《电路基础 》课件第7章

7.1互感

7.2互感线圈的串联、并联

7.3空芯变压器

7.4本章实训互感耦合电路研究第7章互感耦合电路7.1.1互感现象

图7.1(a)所示为相互邻近的两个线圈Ⅰ、Ⅱ，N1和N2分别表示两线圈的匝数。当线圈Ⅰ有电流i1通过时，产生自感磁通Φ11和自感磁链Ψ11=N1Φ11。Φ11的一部分穿过了线圈Ⅱ，这一部分磁通称为互感磁通Φ21。同样，在图7.1(b)中，当线圈Ⅱ通有电流i2时，它产生的自感磁通Φ22的一部分穿过了线圈Ⅰ，称为互感磁通Φ12。这种由于一个线圈通过电流所产生的磁通穿过另一个线圈的现象称为磁耦合。当i1、i2变化时，引起Φ21、Φ12变化，导致线圈Ⅰ与Ⅱ产生互感电压，这就是互感现象。

7.1互感图7.1两个线圈的互感7.1.2互感系数

在图7.1(a)所示线圈Ⅱ中，设Φ21穿过线圈Ⅱ的所有各匝，则线圈Ⅱ的互感磁链Ψ21=N2Φ21。由于Ψ21是由线圈Ⅰ中的电流i1产生的，因此Ψ21是i1的函数。当线圈周围空间是非铁磁性物质时，Ψ21和i1成正比。若磁通与电流的参考方向符合右手螺旋定则，则Ψ21=M21i1。其中M21称为线圈Ⅰ对线圈Ⅱ的互感系数，简称互感。

同理，在图7.1(b)中，互感磁链Ψ12=N1Φ12是由线圈Ⅱ中的电流i2产生，因此Ψ12=M12i2。M12称为线圈Ⅱ对线圈Ⅰ的互感。可以证明，M12=M21，当只有两个线圈时，可略去下标，用M表示，即

(7-1)

在国际单位制(SI)中，M的单位为亨［利］(H)。7.1.3耦合系数

工程中常用的耦合系数k表示两个线圈磁耦合的紧密程度，耦合系数定义为

(7-2)

由于互感磁通是自感磁通的一部分，所以k≤1，当k约为零时，为弱耦合;k近似为1时，为强耦合;k=1时，称两个线圈为全耦合，此时的自感磁通全部为互感磁通。两个线圈之间的耦合程度或耦合系数的大小与线圈的结构、两个线圈的相互位置以及周围磁介质的性质有关。如果两个线圈靠得很紧或紧密地缠绕在一起，如图7.2(a)所示，则k值可能接近于1。反之，如果它们相隔很远，或者它们的轴线相互垂直，如图7.2(b)所示，线圈Ⅰ所产生的磁通不穿过线圈Ⅱ，而线圈Ⅱ所产生的磁通穿过线圈Ⅰ时，线圈上半部和线圈下半部磁通的方向正好相反，其互感作用相互抵消，则k值就很小，甚至可能接近于零。由此可见，改变或调整它们的相互位置可以改变耦合系数的大小，当L1、L2一定时，也就相应地改变互感M的大小。应用这种原理可以制作可变电感器。图7.2互感线圈的耦合系数与相互位置关系7.1.4互感电压

两线圈因变化的互感磁通而产生的感应电动势或电压称为互感电动势或互感电压。

在图7.3(a)中，线圈Ⅰ中的电流i1变动时，在线圈Ⅱ中产生了变化的互感磁链Ψ21，而Ψ21的变化将在线圈Ⅱ中产生互感电压uM2。选择电流i1与Ψ21、uM2与Ψ21的参考方向都符合右手螺旋定则时，有以下关系式

(7-3)同理，在图7.3(b)中，当线圈Ⅱ中的电流i2变动时，在线圈Ⅰ中也会产生互感电压uM1，当i2与Ψ12、Ψ12与uM1的参考方向均符合右手螺旋定则时，有以下关系式

(7-4)

图7.3互感线圈的电压与电当两线圈中通入正弦交流电流时，互感电压与电流的相量关系表示为

(7-5)

(7-6)式中，XM=ωM具有电抗的性质，称为互感电抗，单位与自感电抗相同是欧姆(Ω)。式(7-5)和式(7-6)表明互感电压的大小及相位关系为

UM2=ωMI1

UM1=ωMI2

7.1.5互感线圈的同名端

在工程中，对于两个或两个以上有电磁耦合的线圈，常常要知道互感电压的极性。如：LC正弦振荡器中，必须正确地连接互感线圈的极性，才会产生振荡。互感电压的极性与电流(或磁通)的参考方向及线圈的绕向有关，但在实际情况下，线圈往往是密封的，看不到绕向，并且在电路图中绘出线圈的绕向较为不便，采用标记同名端的方法可解决这一问题。

