2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】直角三角形中的分类讨论思想（解析版）

直角三角形中的分类讨论思想知识方法精讲1．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．4．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．5.分类讨论思想每个HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思想，称之为分类讨论思想。一．选择题（共4小题）1．（2021•大庆模拟）已知，，，则的面积为A．6或 B．6或 C．12或 D．12或【考点】勾股定理【分析】需要分类讨论：4为直角三角形的直角边，利用面积公式求解；4为直角三角形的斜边，利用勾股定理求得另一直角边，利用面积公式求解即可．【解答】解：在中，当是直角边，此时；在中，当是斜边，此时另一直角边长为：，此时．综上所述，的面积为6或．故选：．【点评】本题考查直角三角形的勾股定理以及三角形的面积，解题时需要进行分类讨论，以防漏接，属于基础题．2．有一个三角形两边长为4和5，要使三角形为直角三角形，则第三边长为A．3 B． C．3或 D．3或【考点】勾股定理的逆定理【分析】要使三角形为直角三角形，则该三角形其中两边的平方和等于第三边的平方．此题考虑两种情况：第三边是直角边或斜边．【解答】解：当要求的边是斜边时，则第三边的长是；当要求的边是直角边时，则第三边的长是．故选：．【点评】此题要能够熟练运用勾股定理的逆定理，不要漏掉一种情况．3．将等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，点的横坐标为2，则点的坐标为A． B．， C． D．，【考点】坐标与图形性质；直角三角形的性质【分析】根据图形和已知条件可以求得点的坐标，由等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，进而得到的坐标．【解答】解：三角形是等腰直角三角形，点的横坐标为2，，，，，点的坐标为，等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点逆时针旋转至△的位置，点的坐标为，故选：．【点评】本题考查直角三角形的性质、坐标与图形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．4．（2021秋•阳信县月考）在中，，，的对边分别为，，，，，则的长为A．2 B． C．4 D．4或【考点】勾股定理【分析】分两种情况利用勾股定理解答即可．【解答】解：在中，，，的对边分别为，，，，，则或，故选：．【点评】此题考查勾股定理，关键是根据分两种情况利用勾股定理解答．二．填空题（共8小题）5．（2020秋•普陀区期末）在中，，，点为边上一点，将沿直线翻折得到，点的对应点为点，联结，如果是以为直角边的等腰直角三角形，那么的长等于12或．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；等腰直角三角形【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．【解答】解：①当时，如图，此时，四边形是正方形，则，又是等腰直角三角形，属于，所以；②当时，如图，设，则，，由折叠可知，，由题意可知，，，，即是等腰直角三角形，，，，，解得，．故答案为：12或．【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．6．（2020秋•九江期末）已知在平面直角坐标系中，、、．点在轴上运动，当点与点、、三点中任意两点构成直角三角形时，点的坐标为，，，．【考点】勾股定理的逆定理；坐标与图形性质【分析】因为点、、在轴上，所以、、三点不能构成三角形．再分和两种情况进行分析即可．【解答】解：点、、在轴上，、、三点不能构成三角形．设点的坐标为．当为直角三角形时，①，易知点在原点处坐标为；②时，如图，，，解得，，点的坐标为，；当为直角三角形时，①，易知点在原点处坐标为；②时，，，，点的坐标为．综上所述点的坐标为，，，．【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗漏的进行分类．7．（2021•南浔区二模）如图是用三张大小各不相同的正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五张大小各不相同的正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三张，按如图方式组成图案，所围成的的面积可以为或或1或．【考点】勾股定理【分析】由勾股定理知，选取的纸片面积为1，2，3或2，3，5或1，4，5或1，3，4，四种情形，分别计算即可．【解答】解：五种正方形纸片，面积是1，2，3，4，5，五种正方形纸片的边长分别为1，，，2，，由题意得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，当选取的三块纸片的面积为1，2，3时，所围成的的面积为；当选取的三块纸片的面积为2，3，5，时，所围成的的面积为；当选取的三块纸片的面积为1，4，5时，所围成的的面积为；当选取的三块纸片的面积为1，3，4时，所围成的的面积为，故答案为：或或1或．【点评】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．8．（2021春•柳南区校级期末）有一个三角形的两边长是4和5，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为3或．【考点】勾股定理的逆定理【分析】因为没有指明哪个是斜边，所以分两种情况进行分析．【解答】解：①当第三边为斜边时，第三边；②当边长为5的边为斜边时，第三边．【点评】本题利用了勾股定理求解，注意要分两种情况讨论．9．（2021秋•乐平市期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为一边在外部作等腰直角．则点的坐标为或或．【考点】等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质【分析】分三种情形讨论求解即可．当，时，作轴于．由，推出，，可得点坐标，同法可得，当，，，当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，．【解答】解：如图，当，时，作轴于．，，，，，，，，，同法可得，当，，，当是等腰直角三角形的斜边时，是的中点，，，综上所述，满足条件的点的坐标为或或，．故答案为：或或，．【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（2021秋•鼓楼区校级期中）在学习完“探索全等三角形全等的条件”一节后，一同学总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给同桌解决：如图，做一个“”字形框架，其中，，足够长，于点，点从出发向运动，同时点从出发向运动，点，运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点，使与全等，则线段的长为18或28．