《高等数学》课件第3章

第3章微分中值定理及其应用

3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.3函数的单调性与极值*3.4曲率3.5函数图形的描绘本章小结

3.1微分中值定理

3.1.1罗尔定理

定理3-1(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)满足条件：

(1)在闭区间［a，b］上连续；

(2)在开区间(a，b)内可导；

(3)

f(a)=f(b)则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)=0.罗尔定理的几何意义如下：在图3-1中，函数y=f(x)表示了(a，b)内一条光滑连续的曲线，且曲线两端点A、B的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，那么在曲线上至少存在一点ξ，使得曲线在该点处的切线平行于x轴，即f′(ξ)=0.证明由于f(x)在闭区间［a，b］上连续，由闭区间上连续函数的性质可得:f(x)在［a，b］上一定取得最大值M和最小值m.有两种可能的情形：

(1)M=m.此时f(x)在闭区间［a，b］上恒为常数，则在(a，b)内处处有f′(x)=0.

(2)M>m.因为f(a)=f(b)，所以M和m中至少有一个不能在区间的端点取得.不妨设M≠f(a)，即最大值不在端点处取得，那么在(a，b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=M.下面证明f′(ξ)=0.因为f(ξ)=M是函数f(x)在[a，b]内的最大值，所以总有f(ξ+Δx)－f(ξ)≤0当Δx>0时，有又因为f(x)在(a，b)内可导，所以f(x)在ξ点可导，即f′(ξ)存在.由极限的局部保号性可得同理，当Δx<0时，有于是故f′(ξ)=0

例3-1验证函数在区间[0，4]上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理中的ξ值.解显然，函数在闭区间［0，4］上连续，在开区间(0，4)内可导，且f(0)=0，f(4)=0.又由于令f′(x)=0，解得，.故取，则有f′(ξ)=0.3.1.2拉格朗日中值定理定理3-2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)如果函数f(x)满足条件：

(1)在闭区间[a，b]上连续；

(2)在开区间(a，b)内可导则在区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得(3-1)

或f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)(3-2)显然，拉格朗日中值定理的几何意义如下：在图3-2中，函数y=f(x)表示了(a，b)内一条光滑连续的曲线，则在曲线上至少存在一点ξ，使得曲线在该点处的切线斜率与直线AB的斜率相等.图3-2

注:当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理就变成了罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.在式(3-2)中，若令x=a，Δx=b－a，则式(3-2)又可以变为f(x+Δx)－f(x)=f′(ξ)Δx

(3-3)

其中，ξ介于x和x+Δx之间.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理，建立了函数在一个区间上的改变量和函数在该区间内某点的导数之间的联系，从而使我们有可能利用导数去研究函数在区间上的性态.由于x1、x2是(a，b)内的任意两点，因此在(a，b)内f(x)是常函数.

推论3-2如果函数f(x)和g(x)在区间(a，b)内的导数处处相等，即f′(x)=g′(x)，那么f(x)和g(x)在区间(a，b)内只相差一个常数.证明略.例3-2求证：在(－∞，+∞)内，恒成立.

证明令f(x)=arctanx+arccotx，则有故由推论3-1可得，f(x)在(－∞，+∞)内是一个常函数，即arctanx+arccotx=C

其中C为常数.取x=1，可得因此，在(－∞，+∞)内，等式恒成立.

例3-3求证:当时，不等式成立.

证明设，因为f(x)为初等函数，所以其在闭区间［0，x］上连续；又f′(x)=sec2x－1+x2=tan2x+x2

故f(x)在开区间(0，x)内可导.f(x)在闭区间［0，x］上满足拉格朗日中值定理条件，所以，至少存在一点ξ∈(0，x)，使得f(x)－f(0)=f′(ξ)(x－0)由于f′(ξ)=tan2ξ+ξ2

已知x>0，从而有ξ>0，f′(ξ)=tan2ξ+ξ2>0，且f(0)=0，于是f(x)>0即因此，当时，不等式成立.3.1.3柯西定理

定理3-3(柯西(Cauchy)定理)如果函数f(x)与g(x)都在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，且g′(x)≠0，则在开区间(a，b)内至少存在一点ξ，使得注:(1)在该定理中，将x看成参数，则可将Y=f(x)、X=g(x)(a≤x≤b)看成一条曲线的参数方程表达式.这时，就表示了连接曲线端点A(g(a)，f(a))、B(g(b)，f(b))的直线的斜率，而f′(ξ)/g′(ξ)则表示了该曲线上某一点C(g(ξ)，f(ξ))处的切线斜率.

