBF＝45°时，点F与点C重合，∴GH＝，∴△BCG的面积＝×BC×GH＝4．当∠GBF＝30°时，∵BG＝AB＝2，∴GH＝BG＝1．∴△BCG的面积＝×BC×GH＝2．综上，△BCG的面积为4或2．故答案为：4或2．8．（2022•德城区模拟）如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有①③④．【答案】①③④．【解答】解：过点G作GH⊥AB，垂足为H，交AE于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠C＝∠DAB＝∠D＝90°，AD∥BC，∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，∴BF＝BC，CG＝CD，∴BF＝CG，∴△ABF≌△BCG（SAS），∴∠AFB＝∠CGB，∵∠CGB+∠CBG＝90°，∴∠AFB+∠CBG＝90°，∴∠BNF＝180°﹣（∠AFB+∠CBG）＝90°，∴AF⊥BG，故①正确；在Rt△ABF中，tan∠AFB＝＝＝，∴在Rt△BNF中，tan∠AFB＝＝，∴BN＝NF，故②不正确；∵△ABF≌△BCG，∴S△ABF＝S△BCG，∴S△ABF﹣S△BNF＝S△BCG﹣S△BNF，∴S四边形CGNF＝S△ABN，故③正确；∵∠DAB＝∠D＝∠AHG＝90°，∴四边形ADGH是矩形，∴AD＝GH，DG＝AH，AD∥GH，∴GH∥BC，设DG＝AH＝a，∴CD＝3DG＝3a，∴AB＝AD＝BC＝3a，∴BE＝BC＝a，∵∠AHO＝∠ABE＝90°，∠HAO＝∠BAE，∴△AHO∽△ABE，∴＝，∴＝，∴OH＝a，∴GO＝GH﹣OH＝3a﹣a＝a，∵GH∥BC，∴∠OGM＝∠GBE，∠GOM＝∠OEB，∴△GOM∽△BEM，∴＝＝＝，∴，故④正确，所以，正确结论的序号有：①③④，故答案为：①③④．9．（2023•越秀区校级自主招生）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为3﹣4．【答案】3﹣4．【解答】解：如图：过点H作HM⊥CD，垂足为M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，∴AC＝AB＝2，∵CE＝DF，∴BC﹣CE＝CD﹣DF，∴BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠1＝∠2，∵∠ABC＝∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠AGB＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，∵BG＝GH，∴AG是BH的垂直平分线，∴AB＝AH＝2，∴∠3＝∠AHB，CH＝AC﹣AH＝2﹣2，∵AB∥CD，∴∠3＝∠CFH，∵∠AHB＝∠CHF，∴∠CFH＝∠CHF，∴CH＝CF＝2﹣2，在Rt△HMC中，HM＝＝＝2﹣，∴△CFH的面积＝CF•HM＝×（2﹣2）×（2﹣）＝3﹣4，故答案为：3﹣4．10．（2022•越秀区校级一模）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．【答案】见解答．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DQ＝CP，∴AD﹣DQ＝CD﹣CP，∴AQ＝DP，∴△ABQ≌△DAP（SAS），∴∠DAP＝∠ABQ，∵∠DAP+∠BAP＝90°，∴∠ABQ+BAP＝90°，∴BQ⊥AP．11．（2023秋•惠阳区校级月考）如图1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，连接BE，DG．（1）请判断BE与DG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．（2）如图2，已知AB＝4，，当点F在边AD上时，求BE的长．【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）．【解答】解：（1）BE＝DG，BE⊥DG；理由：如图1，∵正方形ABCD和正方形AEFG，∴∠GAE＝90°＝∠BAD，AG＝AE，AD＝AB，∠ADB＝45°，∴∠GAD＝∠BAE，∴△GAD≌△BAE，∴BE＝DG，∠GDA＝∠ABE，∴∠BMD＝180°﹣∠GDA﹣∠ADB﹣∠DBM＝180°﹣﹣∠EBA﹣∠DBM﹣45°＝90°，∴BE⊥DG．总之，BE＝DG，BE⊥DG；（2）作EH⊥AB于H，∵正方形ABCD和正方形AEFG，∴∠GAE＝90°＝∠BAD，∠EAF＝45°，∴∠HAF＝45°，∵AB＝4，，∴AH＝EH＝＝1，∴BH＝4﹣1＝3，∴BE＝．12．（2023•遵义模拟）【问题探究】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边DC、BC上，且AE⊥DF，求证：AE＝DF．【知识迁移】如图2，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在边AD上，点M、N分别在边AB、CD上，且BE⊥MN，求的值．【拓展应用】如图3，在平行四边形ABCD中，AB＝m，BC＝n，点E、F分别在边AD、BC上，点M、N分别在边AB、CD上，当∠EFC与∠MNC的度数之间满足什么数量关系时，有试写出其数量关系，并说明理由．【答案】【问题探究】见解析；【知识迁移】；【拓展应用】当∠EFC＝∠MNC时，．