【考点】全等三角形的判定【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当，时，列方程解得，可得；情况二：当，时，列方程解得，可得．【解答】解：设，则，因为，使与全等，可分两种情况：情况一：当，时，，，，解得：，；情况二：当，时，，，，解得：，，综上所述，或．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并利用分类讨论思想是解答此题的关键．11．（2021秋•徐州期中）已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三条边长的平方是5或3．【考点】勾股定理【分析】分2为直角边和斜边两种情形，分别利用勾股定理进行计算．【解答】解：当2是直角边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：；当2为斜边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：．故答案为：5或3．【点评】本题主要考查了勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键．12．（2021秋•诸暨市期中）如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数或．【考点】平行线的性质；三角形内角和定理【分析】分或两种情况，分别画出图形，即可解决问题．【解答】解：当时，如图，，沿折叠到，，当时，如图，连接，，，，△是等边三角形，，沿折叠到，，综上所述，的度数为：或．故答案为：或．【点评】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质等知识，能根据题意，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键．三．解答题（共11小题）13．（2020秋•德惠市期末）如图，是等边三角形，．动点，分别从点、同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为．（1）用含的代数式表示的长．（2）求的周长（用含的代数式表示）．（3）求的长（用含的代数式表示）．（4）当的边与垂直时，直接写出的值．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行线的性质【分析】（1）分两种情况讨论，点在线段上，点在射线上；（2）先证明是等边三角形，然后求出即可；（3）根据手拉手全等模型，证明即可；（4）分两种情况，，；【解答】解：（1）由题意得：，，是等边三角形，，分两种情况：当点在线段上，，当点在射线上；，的长为或；（2）是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，，的周长；（3）是等边三角形，是等边三角形，，，，，，，，，；（4）分两种情况：当时，如图：，，，，，当时，如图：是等边三角形，，，，，，，，的值为或．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等边三角形的性质，结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．14．（2021秋•历下区期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点坐标为，四边形为平行四边形，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，．（1）求反比例函数解析式；（2）点是轴上一动点，求最大时的值；（3）连接，在反比例函数图象上是否存在点，平面内是否存在点，使得四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】反比例函数综合题【分析】（1）先确定出，即可得出点坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先求出解析式，由平行四边形的性质可得，，，利用待定系数法可求解析式，求出点的坐标，再根据三角形关系可得出当点，，三点共线时，最大，求出直线的解析式，令即可求解；（3）若四边形为矩形，则是直角三角形且为一条直角边，根据直角顶点需要分两种情况，画出图形分别求解即可．【解答】解：（1）如图，过点作轴于，，，，，，，点在反比例函数图象上，，反比例函数解析式为；（2）点，点，解析式为：，四边形是平行四边形，，，，点，设解析式为：，，，解析式为：，联立方程组可得：，或（舍去），点；在中，，则当点，，三点共线时，，此时，取得最大值，由（1）知，，设直线的解析式为：，，解得，直线的解析式为：，令，即，得，最大时的值为6．（3）存在，理由如下：若四边形为矩形，则是直角三角形，则①当点为直角顶点时，如图2，过点作的垂线与交于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为点，，由“一线三等角”模型可得，则，，，，，，即，设，则，，点在反比例函数的图象上，则，解得，（负值舍去），，；②当点为直角顶点时，这种情况不成立；综上，点的坐标为，．【点评】本题考查了反比例函数综合问题，涉及矩形的判定与性质，相似三角形的性质与判定．第一问的关键是求出点的坐标，第二问的关键是知道当点，，三点共线时，取得最大值，第三问的关键是利用矩形的内角是直角进行分类讨论，利用相似三角形的性质建立等式．15．（2021秋•金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与直线交于点，点为轴上一个动点．（1）求直线的解析式；（2）若点的坐标为，过点作直线轴，分别交直线，于点，．求的面积；（3）若以点、、为顶点的三角形为直角三角形，求点的坐标．【考点】一次函数综合题【分析】（1）首先求出点的坐标，再将．代入，解方程即可；（2）求出，的坐标，从而得出的长度，代入三角形面积公式；（3）分或或，分别画图进行计算即可．【解答】解：（1）将代入得，，，，将．代入得，，解得，直线的解析式；（2）如图，当时，，，当时，，，，；（3）当时，，当时，，，，，，由题意知不可能为，综上，或．【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．16．（2021秋•河东区期末）在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，，且满足．（1），；（2）点在直线的右侧：且；①若点在轴上（图，则点的坐标为；②若为直角三角形，求点的坐标．【考点】三角形综合题【分析】（1）根据非负数的性质可得，的值；（2）①由，，得，从而得出点的坐标；②由为直角三角形，，只有情况：或，分别利用型全等可解决问题．【解答】解：，，，，故答案为：，4；（2）①如图，，，，，故答案为：；②，，，又为直角三角形，，只有情况：或，Ⅰ：如图，若，过点作于，，又，，，又，，，，，，；Ⅱ：如图，若，过点作于，，又，，，又，，，，，，，，综上所述，点的坐标为：或．