(2)在式(3-4)中，如果令g(x)=x，那么柯西定理就变成了拉格朗日中值定理，故拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情况.3.2洛必达法则

3.2.1“”和“”基本未定式

定理3-4(洛必达法则一)如果函数f(x)与g(x)满足条件：

(1)，；

(2)f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内(点x0可除外)可导，且g′(x)≠0；

(3)

则有定理3-5(洛必达法则二)如果函数f(x)与g(x)满足条件：

(1)，；

(2)

f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内(点x0可除外)可导，且g′(x)≠0；

(3)则有

注:(1)对于洛必达法则一和法则二，把x→x0改为x→∞，该法则仍然成立；

(2)如果应用洛必达法则后，仍得到未定式“”型或“”型，当其满足定理条件时，可重复使用该法则.例3-4

求.解当x→0时，有ex－1→0，这是“”型未定式，于是

例3-5求.解当x→0时，有1－cosx→0，x2→0，这是“”型未定式，于是例3-6求.解当x→+∞时，有ln3x→+∞，这是“”型未定式，于是注:该题中使用一次洛必达法则后仍满足法则的条件，故可重复使用.例3-7求.解当x→0+时，有lncotx→∞和lnx→∞，这是“”型未定式，于是3.2.2其他未定式

除了求“”型或“”型基本未定式的极限外，洛必达法则还可以用来求“0·∞”，“∞－∞”、“00”、“∞0”、“1∞”型等其他未定式的极限，但需先将它们转换为基本未定式“”型或“”型，再使用洛必达法则计算.例3-8求.

解这是“0·∞”未定式，于是例3-9求.解这是“∞-∞”型未定式，于是例3-10求.解这是“∞0”型未定式，于是又所以还须说明，洛必达法则有时会失效，但所求极限却不一定不存在.例如:

这时，不满足洛必达法则条件(3)，所以不能使用该法则.但是3.3函数的单调性与极值

3.3.1函数的单调性函数的单调性是函数的一个重要性质，单调函数在高等数学中占有重要的地位，如单调函数才有反函数.利用函数单调性的定义判断其单调性往往是比较复杂的，下面将讨论函数的单调性与导数间的关系，从而提供一种判断函数单调性的新方法.从下面几何图形不难看出，图3-3中的曲线沿x轴正向是上升的，其上每一点的切线与x轴正向的夹角都是锐角，因而切线的斜率都大于零，即曲线上各点的导数都大于零；相反地，图3-4中曲线沿x轴正向是下降的，其上每一点的切线与x轴正向的夹角都是钝角，因而切线的斜率都小于零，即曲线上各点的导数都小于零.图3-3图3-4由此可见，函数的单调性与导数有着密切的关系，反之，能否利用导数判断函数的单调性呢？一般的，有如下判定定理：

定理3-6设函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，则有

(1)如果在(a，b)内，f′(x)>0，那么函数f(x)在闭区间［a，b］上严格单调增加；

(2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，那么函数f(x)闭区间［a，b］上严格单调减少.

证明设x1、x2为闭区间［a，b］上任意两点，且x1<x2.因为f(x)在闭区间［a，b］上连续，在开区间(a，b)内可导，所以其在闭区间［x1，x2］上连续，在开区间(x1，x2)内可导，满足微分中值定理条件，有

f(x2)－f(x1)=f′(ξ)·(x2－x1)(x1<ξ<x2)又x2－x1>0，故

(1)如果f′(x)>0，则f′(ξ)>0，从而有f(x2)－f(x1)>0，故证f(x)在闭区间［a，b］上严格单调增加；

(2)如果f′(x)<0，则f′(ξ)<0，从而有f(x2)－f(x1)<0，故证f(x)在闭区间［a，b］上严格单调减少.注:(1)该定理中的连续区间可改为开区间或半闭半开区间，结论也相应成立.

