2025年中考数学思想方法复习系列 【新定义问题】三角形中的新定义问题（原卷版）

三角形中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.3．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．4．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．5．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．6．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．9．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．10．相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．11．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）一．填空题（共5小题）1．（2021秋•花都区期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形的对角线、相交于点．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点、分别在线段、上，且，则，其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）2．（2021秋•长宁区期末）定义：在中，点和点分别在边、边上，且，点、点之间距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，上的高长为3，关于的横纵比为，则．3．（2021秋•赣州期中）规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，则的最小值是．4．（2021秋•闵行区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知中，，，点、在边上，且，为中点，过点的优美线交过点的优美线于，那么线段的长等于．5．（2021秋•邹城市期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为．二．解答题（共15小题）6．（2021秋•鄞州区期末）【问题提出】如图1，中，线段的端点，分别在边和上，若位于上方的两条线段和之积等于下方的两条线段和之积，即，则称是的“友好分割”线段．（1）如图1，若是的“友好分割”线段，，，求的长；【发现证明】（2）如图2，中，点在边上，交于，交于，连结，求证：是的“友好分割”线段；【综合运用】（3）如图3，是的“友好分割”线段，连结并延长交的延长线于，过点画交的外接圆于点，连结，设，．①求关于的函数表达式；②连结，，当时，求的值．7．（2021秋•石鼓区期末）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对，如图1，在中，，底角的邻对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1），若，则．（2）如图2，在中，，，，求的周长．8．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：若点满足，则称为线段的“轴点”，其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”．（1）如图1，点，的坐标分别为，，则在，，，中，线段的“轴点”是；线段的“近轴点”是．（2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，．若为线段的“远轴点”，请直接写出点的横坐标的取值范围．9．（2020秋•南沙区期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．（1）如图①中，若和互为“兄弟三角形”，，．写出，和之间的数量关系，并证明．（2）如图②，和互为“兄弟三角形”，，，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分．（3）如图③，若，，试探究和的数量关系，并说明理由．10．（2021秋•余姚市月考）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形．（1）如图2，中，点是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由．（2）如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．①求的度数和的长；②点在上，若与是邻等三角形时，请直接写出点的坐标．11．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若是“近直角三角形”，，，则；（2）如图1，在中，，，．若是的平分线，①求证：是“近直角三角形”；②在边上是否存在点（异于点，使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连结交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的长．12．（2021秋•荔城区校级期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念：（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用：（2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线．动手操作：（3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数．13．（2021秋•金安区校级期中）概念学习：已知，点为其内部一点，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为、、的三角形存在等角点；②任意的三角形都存在等角点．（2）如图中，点是锐角三角形的等角点，若，探究图中么、、之间的数量关系，并说明理由．14．（2021•安溪县模拟）在平面直角坐标系中，对于点、和图形，给出如下定义：若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的一个“直角联络点”．已知点，．（1）在点、中，点关于点的“直角联络点”是（直接写出符合条件的点）（2）点的坐标为，若点是点关于点的“直角联络点”，求．15．（2021•临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；（2）性质探究：如图1，是的中线，，，，，记中的勾股差为，中的勾股差为；①求，的值（用含，，，的代数式表示）；②试说明与互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形中，点与分别是与的中点，连接，，，若，且，，求的值．16．（2021秋•南昌期中）【概念学习】如图1，2，已知，点为其内部一点，连接、、，在、、中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点：；②等腰直角三角形存在等角点：；③内角分别为、、的三角形存在等角点：；④任意的三角形都存在等角点：；【深入理解】（2）如图1，点是锐角的等角点，且与的三个内角分别相等，已知：若，，求的度数；（3）如图2，点是锐角的等角点，若，探究、、之间的数量关系，并说明理由．17．（2021秋•诸暨市期中）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在中，若，则是“和谐三角形”．（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是命题（填“真”或“假”．（2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求．18．（2021秋•大田县期中）在平面直角坐标系中，将三点，，的“矩面积”记为，定义如下：，，中任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”，“水平底”与“铅垂高”的乘积即为点，，的“矩面积”，即．例如：点，，，它们的“水平底”为5，“铅垂高”为4，“矩面积”．解决以下问题：（1）已知点，，，求，，的“矩面积”；（2）已知点，，，且，，的“矩面积”为12，求的值；（3）已知点，，，若，且，，的“矩面积”为25，求的值．19．（2021秋•广陵区期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．（1）如图1，点在线段上，，．求