小升初提高教师版(衔接教材)

目录第一讲计算之公式应用、分数的拆分 2第二讲几何之五大模型及其应用 12第三讲行程之多次相遇 28第四讲行程之多人行程与钟面问题 41第五讲分数应用题之工程问题 51第六讲经典应用题综合 61第七讲数论综合 68第八讲期中测试题 76第九讲不定方程 79第十讲计数之加乘原理与技巧 87第十一讲数字谜与数阵图 97第十二讲逻辑推理 108第十三讲策略与操作 118第十四讲IQ测试和数学应用 128第十五讲期末测试题 140

暑假是备考小升初的黄金时期！让我们携手共进！第一讲计算之公式应用、分数的拆分暑假是备考小升初的黄金时期！让我们携手共进！引言：重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年引言：重点中学选拔考试的试卷，考察学生的计算能力是必不可少的，近几年来又以考察：1速算巧算2分数的计算技巧为明显趋势（分值大体在6分～12分），本讲我们将系统地归纳和总结这一部分的技巧和方法。教学目标教学目标回顾提取公因数（式）和凑整的应用。精讲公式应用、循环小数化分数、分数的拆分。专题回顾专题回顾★★★41.2×8.1+11×8.75+537×0.19分析：原式=41.2×8.1+11×8.75+537×0.19=41.2×8.1+11×8.75+（41.2+12.5）×1.9=41.2×（8.1+1.9）+11×8.75+12.5×1.9=412+11×8.75+12.5×1.9=412+1.1×87.5+12.5×1.9=412+1.1×12.5×7+12.5×1.9=412+12.5×8×1.2=412+120=532计算：1－解：原式=0★★★解：原式=★★★（北大附中入学选拔试题）求3333333×6666666乘积的各位数字之和。解：原式=9999999×2222222=（10000000-1）×2222222=11111110000000-2222222=11111107777778所以，各位数字之和为8×7=56专题精讲专题精讲下面这些公式是小学奥数中常见的计算公式，同学们一定要熟练掌握，这可是小升初考试中计算的好帮手。同时也希望同学们在做题时能够对一些规律性比较强的数字的计算自己进行归纳。常用公式：1、常用公式：1、1+2+3+4+…n＝；2、12+22+32+42+…+n2＝3、13+23+33+43+…+n3＝(1+2+3+4+…+n)2＝；4、5、平方差公式:6、完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2,（a-b）2=a2-2ab+b2.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.可以合写在一起，为（a±b）2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”7、……8、9、×＝123…n…321(n≤9)；10、12+32+52+…+（2n-1）2＝11、；；；……12、等比数列求和公式：一、循环小数化分数请同学们比较1与0.99999999……的大小,在讨论中引入循环小数化分数的推导.铺垫：以此题为例推导：设：为A,那么100A=10000A=所以：10000A-100A=1234-129900A=1234-12点评：循环小数化分数分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点后不循环的位数对应。分子是不循环加上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数做差得来。★★+=。解：原式=0.5++=此题也可以把两个循环小数展开，加完后得到，再化成分数。★★★(“希望杯”赛题)计算解：原式= ==常见公式的应用★★（首师大附中入学选拔试题） 解： 原式=【拓展练习】★★★（小学数学奥林匹克预赛试题）解：原式=2000/2001★★★★对自然数a和n，规定a▽n=，例如3▽2=32+3=12，那么：1)1▽2+2▽2+…+99▽2=；2)2▽l+2▽2+…+2▽99=； 解：（1）原式=12+1+22+2+……+992+99 =12+22+32+…+992+1+2+3+…+99 =×99×100×（2×99+1）+4950 =333300 （2）原式=21+20+22+2+23+22+…+299+298 =20+21+22+23+…+298+21+22+…+299 =（20+21+22+23+…+298）×（１＋２） =（299-1）×3 =3×299-3★★★求下列算式计算结果（1）（2）分析：（1）思路：11×15=165原式111×15=16651111×15=16665……………