(2)如果函数f(x)在区间(a，b)内的个别点的导数等于零，在其余点的导数同号，那么不影响函数在该区间内的单调性.如:y=x3在x=0处的导数等于零，而在其余点的导数都大于零，故它在(－∞，+∞)内单调递增.

(3)有的函数在整个定义域上并不具有单调性，但在其各个子区间上却具有单调性.如：y=x2在区间(－∞，0)内单调递减，在区间(0，+∞)内单调递增，并且分界点x=0处有f′(0)=0(通常把导数为零的点称为驻点).因此，求函数的单调区间一般分三步：①求一阶导数f′(x)；②求分界点.即求使一阶导数f′(x)=0的驻点和一阶导数不存在的点；③用定理3-6判断各子区间上的单调性.

例3-11求函数f(x)=x4－2x2+3的单调区间.解因为f′(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)所以令f′(x)=0，得x1=－1，x2=0，x3=1.

显然，这些点将区间(－∞，+∞)划分为四个子区间，列表讨论如表3-1所示.表3-1

从表3-1中可得，f(x)在区间(－∞，－1)和(0，1)内单调递减；在区间(－1，0)和(1，+∞)内单调递增.例3-12求函数的单调区间.解函数的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，.

当x=±2时，f′(x)=0；当x=0时，f′(x)不存在.

显然，这些点将区间(－∞，+∞)划分为四个子区间，列表讨论如表3-2所示.表3-2

从表3-2中可得，f(x)在区间(－∞，－2)和(2，+∞)内单调递增；在区间(－2，0)和(0，2)内单调递减.例3-13求证:当x>0时，ex>x.

证明设f(x)=ex－x，显然，f(x)在［0，+∞)上连续.由于f′(x)=ex－1，因此，当x>0时，有f′(x)>0，从而有f(x)在［0，+∞)上单调递增，又f(0)=0，故当x>0时，有ex－x>0，即ex>x.3.3.2函数的极值定义3-1设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点(x≠x0)，恒有

(1)f(x)<f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，并称x0为极大值点；

(2)f(x)>f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的一个极小值，并称x0为极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值；极大值点与极小值点统称为极值点.注:(1)函数的极值是一个局部概念，是相对于极值点x0的某一邻域而言的；而最值是一个整体概念，是针对整个区间而言.

(2)函数的极值只能在区间内部取得；而最值不仅可以在区间内部取得，还可以在区间的端点处取得.

(3)函数在一个区间内可能有多个极值，并且极大值不一定大于极小值，如图3-5中极小值f(x4)就大于极大值f(x1)；而最值如果存在，那么有且只有一个.图3-5从图3-5中可以看出，可导函数在极值点的切线一定是水平方向的，但是有水平切线的点却不一定是极值点，如图中的x5点.

定理3-7(极值存在的必要条件)如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f′(x0)=0.证明略.由定理3-7可知，可导函数的极值点一定是驻点；反之，驻点却不一定是函数的极值点，如图3-5中x5点.对于连续函数而言，导数不存在的点也有可能取得极值，如图3-5中x4点.下面给出判断极值的两个充分条件.

定理3-8(极值判别法Ⅰ)设函数f(x)在点x0的某一邻域内连续且可导(x0点可以不可导)，当x由左到右经过x0点时，如果有

(1)f′(x)由正变负，那么x0点是极大值点；

(2)f′(x)由负变正，那么x0点是极小值点；

(3)f′(x)不变号，那么x0点不是极值点.证明略.从定理3-8可知，求函数极值的一般步骤如下：

(1)求函数的定义域，并求导数f′(x).

(2)求出f(x)的全部驻点和导数不存在的点.

(3)用上述这些点将定义域划分为若干个子区间，列表考察各子区间内导数f′(x)的符号，再用定理3-8确定该点是否为极值点.例3-14求函数f(x)=x－ex的极值.解

(1)定义域为(－∞，+∞)，一阶导数为f′(x)=1－ex.

(2)令f′(x)=0，解得驻点x=0.

