2025年中考数学思想方法复习系列 【新定义问题】圆中的新定义问题（原卷版）

圆中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．4．弧长的计算（1）圆周长公式：C＝2πR（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长．③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．一．填空题（共2小题）1．（2021•禄劝县模拟）如图，是正三角形，曲线叫做“正三角形的渐开线”，其中弧、弧、弧的圆心依次按、、循环，它们依次相连接．若，则曲线的长是．2．（2020•成都模拟）如图，在中，，分别是两边的中点，如果（可以是劣弧、优弧或半圆）上的所有点都在的内部或边上，则称为的中内弧，例如，图中是其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点，，，在中，，分别是，的中点，的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围是．二．解答题（共18小题）3．（2021秋•石景山区期末）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．点P，Q为⊙O外两点，给出如下定义：若⊙O上存在点M，N，使得以P，Q，M，N为顶点的四边形为矩形，则称点P，Q是⊙O的“成对关联点”．（1）如图，点A，B，C，D横、纵坐标都是整数．在点B，C，D中，与点A组成⊙O的“成对关联点”的点是；（2）点E（t，t）在第一象限，点F与点E关于x轴对称，若点E，F是⊙O的“成对关联点”，直接写出t的取值范围；（3）点G在y轴上，若直线y＝4上存在点H，使得点G，H是⊙O的“成对关联点”，直接写出点G的纵坐标yG的取值范围．4．（2021秋•海淀区期末）在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离有最大值，将这个最大值记为．对点及图形给出如下定义：点为图形上任意一点，若，两点间的距离有最大值，且最大值恰好为．则称点为图形的“倍点”．（1）如图1，图形是半径为1的．①图形上任意两点间的距离的最大值为；②在点，，中，的“倍点”是；（2）如图2，图形是中心在原点的正方形，点．若点是正方形的“倍点”，求的值；（3）图形是长为2的线段，为的中点，若在半径为6的上存在线段的“倍点”，直接写出所有满足条件的点组成的图形的面积．5．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：若图形和图形有且只有一个公共点，则称点是图形和图形的“关联点”．已知点，，，．（1）直线经过点，的半径为2，在点，，中直线和的“关联点”是；（2）为线段中点，为线段上一点（不与点，重合），若和有“关联点”，求半径的取值范围；（3）的圆心为点，，半径为，直线过点且不与轴重合．若和直线的“关联点”在直线上，请直接写出的取值范围．6．（2021秋•大兴区期末）在平面直角坐标系中，点在轴上，以点为圆心的圆与轴交于，两点，对于点和，给出如下定义：若抛物线经过，两点且顶点为，则称点为的“图象关联点”．（1）已知，，，，，，在点，，，中，的”图象关联点”是；（2）已知的“图象关联点”在第一象限，若，判断与的位置关系，并证明；（3）已知，，当的“图象关联点”在外且在四边形内时，直接写出抛物线中的取值范围．7．（2021秋•海淀区校级期末）平面内的和外一点，过点的直线与交于，两点在，之间），点为平面内一点．若以为边的正方形的面积等于分别以，为一组邻边的矩形的面积，则称正方形为点关于的“原本正方形”，该正方形的中心称为点关于的“原本点”．如图所示，正方形的面积等于矩形的面积，其中，称正方形为点关于的“原本正方形”，该正方形中心点称为点关于的“原本点”．特别的，当点恰好在上时，称此时正方形的中心为点关于的“单纯原本点”．（1）在平面直角坐标系中，的半径为4，．①过点的直线与轴重合，则点关于的“原本正方形”的边长为；②过点的直线与轴夹角为，则点关于的“原本点”中，横纵坐标均为整数的点有个．（2）的圆心为，半径为1．点为坐标平面上一点，且，过点的直线与交于，两点．直线与，轴分别交于点和点，若线段上存在点关于的“原本点”，求的取值范围．（3）的圆心为，，半径为．点为坐标平面内一点，过点的直线与有两个交点，且．若直线上存在点，使得点为点关于的“单纯原本点”，直接写出的最小值．8．（2021秋•门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．（1）如图1，如果，线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为．（2）如图2，如果、，、，、．那么的“关联线段”有（填序号，可多选）．①线段②线段③线段（3）如图3，如果、，线段是的“关联线段”，那么的取值范围是．（4）如图4，如果点的横坐标为，且存在以为端点，长度为的线段是的“关联线段”，那么的取值范围是．9．（2021秋•海淀区校级期末）新定义：在平面直角坐标系中，若几何图形与有公共点，则称几何图形的叫的关联图形，特别地，若的关联图形为直线，则称该直线为的关联直线．如图，为的关联图形，直线为的关联直线．（1）已知是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：①直线；②直线；③双曲线，是的关联图形的是（请直接写出正确的序号）．（2）如图1，的圆心为，半径为1，直线与轴交于点，若直线是的关联直线，求点的横坐标的取值范围．（3）如图2，已知点，，，经过点，的关联直线经过点，与的一个交点为；的关联直线经过点，与的一个交点为；直线，交于点，若线段在直线上且恰为的直径，请直接写出点横坐标的取值范围．10．（2021秋•工业园区校级期中）在平面直角坐标系内，过（半径为外一点引它的一条切线，切点为，若，则称点是的“沙湖点”．