【解答】【问题探究】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，∵AE⊥DF，∴∠AED+∠CDF＝90°，∴∠DAE＝∠CDF，在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴AE＝DF；【知识迁移】解：如图，过点N作NO⊥AB于点O，∴∠BMN+∠MNO＝90°，∵BE⊥MN，∴∠BMN+∠MBE＝90°，∴∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB，在△ABE与△MNO中，∠MNO＝∠MBE，∠BMN＝∠AEB，∴△ABE∽△ONM，∴，∵ON＝BC，∴；【拓展应用】解：当∠EFC＝∠MNC时，，作AG∥EF，交BC于G，NH∥BC，交AB于H，则∠EFC＝∠AGC，∠MNC+∠BMN＝180°，∠MHN＝∠ABC，∵∠AGB+∠AGC＝180°，∴∠AGB＝∠NMH，∴△ABG∽△NHM，∴，∵HN∥BC，AB∥CD，AG∥EF，AD∥BC，∵四边形AEFG、HNCB是平行四边形，∴AG＝EF，MN＝BC，∴当∠EFC＝∠MNC时，．13．（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）AG有最小值，最小值为2﹣2，AE＝6﹣2．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，∴∠CEB+∠BCE＝90°，∵BF⊥CE，∴∠ABF+∠CEB＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA），（2）证明：如图2，延长CD，BF交于点H，∵点E是AB的中点，∴BE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，AD＝AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，∴∠CEB+∠BCE＝90°，∵BF⊥CE，∴∠ABF+∠CEB＝90°，∴∠ABF＝∠BCE，又∵AB＝BC，∠FAB＝∠EBC＝90°，∴△ABF≌△BCE（ASA），∴BE＝AF，∴BE＝AF＝AB＝AD，∴AF＝DF，∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠H，在△ABF和△DHF中，，∴△ABF≌△DHF（AAS）∴AB＝DH，∴DH＝CD，又∵BF⊥CE，∴∠BGH＝90°，∴DC＝DH＝DG．（3）解：AG存在最小值．如图3，以BC为直径作⊙O，连接AO，OG，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴点G在以BC为直径的⊙O上，在△AGO中，AG≥AO﹣GO，∴当点G在AO上时，AG有最小值，此时：如图4，∵BC＝AB＝4，点O是BC中点，∴BO＝2＝CO，∵AO＝＝＝2，∴AG＝2﹣2，∵OG＝OB，∴∠OBG＝∠OGB，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠OBG，∴∠AFG＝∠OBG＝∠OGB＝∠AGF，∴AG＝AF＝2﹣2，由（2）可得AF＝BE＝2﹣2，∴AE＝AB﹣BE＝4﹣（2﹣2）＝6﹣2．14．（2022•天桥区一模）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为1；（2）如图2，在矩形ABCD中，AD＝5，CD＝3，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为；（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：；（4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝9，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．请问．是定值吗？若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由．【答案】（1）1；（2）；（3）见解析；（4）是定值．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠FDC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠ADE+∠DFC＝90°，∠DFC+∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF，在△ADE与△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，∴，故答案为：1；（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠EDC＝90°，∵CE⊥BD，∴∠ADB+∠CED＝90°，∠CED+∠DCE＝90°，∴∠ADB＝∠DCE，∴△ADB∽△DCE，∴，故答案为：；（3）证明：如图，过点作CH⊥AD，交AD延长线于H，∵∠H＝∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABCH为矩形，∴CH＝AB，∵CG⊥EG，∴∠G＝90°＝∠A＝∠H，∵∠ADE＝∠GDF，∵∠GFD＝∠HFC，∴∠ADE＝∠HCF，∴△ADE∽△HCF，∴；（4）解：是定值，理由如下：连接AC交BD于H，CF与DE交于G，CF与DB交于P，∵将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，∴AC⊥BD，∴∠BAH+∠CAF＝90°，∠BAH+∠EBD＝90°，∠CHP＝90°，∴∠CAF＝∠DBE，∵CF⊥DE，∴∠PGD＝90°＝∠CHP，∵∠HPC＝∠GPD，∴∠ACF＝∠BDE，∴△ACF∽△BDE，∴，∵AB＝3，AD＝9，由勾股定理得BD＝＝3，∴，∴AH＝，∴AC＝2AH＝，∴．15．（2023•南关区四模）【问题提出】如图①，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在边BC，AB，CD上，GF⊥AE．请判断AE与GF的数量关系，并说明理由．【类比探究】如图②，在矩形ABCD中，，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG