2025年中考数学思想方法复习系列 【新定义问题】方程与不等式中的新定义问题（原卷版）

方程与不等式中的新定义问题知识方法精讲1．解新定义题型的方法：方法一:从定义知识的新情景问题入手这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。方法二：从数学理论应用探究问题入手对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．方法三：从日常生活中的实际问题入手对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。2．解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.一．选择题（共6小题）1．（2021秋•涡阳县期末）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为A． B． C． D．2．（2021•罗湖区校级模拟）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是A． B． C． D．3．（2021秋•南皮县校级月考）定义一种新运算：※，若5※，则的值为A． B．或 C． D．或4．（2021•福田区一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是A． B． C． D．5．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是A．方有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0 C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于06．（2020秋•随县期末）规定一种新运算：，若，则的值为A． B．1 C．2 D．二．填空题（共5小题）7．（2021秋•建华区期末）对于非零的两个有理数、，我们给出一种新的运算，规定：，若，则的值为．8．（2021秋•东莞市期末）新定义一种运算“☆”，规定☆．若2☆☆2，则的值为．9．（2020秋•福田区校级期末）对，定义一种新运算“※”，规定：※（其中，均为非零常数），若1※，1※．则2※1的值是．10．（2020春•思明区校级期末）新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为．即当为非负整数时，若则．如，．给出下列关于的结论：①；②；③若，则的取值范围是；④当，为非负整数时，有；其中正确的结论有（填写所有正确的序号）．11．（2020秋•奉贤区期末）已知和两个有理数，规定一种新运算“”为：（其中，若，则．三．解答题（共14小题）12．（2021秋•市中区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆．如：1☆．（1）☆；（2）若☆☆，求的值；（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．若2☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小．13．（2021秋•西城区期末）我们将数轴上点表示的数记为．对于数轴上不同的三个点，，，若有，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．（1）若点是点关于原点的“星点”，则；若点是点关于点的“2星点”，则；（2）若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点的“星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由；（3）点在数轴上运动（点不与，两点重合），作点关于点的“3星点”，记为，作点关于点的“3星点”，记为．当点运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点的位置；若不存在，请说明理由．14．（2021秋•长沙期末）若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”．（1）请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由；（2）若关于的方程与关于的方程是“美好方程”，请求出的值；（3）若无论取任何有理数，关于的方程，为常数）与关于的方程都是“美好方程”，求的值．15．（2021秋•庆阳期末）若规定这样一种新运算法则：．如．（1）求的值；（2）若，求的值．16．（2021秋•任城区期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定※．例如：1※．（1）求※5的值；（2）若※，求的值．17．（2021秋•锦江区校级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．（1）已知关于的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？请直接写出正确的序号是．（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．18．（2020•丽水模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．（1）已知矩形的长12、宽2，矩形的长4、宽3，试说明矩形是矩形的“减半”矩形．（2）矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．19．（2020秋•江北区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上存在点，使得，则称点为点，的“的和谐点”．例如坐标为时，，则称为点，的“6的和谐点”．（1）若点为点，的“的和谐点”，且为等腰直角三角形，求的值；（2），的“10的和谐点”有几个，请分别求出坐标；（3）直接指出，的“的和谐点”的个数情况和相应的取值条件．20．（2020秋•九龙坡区期末）若在一个两位正整数的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数加6后得到一个新数，我们称这个新数为的“明德数”，如13的“明德数”为19．（1）38的“至善数”是，“明德数”是；若一个两位正整数的“明德数”的各位数字之和是的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数的值．21．（2020秋•凤凰县期末）阅读下列材料，然后回答问题：对于实数、我们定义一种新运算，（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对，若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对．（1）若，则，，；（2）已知，，，若正格线性数（其中为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．22．（2020秋•新宾县期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．（1）求的值；（2）若，求的值．23．（2020秋•中山区期末）当时，定义一种新运算：，例如：，，．（1）直接写出；（2）若，，，求出的值．24．（2020春•万州区期末）阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则．例如：，，，，试解决下列问题：（1）①为圆周率）；②如果，则数的取值范围为；求出满足的的取