工程上将两个线圈通入电流，按右手螺旋定则产生相同方向磁通时，两个线圈的电流流入端称为同名端，用符号“·”或“﹡”等标记。如图7.4所示，线圈Ⅰ的“1”端与线圈Ⅱ的“2”端(1′与2′)为同名端。采用同名端标记后，就可以不用画出线圈的绕向，如图7.4(a)所示的两个互感线圈可用图7.4(b)所示的互感电路符号表示。

采用同名端标记后，互感电压的方向可以由电流对同名端的方向确定，即互感电压与产生它的电流对同名端的参考方向一致。图7.4(b)中，线圈Ⅰ中的电流i1是由同名端流向非同名端；在线圈Ⅱ中产生的互感电压uM2也是由同名端指向非同名端。图7.4互感线圈的同名端及互感的电路符号

例7-1

电路如图7.5所示。试判断同名端。

解根据同名端的定义可知，图7.5(a)中，2、4、5为同名端或1、3、6为同名端。图7.5(b)中，1、3为同名端或2、4为同名端。图7.5判断线圈的同名端

例7-2

电路如图7.6所示，两线圈之间的互感M=0.08H，i1=10sin(1000t)A，试求互感电压u2。

解图示电路中i1及u2的参考方向对同名端是一致的，因此

图7.6例7-2图如利用相量关系式求解，则

根据求得的相量写出对应的正弦量为

1.直流判别法

直流判别法是依据同名端定义以及互感电压参考方向标注原则而归纳出的一种实用方法。其判别方法如下：

电路如图7.7所示，两磁耦合线圈的绕向未知，但当S闭合的瞬间，电流从1端流入，此时若电压表指针正偏，说明3端为高电位端，因此1、3为同名端；若电压表指针反偏，说明4端为高电位端，即1、4端为同名端。图7.7直流法判断同名端

2.交流判别法

交流判别法的依据是互感线圈串联原理(参见7.2节)，在工程上有广泛应用。如果没有电压表，也可以用普通灯泡代替。其判别方法如下：

把两个线圈的任意两个接线端连在一起，例如将1、3相连，并在其中一个线圈上加上一个较低的交流电压，用交流电压表分别测量U12、U34、U24，如图7.8所示，若U24约等于U12和U34之差，则1、3为同名端；若测得U24约等于U12和U34之和，则1、3为异名端。图7.8交流法判断同名端7.2.1互感线圈的串联

具有互感的两线圈有两种串联方式——顺向串联和反向串联。

两个互感线圈流过同一电流，且电流都是由线圈的同名端流入(出)(即异名端相接)，这种连接方式称为顺向串联。根据基尔霍夫电压定律，当电流与电压参考方向如图7.9(a)所示时，线圈Ⅰ两端的电压为

7.2互感线圈的串联、并联同理，线圈Ⅱ两端的电压为

式中，，为电流i通过线圈Ⅰ时在线圈Ⅱ中所产生的互感电压。

电路的总电压为

其中

Ls=L1+L2＋2M

(7-7)

为顺向串联时两线圈的等效电感。

当两线圈如图7.9(b)所示连接时，电流是由线圈的异名端流入(或流出)(即同名端相接)，这种连接方式称为反向串联。同理，可推出反向串联时两线圈的等效电感为

Lf=L1+L2－2M

(7-8)

图7.9具有互感的两线圈的两种串联方式

例7-3

电路如图7.10所示。已知L1=1H、L2=2H、M=0.5H、R1=R2=1kΩ、。试求电流i。

解方法一由于两个线圈是反向串联，故得

图7.10例7-3图方法二利用相量关系式求解，有

Z=R1+R2+jω(L1+L2－2M)

=2000+j628(1+2－2×0.5)

=2000+j1256

=2362∠32.1°Ω

又因为

所以

图7.11例7-4图

例7-4

电路如图7.11所示。已知，R1=R2=3kΩ，ωL1=ωL2=4kΩ，ωM=2kΩ。求c、d两端的开路电压Ucd。

解当c、d两端开路时，线圈2中无电流，因此，在线圈1中无互感电压。所以

由于线圈2中无电流，所以线圈2中无自感电压。但由于L1上有电流，所以线圈2中有互感电压，根据电流对同名端的方向可知，c、d两端的电压为

7.2.2互感线圈的并联

具有互感的线圈并联时，也有两种接法:一种是同名端在同一侧，称为同侧并联;另一种是同名端在异侧，称为异侧并联，分别如图7.12(a)、(b)所示。

下面分别对两种不同接法的电路进行分析。

当两个互感线圈同侧并联时，各量的参考方向如图7.12所示，应用相量形式，根据基尔霍夫定律列出方程如下:图7.12互感线圈的并联对于支路1

对于支路2

现将代入上述方程，可得

由上面的公式不难看出，可以用图7.13(a)所示电路来代替图7.12(a)电路。图7.13(a)是图7.12(a)消去互感后的等效电路，对于这个电路，可以使用无互感的正弦交流电路的分析方法进行计算。其阻抗值为