(3)用驻点x=0，将定义域划分为两个子区间，如表3-3所示.表3-3

由此可知，函数极大值为f(0)=－1.例3-15求函数的极值.解

(1)定义域为D=(－∞，+∞)，一阶导数为

(2)令f′(x)=0，解得驻点x1=2；又当x2=1时，f′(x)不存在.

(3)用点x1=2、x2=1将定义域划分为三个小区间，如表3-4所示.表3-4

由此可得，极大值，极小值.

定理3-9(极值判别法Ⅱ)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，则有

(1)若f″(x0)<0，则函数f(x)在点x0处取得极大值；

(2)若f″(x0)>0，则函数f(x)在点x0处取得极小值.

例3-16求函数f(x)=x3－4x2+4x的极值.解①定义域为D=(－∞，+∞)，一阶导数为f′(x)=3x2－8x+4=(x－2)(3x－2)②令f′(x)=0，解得驻点x1=2，.③又因为f″(x)=6x－8，所以有f″(2)=4>0，.

故函数有极大值，极小值f(2)=0.3.3.3函数的最值在工农业生产和经济管理等活动中，经常会遇到：在一定的条件下，如何才能做到“用料最省”、“成本最低”、“利润最大”、“耗时最少”等问题，这类问题在数学上都可以归结为求函数的最大值、最小值问题.由闭区间上连续函数的性质可知，闭区间［a，b］上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值.由极值和最值之间的关系不难看出，函数在闭区间［a，b］上的最大值和最小值只能在开区间(a，b)内的极值点或区间的端点处取得.因此，闭区间［a，b］上函数的最大值和最小值可按如下方法求得：

(1)求出函数f(x)在(a，b)内的所有可能极值点(驻点或不可导点)；

(2)求出所有可能极值点的函数值以及端点的函数值f(a)和f(b)；

(3)比较所求出的所有函数值的大小，其中最大的就是函数f(x)在闭区间［a，b］上的最大值，最小的就是函数f(x)在闭区间［a，b］上的最小值.

例3-17求函数f(x)=x2+x在［－1，3］上的最大值和最小值.

解因为f′(x)=2x+1，令f′(x)=0，解得驻点.又，而端点值f(－1)=0，f(3)=12.所以，函数f(x)在［－1，3］上的最大值为f(3)=12，最小值为

.在实际问题中，往往可以根据问题的性质断定函数f(x)在其定义区间内部一定有最大值或最小值.可以证明，如果函数f(x)在其定义区间内部存在着最大值或最小值，且f(x)在该区间内只有一个可能极值点，那么，可以断定f(x)在该点取得相应的最大值或最小值.例3-18将边长为3m的正方形铁皮，从四角各截取一个大小相等的小正方形，然后向上折起各边制成一个无盖的长方体铁盒.问所截取的小正方形边长为多少时，长方体铁盒的容积最大？解如图3-6所示，设小正方形的边长为x(m)，则盒底的边长为3－2x(m)，于是，铁盒容积为V(x)=(3－2x)2x

(0<x<1.5)又V′(x)=(3－2x)2－4x(3－2x)=3(1－2x)(3－2x)令V′(x)=0，解得驻点:x1=0.5，x2=1.5(舍去).因为V″(x)=24x－24，所以V″|x=0.5=－12<0，可得x1=0.5是极大值点.由于V在区间(0，1.5)内有唯一的极大值，因此该值一定是最大值.于是，当小正方形的边长为x1=0.5m时，长方体铁盒的容积最大.图3-6例3-19已知某个企业的生产成本函数为C=q3－9q2+30q+25其中，C为成本(单位：千元)，q为产量(单位：吨).求平均可变成本y(单位：千元)的最小值.解依题意，平均可变成本为

于是，y′=2q－9，令y′=2q－9=0，得q=4.5t.

