数学学案：课堂探究导数的四则运算法则

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课堂探究探究一应用求导法则求导数要求初等函数的导数需要准确地把函数分割为基本初等函数的和、差、积、商的形式,再利用运算法则求导．在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本初等函数的求导公式进行求导．在求导数时有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可利用代数或三角恒等变形将函数化简，然后进行求导，以避免或减少使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度,避免出错．例如求函数y＝eq\f（x－1，2x)的导数，先化简为y＝eq\f（1,2）－eq\f(1，2）·eq\f(1,x），再求导，使问题变得更简单．【典型例题1】求下列函数的导数：（1)y＝xeq\b\lc\(\rc\）（eq\a\vs4\al\co1(x2－\f(3,2)x－6))＋2;(2）y＝cosx·lnx;（3）y＝eq\f(x,ex）；(4)y＝eq\f(1＋\r（x）,1－\r(x))＋eq\f(1－\r（x），1＋\r(x)）.思路分析：(1）是函数和差求导;(2）是函数积求导；（3)是函数商求导；（4)先进行分母有理化化简函数式，再求导．解：(1）y′＝eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（x3－\f（3，2）x2－6x＋2）)′＝（x3）′－eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(\f(3,2）x2))′－(6x)′＋(2)′＝3x2－3x－6。(2)y′＝(cosxlnx)′＝（cosx)′lnx＋cosx（lnx)′＝－sinxlnx＋eq\f(cosx,x）。(3）y′＝eq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(x,ex）)）′＝eq\f（（x)′ex－x（ex)′,（ex）2)＝eq\f（ex－xex，e2x）＝eq\f(1－x，ex).（4）y＝eq\f((1＋\r（x))2,1－x)＋eq\f（(1－\r(x））2,1－x）＝eq\f(2（1＋x），1－x)＝eq\f（4,1－x)－2，y′＝eq\b\lc\(\rc\）（eq\a\vs4\al\co1（\f(4,1－x)－2))′＝eq\f（－4（1－x)′，(1－x）2）＝eq\f（4，(1－x)2）。探究二利用导数求切线方程求曲线上某一点的切线方程时，需要求曲线的导数，对于解析式复杂的函数，利用导数法则求解比利用定义求解要方便，选用哪个导数法则要根据解析式的特点决定．【典型例题2】已知函数f（x）＝eq\f(1,3）x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切线l的方程．思路分析：根据导数的几何意义，结合题目条件，可由f′(x）＝－1有唯一解确定a的值，然后求出切点坐标，写出切线方程．解:因为f(x)＝eq\f(1，3）x3－2x2＋ax，所以f′（x)＝x2－4x＋a。由题意可知，方程f′（x）＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．所以Δ＝16－4（a＋1）＝0，所以a＝3。所以f′（x)＝x2－4x＋3＝－1可化为x2－4x＋4＝0.解得切点横坐标为x＝2，所以f（2）＝eq\f(1，3)×8－2×4＋2×3＝eq\f(2，3）,所以切线l的方程为y－eq\f(2,3）＝（－1)×(x－2)，即3x＋3y－8＝0。所以a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.探究三导数的综合应用对于一个具体的初等函数,可以利用求导公式和导数的四则运算法则求导数，反过来,已知某些条件及其导函数,也可以确定参数，求出函数解析式．【典型例题3】已知函数f（x）是关于x的二次函数，f′（x)是f(x)的导函数，对一切x∈R，都有x2f′(x)－(2x－1）f（x）＝1成立，求函数f（x）的解析式．思路分析：利用待定系数法,设出f（x)的解析式，根据条件列出方程组求出参数值．解：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0)，则f′（x）＝2a