分析：（2）6×7=4266×67=4422666×667=444222…………★★★★(浙江省小学数学活动课夏令营)=。解：原式==×(1+19)×10+1-=100【点评】对于2倍等比数列求和，有“借来还去”的妙法。本题对于后面的等比数列部分，可以“借来”，则有最后两个数的和等于前面一个数，依此前推，则总得数为两个，即为1,但这不是最终结果，因为要“还去”，即1-。一般地，对于Sn=a1+21a1+22a1+2n-1a1=(2n-1)a1★★★(2006年浙江省小学数学活动课夏令营)（1）=（2）12342+87662+2468×8766=解：（1）解设a=31415926原式=a2-(a-1)(a+1)=1（2）原式=12342+87662+2×1234×8766=(1234+8766)2=100000000【点评】这里介绍平方差公式与完全平方公式的变形应用： ★★★（我爱数学夏令营）计算：333×332332333–332×333333332分析：原式=333×（332332332+1）-332×（333333333-1）=333×（1001001×332+1）-332×（333×1001001-1）=333+332=665★★★解：原式= = = = =★★★★解：原式= = =+ =+ =4000【点评】本题利用性质：对各个分数进行计算、比较。分数的拆分★★★★(江苏省吴江市小学数学联赛)在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立。=====解：分数单位的拆分，主要方法是： 从分母N的约数中任意找出两个m和n,有： = 本题10的约数有:1,10,2,5. 例如：选1和2，有： 本题具体的解共有： 【点评】分子是1，分母是非零自然数的分数叫单位分数。人类对分数的认识就是从单位分数开始的。大约在公元前2000年，古埃及人就把分子大于1的分数表示成单位分数之和，如=，也有人把单位分数叫做埃及分数。101中学根据这一知识点，出过一道入学考试题：幼儿园阿姨要把7个苹果平均分给12个小朋友，每个苹果不能超过5份。请帮阿姨设计一种分法。（画图表示）专题展望专题展望欲看计算精彩，敬请继续关注：秋季班“计算之三大绝招：裂项、通项、换元”真题实战真题实战（浙江省小学数学活动课夏令营）0.76++解：原式=++ ===解：（清华附中入学考试题）计算：解：原式=(1994—1993)+(1992一199l)+(4-3)+(2-1)=(1十)×1994=1163计算：分析：这道题目，你会发现无规律可循.这时我们就要从这个思路走出来，，原式可将上式除以3即可得到，，学生平时做题时注意对典型例题的记忆.（3月北京二中入学选拔试题）计算12-22+32-42+…+20052-20062+20072解：原式=20072-20062+20052-……+52-42+32-22+12 =（2007+2006）（2007-2006）+（2005+2004）（2005-2004）+……+（3+2）（3-2）+1 =2007+2006+2005+2004+……+3+2+1 =×（2007+1）×2007 =2015028解：原式=数学语絮数学语絮钻进去——跳出来——推开去

广大奥数“研究生”，现在迫切希望尽快提高学习效率，畅游奥数世界，从而达到学得更透、用得更活、想得更快、算得更准这样的理想境界。甚至有些“研究生”已经学了很长时间，都还没有一个头绪，只是跟在老师后面走，解题还没有从“经验型”转向“研究型”，请注意，我一直将奥数学员称作奥数“研究生”，有两层用意，一是其实我们很多学员在奥数这一“专业”领域，已经造诣非凡，无愧于“研究生”这样的称号（不是说有些奥数题，连数学家都做不出来吗？当然，这样的情况有褒贬不一的意味，其实我们正应该从中看到我们所缺乏的数学研究的正道，往往靠“剑走偏锋”，学了很多小的解题技巧，并不能成为一代“剑客”“剑宗”“剑圣”的。）二是，我们既然是“研究生”，要拿出“研究”问题的一套态度、方法出来。所以，在这里，向大家隆重推荐“钻进去——跳出来——推开去”的学习方法与理念。