又因为y″|q=4.5=2>0，所以q=4.5时，y取得极小值.由于该值是唯一的极小值，因此也是最小值.即当产量q=4.5t时，平均可变成本y取得最小值y=9.75千元.*3.4曲率

3.4.1曲率的概念怎样用数量来刻画曲线的弯曲程度呢？它与切线的转角Δα有关，Δα越大，曲线弯曲得越厉害.如图3-8所示.弧和弧的长度一样，但它们各自曲线弧上的切线的变化却不同.对于弧，当动点沿曲线从点A变化到点B时，切线的转角为Δα1.对于弧，当动点沿曲线从点B变化到点C时，切线的转角为Δα2.很明显，Δα2>Δα1，这一结果表明，曲线弧比曲线弧弯曲得厉害.此外，曲线的弯曲程度还与转角所经过的弧长有关，如图3-9所示.弧与弧它们的切线转角均为Δα，但明显较短弧比较长弧弯曲得厉害.从以上分析不难看出，曲线的弯曲程度不仅与切线的转角Δα有关，而且与曲线段的弧长Δs有关，因此用单位弧长上切线的转角来衡量曲线的弯曲程度较为合理.图3-8

如图3-10所示，设A、B是曲线y=f(x)上的两个点，曲线在点A和点B处的切线与x轴的夹角分别为α和α+Δα，那么，当点A沿曲线y=f(x)变化到点B时，切线的转角为Δα，而改变这个角度所经过的弧长.于是，给出如下定义：定义3-2弧的切线转角Δα与弧长Δs之比的绝对值叫做弧的平均曲率，记作，即为了刻画曲线在点A处的曲率，给出如下定义：

定义3-3称为曲线在点A的曲率.显然，直线上的任意点的曲率都等于零.例3-20求半径为R的圆的平均曲率及曲率.解如图3-11所示，圆弧所对应的圆心角Δα就是弧的切线转角.又弧长Δs=RΔα，于是圆的平均曲率为圆上任意一点的曲率为圆上任意一点的曲率为该结论说明，圆上任意一点的曲率都等于圆半径的倒数，即弯曲程度处处相等，而且半径越小，曲率越大，弯曲得越厉害.由于圆的半径等于圆的曲率的倒数，因此，对于一般的曲线，我们把它在各点的曲率的倒数称为它在该点的曲率半径，记作R.因此，(如果k=0，那么说曲率半径为+∞).3.4.2弧长的微分公式

设函数y=f(x)在某一区间内具有连续导数，在曲线y=f(x)上取定点作为计算弧长度的起点，点M(x，y)为曲线f(x)上任意一点，把弧拉直后的长度称为弧的长度，简称弧长，并且规定：

(1)以x增大的方向作为曲线的正方向，这样曲线上的任一弧段都是有方向的，称为有向弧段.

(2)记有向弧段的长度为s，当方向与曲线的正方向一致时，s>0；相反时s<0.显然，弧长s是x的函数，并且是一个单值增函数，记作s=s(x).下面，我们来求函数s=s(x)的微分.当自变量x取得增量Δx时，函数y=f(x)亦有增量(见图3-12)，为切线，切线上纵坐标的改变量就是函数f(x)的微分，即.弧长s=s(x)(注意不是y=f(x))的增量为从图3-12中可以直观地看到，切线上的线段和弧相差很小，它是Δx的高阶无穷小量.又知

所以，根据微分的定义，弧长s=s(x)的微分为\

这就是弧微分公式.或例3-21求函数y=x3的弧微分.解因为y′=3x2，所以3.4.3曲率的计算公式用定义计算曲线的曲率往往比较困难，为此，我们将推导曲率的计算公式.设曲线y=f(x)在M点具有二阶导数，该点的切线斜率为y′=tanα，因而α=arctany′，对该式两边取微分可得又知，故由曲率概念可得这就是曲率计算公式.例3-22计算等边双曲线xy=1在点(1，1)处的曲率.解由，得

因此

将它们代入曲率公式，可得曲线xy=1在点(1，1)处的曲率为，，3.5函数图形的描绘

3.5.1曲线的凹向与拐点

定义3-4如果在区间(a，b)内，曲线始终位于其上各点的切线的上方，则称曲线在区间(a，b)内是上凹的；如果曲线始终位于其上每一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的.从图3-13中不难看出，曲线段AB是下凹的，曲线段BC是上凹的.下面，不加证明地给出曲线凹向判定定理.图3-13定理3-10设函数f(x)在开区间(a，b)内具有二阶导数，若

(1)在(a，b)内恒有f″(x)>0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是上凹的；

(2)在(a，b)内恒有f″(x)<0，则曲线y=f(x)在(a，b)内是下凹的.