其中Ltc为互感线圈同侧并联的等效电感，即

(7-9)同理，

Lyc为互感线圈异侧并联的等效电感，即

(7-10)

比较式(7-9)和式(7-10)可知，同名端相接(同侧并联)时，耦合电感并联的等效电感较大；反之，异名端相接(异侧并联)时，则等效电感较小。因此，应注意同名端的连接对等效电路参数的影响。

图7.13(b)是图7.12(b)消去互感后的等效电路。图7.13消去互感后的电路把含互感的电路化为等效的无互感电路的方法称为互感消去法或去耦法。应用去耦法，解决了互感线圈串、并联电路等效电感的求解问题。研究图7.12和图7.13所示电路，去耦法也适合处理T形等效电路，如图7.14所示。图7.14T形去耦等效电路

例7-5

图7.15为互感电路，求开关S打开时的输入复阻抗Z12及S闭合时的输入复阻抗Z12′。

解当S打开时，两互感线圈为顺向串联，所以输入复阻抗为

Z12=jωLs=jω(L1+L2+2M)

当S闭合时，利用互感消去法，其等效电路如图7.15(b)所示，所以输入复阻抗为

图7.15例7-5图空芯变压器通常有两个线圈，与电源相连的线圈称为一次绕组，用R1、L1分别表示一次绕组的电阻和电感；与负载相连的称为二次绕组，其电阻与电感分别用R2和L2表示。两线圈的互感用M表示，ZL为负载阻抗。变压器的等效电路如图7.16所示。7.3空芯变压器图7.16空芯变压器的等效电路根据图中指定的电压、电流参考方向，列出一次回路的基尔霍夫电压方程:

如令Z11=R1+jωL1，Z22=R2+jωL2+ZL，ZM=jωM=jXM，则空芯变压器方程可表示为

由上述方程解出电流、分别为

(7-11)

(7-12)从式(7-11)可得以下关系式

(7-13)

式(7-13)表明，空芯变压器的一次回路可用图7.17所示电路来等效。图7.17空芯变压器一次回路等效电路由等效电路可知，从电源端看进去的输入阻抗Zin由两项构成：Z11是一次回路自身阻抗，Zfs称为反射阻抗，即

(7-14)

它表示二次回路对一次回路的影响。当二次回路开路时，Zfs=0，Zin=Z11；当二次回路阻抗Z22呈电感性时，Zfs呈电容性；当二次回路阻抗Z22呈电容性时，Zfs呈电感性。

例7-6

电路如图7.18所示，二次回路短路。已知L1=0.2H，L2=0.8H，M=0.32H，求a、b端的等效电感Lab。

解应用反射阻抗的概念，有

而

Z22=R2+jωL2+ZL=jωL2

图7.18例7-6图所以

即

1.实训目的

学习同名端的判断方法及互感系数测量方法。

2．实训仪器

(1)XD22型低频信号发生器。

(2)JWY-30C型直流稳压电源。

(3)DA-16型晶体管毫伏表。7.4本章实训互感耦合电路研究

3．实训原理

在图7.19所示电路中，开关S闭合的瞬间在线圈Ⅰ中将有电流产生，方向由a流向b，该电流形成的磁通会使线圈Ⅱ产生感应电压。若该电压是c端为正，d端为负，则a端和c端为同名端。

在图7.20所示电路中，设L1和L2之间的互感为M，若L1和L2串联，则顺接时(图7.20(a))总电感量为Ls，反接时(图7.20(b))总电感量为Lf，且

Ls=L1+L2+2M

Lf=L1+L2－2M

(7-15)图7.19互感电路图7.20串联互感电路

Ls和Lf值可用图7.21所示的电路测量。电路中电容C值已知，调节信号频率使电路谐振(Uab值最小)，根据谐振时阻抗的特点，测出Ls和Lf值。设L1和L2顺接时，谐振频率为f1，反接时为f2，则

(7-16)

(7-17)在图7.22所示电路中，U2=2πfMI1，而初级