第一，

钻进去。接触一个新的专题，一定要“钻进去”，要知道这一专题的主要数学模型，要摸清它的几种变化，要学会它的分析方法与常用套路，只有深入钻研，才能真正把握。要解决学得要透的问题。第二，

跳出来。

仅仅停留在第一阶段还不够，那样容易“只见树木不见森林”，只摸到“大象”的腿说不出它的样子。我们要跳出来，这里要“跳”，意指不能仅仅从归纳出这一专题的数学模型的角度，归纳出这一数学模型所需要的所有数量关系式，是在第一阶段钻研时必须要做的功课，而现在，我们必须从更高的层面“俯视”这一专题，它的数学模型的最基本的数量关系，最关键的要素条件，最经典的解题绝招，最常用的分析方法。这是在这一阶段要注意思考的问题。

第三，推开去。

我们的奥数“研究生”初步接触奥数时，总是觉得每一道奥数题都是崭新的面孔，它的数量关系带有强烈的“个性”；稍高一个层次的“研究生”会觉得，奥数题是分很多专题的，每个专题有“规律”；最高水平的“研究生”，他的感觉是某道行程题可以看作工程题，某道工程题可以看作几何题，某道几何题它在用“比例”，用分数的“量率对应”，“鸡兔同笼”哪里还要用“假设法”——方程法是首选，而“假设法”的用处可多着呢？他的这些感觉一点也不矛盾，而是从更高的层次把握了题目中的数量关系，他会觉得，有的题少了一个条件不影响结果，而且更好解题。这就是“推开去”，也就是我们经常提到的“融会贯通”。相信大家通过努力，一定能达到这样的境界。而且，这是数学乃至其他很多学科研究学问的通则。

谈到这儿，我想起伟大的华罗庚先生的学习方法——厚薄法。他老人家的意思是说，他在学习数学的时候，对一本数学书，先把它读得厚了，怎么变厚了呢？要理解这本书的概念、定理、方法，就要参考很多的其它内容啊，书不是变“厚”了吗？然后再把它读“薄”了，怎么又变“薄”了呢？就是跳出来，回头看，书中的内容被概括，被提炼，只剩下精华了，能不“薄”吗？这厚薄过程之后呢，就是学以致用了，就是咱们所说的“推开去”，也就是应用与推广。我们不要忘了，数学家华罗庚先生对数学知识——优化统筹法，用其毕生的精力去推广，在非数学领域中应用，其用意良深啊。