例3-23判断曲线y=ex的凹向.解函数y=ex的定义域为(－∞，+∞)，且y′=ex，y″=ex

因此，在(－∞，+∞)内恒有y″>0，故曲线y=ex在(－∞，+∞)内是上凹的.例3-24判断曲线y=3x4－4x3+1的凹向.解函数y=3x4－4x3+1的定义域为(－∞，+∞)，且y′=12x3－12x2

y″=36x2－24x=12x(3x－2)令y″=0，解得x1=0，.

列表讨论如表3-5所示.

表3-5所以，曲线在内是下凹的；在(－∞，0)和内是上凹的.从表3-5中可以看出，点(0，1)和点是曲线上凹与下凹的分界点.这种点称为曲线的拐点.定义3-5连续曲线上上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点.显然，拐点是连续曲线上凹与下凹的分界点，那么在拐点两侧的f″(x)必然异号，因此在拐点处必有f″(x)=0或f″(x)不存在.也就是说，二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点都可能是曲线的拐点.

例3-25求曲线的凹向区间与拐点.解函数的定义域为(－∞，+∞)，且当x=4时，y″不存在.列表讨论如表3-6所示.故曲线在(－∞，4)内是上凹的，在(4，+∞)内是下凹的，拐点为(4，2).表3-63.5.2曲线的渐近线

在描绘函数的图像时，有些函数的定义域(或值域)是无限区间，此时函数的图像向无穷远处延伸，如中学学过的双曲线、抛物线等.有些曲线在向无穷远处延伸时常常会接近某一条直线.这样的直线叫做曲线的渐近线.定义3-6若曲线上的动点沿着曲线无限远移时，该点与某条定直线的距离趋近于零，则称这条定直线为曲线的渐近线.并非所有的曲线都有渐近线，下面分三种情况来研究曲线的渐近线.

(1)水平渐近线.如果曲线y=f(x)满足，则称直线y=A为曲线f(x)的水平渐近线.

(2)铅直渐近线.如果曲线y=f(x)在点x0处间断，且，则称直线x=x0为曲线f(x)的铅直渐近线.

(3)斜渐近线.如果曲线f(x)满足：①；②则称直线y=kx+b为曲线f(x)的斜渐近线.例3-26求曲线的水平渐近线和铅直渐近线.

解因为，所以y=0是曲线的水平渐近线.又因为x=1是间断点，且，所以x=1是曲线的铅直渐近线，如图3-14所示.图3-14例3-27求曲线的渐近线.解因为，所以无水平渐近线.又因为曲线在点x1=1、x2=－3处间断，且所以直线x=1、x=－3均为曲线的铅直渐近线.令由于

故得曲线的斜渐近线为y=x－2.，3.5.3函数图形的描绘在工程实践中经常用图形来表示函数，从而可以通过图形直观地看到函数的某些变化规律.利用函数的单调性、极值、凹向与拐点、渐近线等特征，结合在中学数学所学的描点作图法，就可以准确地描绘出函数的图形.通常按以下几个步骤来作函数的图形：

(1)确定函数的定义域和值域；

(2)确定曲线与坐标轴的交点；

(3)判断函数的奇偶性和周期性；

(4)确定函数的单调区间并求出极值；

(5)确定曲线的凹向区间和拐点；

(6)确定曲线的渐近线.例3-28描绘函数的图形.解

(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，+∞).

(2)令y=0，即，化简得2x2－4x－4=0，解得，即曲线与x轴交于点.

(3)无奇偶性和周期性.

(4)求一阶导:令y′=0，解得驻点x=－2.

(5)求二阶导:令y″=0，解得x=－3.(6)因为所以直线y=-2为水平渐近线；又，所以直线x=0为铅直渐近线.

列表讨论如表3-7所示.表3-7

根据上述特征描绘出函数图形，见图3-15.图