【点评】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，非负数的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟悉基本模型利用型全等解决问题是关键，同时渗透了分类思想．17．（2021秋•嵩县期末）如图，点是等边内一点，是外的一点，，，．（1）求证：是等边三角形；（2）若是直角三角形，求的度数．【考点】全等三角形的性质；等边三角形的判定与性质【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，，根据等边三角形的概念证明结论；（2）根据全等三角形的性质得到，用表示出，，根据直角三角形的概念列式计算即可．【解答】（1）证明：为等边三角形，，，，，，是等边三角形；（2）解：，，是等边三角形，，，，，当时，，解得：，当时，，解得：，综上所述：是直角三角形时，的度数为或．【点评】本题考查的是全等三角形的性质、等边三角形的概念和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．18．（2021秋•婺城区校级月考）如图，在中，，，，点，分别在边，上，在线段左侧构造，使．（1）如图1，若，点与点重合，与相交于点．求证：．（2）当时，连接，取的中点，连接．①如图2，若点落在边上，求的长．②是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求的长；若不存在，试说明理由．【考点】相似形综合题【分析】（1）首先可证是等边三角形，则，，得，，从而有，即可证明结论；（2）①延长至，使，连接，同理可得是等边三角形，得，则，则是的中位线，求出的长，从而解决问题；②由①可知，，得，则，是直角三角形，此时；当时，作于，设，则，，，，在中，利用勾股定理列方程即可得出答案；当时，作于，于，于，设，则，，，，利用型相似，表示出，，再利用由得，，代入各线段长，得，从而解决问题．【解答】（1）证明：，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，；（2）解：①延长至，使，连接，，，，，，点落在边上，，是等边三角形，，，，是的中点，，，，，，，；②由①可知，，，，是直角三角形，此时；如图，时，是的中点，，作于，设，则，，，，，，，，解得：或（舍去），此时，；如图，时，作于，于，于，交于，于，设，则，，，，，，，，，，，，，，，，由得，，，化简得，，解得：或（舍去），此时；综上所述，的长为或或4．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，构造型相似是解题的关键，难度较大，属于中考压轴题．19．（2021秋•沭阳县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，．（三角形可用符号△表示，面积用符号表示）（1）直接写出点，的坐标；（2）在轴上是否存在点，连接，，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若动点从点出发，沿着轴正方向运动；当是直角三角形时，求长．【考点】几何变换综合题【分析】（1）根据平移的性质可直接得出答案；（2）设点，由，则，有，从而得出的坐标；（3）当时，得；当时，设，则，，，运用勾股定理列方程可解决问题．【解答】解：（1）由平移知，点，．（2）存在，理由：由平移知，，由（1）知，，，，设点，，，，，，或，或．（3）如图，当时，轴，，，如图，当时，设，，，，，解得：，，由题意知不可能为，综上所述，当为直角三角形时，的长为2或．【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了平移的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．20．（2021秋•郸城县月考）（1）观察猜想：如图1，是以、为腰的等腰三角形，点、点分别在、上，且，将绕点逆时针旋转．如图1：请直接写出旋转后与的数量关系．（2）探究证明：如图2，是以为直角顶点的等腰直角三角形，分别交与两边于点、点．将绕点逆时针旋转至图2所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展延伸：如图3，是直角三角形，，，、分别是与的中点，现将绕点旋转（旋转角，当是直角三角形时，求的长．【考点】几何变换综合题【分析】（1）结论．证明；（2）结论不成立．与的数量关系：．证明，可得结论；（3）分两种情形：当时，当时，分别利用勾股定理，相似三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）结论．理由：如图1中，，，，，，．故答案为：．（2）结论不成立．与的数量关系：．理由：，都是等腰直角三角形，，，，，，；（3）中，，，，，，，分别是，的中点，，，当时，，当时，，，，，，，，当时，，当时，综上所述，满足条件的的值为或．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．21．（2021秋•尤溪县期中）已知组正整数：第一组：，3，；第二组：，8，；第三组：，15，；第四组：，24，；第五组：，35，；（1）写出符合上述规律的第六组三个数：48，14，50；（2）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80？若存在，请求出这组数；若不存在，请说明理由；（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．【考点】勾股定理；规律型：图形的变化类；勾股定理的逆定理【分析】（1）根据题意可知，这组正整数符合规律，，，且为整数）．（2）分三种情况：；；；进行讨论即可求解；（3）由于，根据勾股定理的逆定理即可求解．【解答】解：（1）这组正整数符合规律，，，且为整数）．所以第六组三个数为：48，14，50；故答案为：48，14，50；（2）不存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80．理由如下：根据题意可知，这组正整数符合规律，，，且为整数）．若，则，此时符合题意；若，则，此时符合题意；若，则，此时不符合题意．所以存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80．（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：，，，且为整数）．因为，所以若一个三角形三边长分别为，，，且为整数），则该三角形为直角三角形．因为当，且为整数时，表示任意一个大于2的偶数，，均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．【点评】考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．注意分类思想的应用．22．（2021秋•仪征市期中）如图，在中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