第二讲几何之五大模型及其应用平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（分值一般在10分～16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值又较高，希望同学们重视并好好总结归纳。平面几何也是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现（分值一般在10分～16分），名牌中学的选拔考试面积题目，有逐步增加难度的趋势，这一部分的分值又较高，希望同学们重视并好好总结归纳。教学目标教学目标1．回顾等积变形与倍比关系；2．精讲五大模型及其应用。专题回顾专题回顾一、等积变形★★★三个正方形ABCD，BEFG，HKPF如图所示放置在一起，图中正方形BEFG的周长等于14厘米。求图中阴影部分的面积。【解】如图，连接KF，EG，BD。设KG，EF相交于O，DE，BG相交于V，由KF∥EG∥BD，S△KEG=S△FGE，S△DEG=S△BGE。设阴影阴影的面积为S,则S=S△KGE+S△DEG=S△FGE+S△BGE=SBEFG 正方形BEFG的周长为14厘米，边长为3.5厘米。所以SBEFG=3.52=12.25(平方厘米)【点评】等积变形方法的最常见形式是在一组平行线内，两个三角形同底等高的情况。二、倍比关系★★★如图，有四个长方形的面积分别是1平方厘米、2平方厘米、3平方厘米和4平方厘米，组合成一个大的长方形，求图中阴影部分的面积。【解法1】如图，阴影部分的面积可以“等积变形”为下图中的深色三角形的面积。已知等宽的长方形面积之比就是相对的底边之比，所以，设大长方形的长为a厘米，宽为b厘米，则有：面积3的长方形与面积为2的长方形的公共边的长为所以，阴影部分的面积为××b=××10=(平方厘米)【解法2】如图，S阴影=S△ABH-S△ABG=S长方形ABFP-S长方形ABOE 长方形ABFP=×长方形ABCD=×10 长方形ABOE=×长方形ABCD=×10 S阴影=×（×10-×10）=(平方厘米) 【点评】本题除了体现等积变形的思想，另外主要运用了长方形等宽时，面积与长的正比关系。学生因为才上六年级，缺乏这样的基础，可以铺垫一下，讲解为两个长方形宽相等，面积之间的倍数等于长之间的倍数。专题精讲专题精讲【几个重要的模型】模型一：同一三角形中，相应面积与底的正比关系： 即：两个三角形高相等，面积之比等于对应底边之比。S1︰S2=a︰b；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”） 如图，三角形AED占三角形ABC面积的×=模型二：任意四边形中的比例关系（张老师谓之“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;③S的对应份数为（a+b）2模型四：相似三角形性质①;②S1︰S2=a2︰A2模型五：燕尾定理S△ABG：S△AGC＝S△BGE：S△GEC＝BE：EC；S△BGA：S△BGC＝S△AGF：S△GFC＝AF：FC；S△AGC：S△BCG＝S△ADG：S△DGB＝AD：DB；★★★★（北京市“迎春杯”刊赛）如下左图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D，CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l，那么三角形DEF的面积是_____.【解】连结AE、BF、CD(如上右图).由于三角形AEB与三角ABC的高相等，而底边EB=2BC，所以三角形AEB的面积是2.同理，三角形CBF的面积是3，三角形ACD的面积是1.类似地三角形AED的面积=三角形AEB的面积=2.三角形BEF的面积=2×(三角形CBF的面积)=6.三角形CFD的面积=3×(三角形ACD的面积)=3.于是三角形DEF的面积等于三角形ABC、AEB、CBF、ACD、AED、BEF、CFD的面积之和，即1+2+3+1+2+6+3=18.【点评】应用模型一的数量关系，巧添三条辅助线，这三条辅助线其实是同一类的画法。★★★如图，△ABC中AE=AB，AD=AC，ED与BC平行，△EOD的面积是1平方厘米。那么△AED的面积是平方厘米。【解】 因为AE=AB，AD=AC，ED与BC平行，所以ED︰BC=1︰4,EO︰OC=1︰4，S△ABC=4S△EOD=4；则S△CDE=4+1=5；又因为S△AED︰S△CDE=AD︰DC=1︰3,所以S△AED=5×=（平方厘米）【点评】本题涉及模型一与模型四，即同一三角形中，底边之比等于相应面积之比；另外用到相似三角形的相似比都相等。 ★★★如下图所示，AE︰EC＝1︰2，CD︰DB＝1︰4，BF︰FA＝1︰3，三角形ABC的面积等于1，那么四边形AFHG的面积是__________。【解】如下图所示，我们分别求出BFH、AGE的面积问题也就解决。如上图，我们设BFH＝x，则AFH＝3x；设AHE＝y，则CEH＝2y；于是有ABE＝4x+y＝ACF＝3y+3x＝有，则9x＝，所以x＝；如下图，我们设AEG＝a，则CEG＝2a；设CDG＝b，则BDG＝4b；于是有ACD＝3a+b＝BCE＝2a+5b＝有，则13a＝，所以a＝；这样，AFHG＝ABE－BFH－AEG＝－－＝。【另解】基于“鸟头定理”及四边形相关结论（“蝴蝶定理”或者“巨人定理”）。