（1）当的半径为1时，①在点，，中，的“沙湖点”是；②点在直线上，且点是的“沙湖点”，求点的横坐标的取值范围；（2）的圆心为，半径为2，直线与轴，轴分别交于点，．若直线上的所有点都是的“沙湖点”，求的取值范围．11．（2021秋•溧阳市期中）概念认识：平面内，为图形上任意一点，为上任意一点，将、两点间距离的最小值称为图形到的“最近距离”，记作．例：如图1，在直线上有、、三点，以为对角线作正方形，以点为圆心作圆，与交于、两点，若将正方形记为图形，则、两点间的距离称为图形到的“最近距离”．数学理解：（1）在平面内有、两点，以点为圆心，5为半径作，将点记为图形，若，则．（2）如图2，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为2作圆．①将点记为图形，则．②将一次函数的图记为图形，若，求的取值范围．推广运用：（3）在平面直角坐标系中，的坐标为，的半径为2，、两点的坐标分别为、，将记为图形，若，则．12．（2021•常州一模）在平面直角坐标系中，的半径是，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，使平移后的线段成为的弦（点，分别为点，的对应点），线段长度的最小值成为线段到的“优距离”．（1）如图1，中的弦、是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是；在点，，，中，连接点与点的线段长度等于线段到的“优距离”；（2）若点，，线段的长度是线段到的“优距离”，则点的坐标为；（3）如图2，若，是直线上两个动点，记线段到的“优距离”为，则的最小值是；请你在图2中画出取得最小值时的示意图，并标记相应的字母．13．（2021•建邺区二模）【概念学习】在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，，，则对线段的“最近覆盖距离”为3．【概念理解】（1）对点的“最近覆盖距离”为．（2）如图②，点是函数图象上一点，且对点的“最近覆盖距离”为3，则点的坐标为．【拓展应用】（3）如图③，若一次函数的图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，求的取值范围．（4）、，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是．14．（2021•石景山区二模）在平面直角坐标系中，对于内的一点，若在外存在点，使得，则称点为的二倍点．（1）当的半径为2时，①在，，，三个点中，是的二倍点的是；②已知一次函数与轴的交点是，若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是的二倍点，求的取值范围．已知点，，，的半径为2，若线段上存在点为的二倍点，直接写出的取值范围．15．（2020•雨花区校级一模）在平面直角坐标系中，对于点和正实数，给出如下定义：当时，以点为圆心，为半径的圆，称为点的“倍雅圆”例如，在图1中，点的“1倍雅圆”是以点为圆心，2为半径的圆．（1）在点，中，存在“1倍雅圆”的点是．该点的“1倍雅圆”的半径为．（2）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，点在第一象限内，且满足，试判断直线与点的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；（3）如图3，已知点，，将直线绕点顺时针旋转得到直线．①当点在直线上运动时，若始终存在点的“倍雅圆”，求的取值范围；②点是直线上一点，点的“倍雅圆”的半径为，是否存在以点为圆心，为半径的圆与直线有且只有1个交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2020•丰台区二模）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆．特别地，半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆．在平面直角坐标系中，点．（1）已知点，，，分别以，为圆心，1为半径作，，以为圆心，2为半径作，其中是点和轴的点线圆的是；（2）记点和轴的点线圆为，如果与直线没有公共点，求的半径的取值范围；（3）直接写出点和直线的最小点线圆的圆心的横坐标的取值范围．17．（2020•海淀区一模），是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称为关于的内直角，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称为关于的最佳内直角．如图1，是关于的内直角，是关于的最佳内直角．在平面直角坐标系中．（1）如图2，的半径为5，，是上两点．①已知，，，在，，中，是关于的内直角的是；②若在直线上存在一点，使得是关于的内直角，求的取值范围．（2）点是以为圆心，4为半径的圆上一个动点，与轴交于点（点在点的右边）．现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使是关于的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．18．（2020•延庆区一模）对于平面内的点和图形，给出如下定义：以点为圆心，以为半径作，使得图形上的所有点都在的内部（或边上），当最小时，称为图形的点控制圆，此时，的半径称为图形的点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，其中点．（1）已知点，正方形的点控制半径为，正方形的点控制半径为，请比较大小：；（2）连接，点是线段上的点，直线；若存在正方形的点控制圆与直线有两个交点，求的取值范围．19．（2020•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知点，点在轴上，以为直径作，点在轴上，且在点上方，过点作的切线，为切点，如果点在第一象限，则称为点的离点．例如，图1中的为点的一个离点．（1）已