BH:HE=S△BFC:S△EFC=︰(×)=1︰2…所谓“蝴蝶定理”，呵呵所以S△BFH=S△ABE×(×)=×(×)=…所谓“鸟头定理”同理：AG︰GD=S△ABE︰S△BDE=︰(×)=5︰8所以，S△AGE=S△ADC×(×)=×(×)=所以，S四边形AFHG＝S△ABE－S△BFH－S△AEG＝－－＝如图，在面积为1的三角形ABC中，DC=3BD,F是AD的中点，延长CF交AB边于E,求三角形AEF和三角形CDF的面积之和。【解】连接DE,于是三角形AEF的面积=三角形EFD的面积，所求被转化为三角形EDC的面积。因为F是AD中点，所以三角形AEC的面积和三角形EDC的面积相等，设SBDE为1份,则SAEC=SEDC为3份因此SABC一共7份，每份面积为所以SEDC占3份为.【点评】本题还可用“燕尾定理”来解：连接BF，设SBDF为1份，则SDFC为3份，SACF为3份，所以AE︰EB=3︰4。因为F是中点，SDFC=SAFC，所以，所求面积=SAEC=SABC=★★★（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【解】根据“等高的两三角形面积比等于底之比”，有：所以，S人工湖=S总-S陆地＝0.58（平方千米）【点评】本题应用模型二“蝴蝶定理”。 【拓展】如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。【解】在梯形中，三角形AOB的面积=三角形DOC的面积，设三角形AOB的面积为x平方厘米。则有x2=9×25=152 X=15 所以，梯形ABCD的面积为15×2+9+25=64（平方厘米）★★★如图，在梯形ABCD中，AD︰BE=4︰3，BE︰EC=2︰3，且△BOE的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是平方厘米。【解】AD︰BE︰EC=8︰6︰9， ，=。 -=-， =10，=40。 ★★★在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点(如图)，连接线段AF、BG、CH、DE，由这四条线段在正方形中围成的小正方形的面积占大正方形面积的分之；【解】如图，通过操作，三角形BOC的面积=正方形BOQP的面积 同理，其它相应部分的三角形面积都可转化为一个小正方形的面积， 也即，大正方形是由五个小正方形组成的。 所以，阴影部分的面积为大正方形面积的。【点评】这样的解法比较巧妙，应用全等三角形的知识。 一般地，还可以如下解： 根据题意，得AG∥CE，BH∥DF，所以MNOQ是正方形， 又因为H是AD中点，所以AM=MN，HM=DN； 所以三角形AHM的面积=三角形AND=三角形ADG=正方形ABCD 又根据三角形ADG+三角形CBE+三角形ABH+三角形CDF=正方形ABCD 所以，重复加了4个类似于AHM的三角形，少加了中间的阴影部分，都能等于大正方形， 可知，四边形MNOQ的面积=4个三角形的面积之和=4×正方形ABCD=正方形ABCD 【拓展】若E、F、G、H 分别是四边的三等分点(如图)，那么所得的小正方形的面积占大正方形面积的分之；【解】思路同上，但要注意，四个三角形ABH之和=4××正方形ABCD=正方形ABCD 因为OE︰CQ︰OQ=1︰3︰6又可以计算出，三角形OBE的面积=××正方形ABCD=正方形ABCD所以空白部分的面积为-×4=（正方形ABCD的面积）所以阴影部分的面积为1-=。★★★如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分四边形PQRS的面积之比。【解】设SAED=S1,SBGC=S2,SABF=S3,SDHC=S4连接BD知S1=SABD,S2=SBCD所以S1+S2=(SABD+SBCD)=S四边形ABCD同理S3+S4=S四边形ABCD于是S1+S2+S3+S4=四边形ABCD的面积注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形PQRS因此四块阴影的面积和就等于四边形PQRS的面积。解法2：特殊值（只用于填空选择）将四边形画成正方形，就如例8，结论很容易得到★★★（06年西城某名校试验班选拔真题）如图，已知长方形ADEF的面积是16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是____．【解】连结对角线AE(如图)，三角形AEC的面积16÷2—4=4．因为△ACF与△AEC有相同的高线AF，且它们的面积都等于4，所以CF=CE．同理，△ABE的面积是16÷2—3=5，所以CF=CE.同理，△ABE的面积是16÷2—3＝5，所以BD/BE=3/5，即BE=5/8DE=5/8AF．又因为△BCE与△ACF有相等的高(CE=CF)，故△BCE的面积是△ACF面积的5/8，即为4×5/8=2.5从而△ABC的面积等于16－(3+4+2.5)=6.5．【点评】本题还可以从长方形的宽一定，通过面积比确定长的比。如图，DB︰BE=长方形ADBM︰长方形MBFE=（3×2）︰（16-3×2）=3︰5所以长方形OBEC的面积=长方形NDEC的面积×=（16-4×2）×=5 所以三角形BCE的面积为5÷2=2.5所以三角形ABC的面积为16－(3+4+2.5)=6.5．★★★（首师附中选拔考试试题）设正方形的面积为1．右图中E、F分别为AB、AD的中点．GC=，则阴影部分的面积为____．

【解】如下图所示，由GC=，推知，所以所求面积为EB×AH÷2=. 专题展望专题展望欲看几何精彩，敬请继续关注：秋季班“圆与扇形、勾股定理与弦形”真题实战真题实战（第五届《小数报》数学竞赛初赛应用题第6题）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与梯形的一条腰DC平行，AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC=BC. 求梯形ABCD的面积.【解】三角形ABE的面积比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD与三角形ACD面积相等(同底等高)，因此也与三角形ACE面积相等，从而三角形ABE的面积比三角形ACE大4平方米.但EC=BC，所以三角形ACE的面积是三角形ABE的，从而三角形ABE的面积是4÷(1－)=12(平方米)，梯形ABCD的面积=12×(1+×2)=28(平方米)（北京市第八届“迎春杯”数学竞赛决赛第一题第4题）如右图BE=BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______.【解】上图中，三角形AEC与三角形ABC的高相等，而BE=BC，于是EC=BC，又由于三角形AED与三角形AEC的高相等，而CD=AC,于是AD=AC,所以，三角形AED的面积=×三角形AEC的面积=××三角形ABC的面积=×三角形ABC的面积【点评】这里也就说运用了模型一的数量关系。如图ABCD是梯形，BD是对角线，E为BD上一点，EF是三角形AED的高，EG是三角形BCE的高。如果三角形ABE和三角形BCE的面积分别为6和10，EF：EG=7:4,那么求梯形ABCD的面积。【解】 因为三角形BEG与三角形DEF相似，所以BE︰ED=GE︰EF=4︰7。所以三角形AED的面积=6÷4×7=10.5（平方厘米）所以三角形CED的面积=10÷4×7=17.5(平方厘米) 所以梯形ABCD的面积=6+10.5+10+17.5=44(平方厘米)如图，直角梯形ABCD中，AB=12，CD=9，三角形BEF的面积是40／9，且三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积相等，BC长是多少？【解】所以梯形面积是三角形DCF的面积是根据条件有21BC=9×FC×3所以FC=BC由于三角形AED和FCD等积AED的高BC是FCD的高FC的倍，所以AE是DC的倍，即9×=7因此EB=12-7=5所以BF=2×÷5=BF=BC所以BC=×=8方法2：根据梯形面积是三角形的3倍（CD+AB）×BC=3××AE×BC，BC约去，求出AE=7，后面自己做。（北大附中入学试题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF和BC平行，ECH的面积是7平方厘米，求EG的长。【解】×EG×AE+×EG×EB=7平方厘米即×EG×AB=7平方厘米；EG=3.5厘米数学语絮数学语絮几何之父欧几里德 我们现在学习的几何学，是由古希腊数学家欧几里德（公元前330～前275）创立的。他在公元前300年编写的《几何原本》，2000多年来都被看作是学习几何的标准课本，所以我们称欧几里德为几何之父。 欧几里德生于雅典，30岁就成了有名的学者。应当时埃及国王的邀请，他客居亚历山大城，一边教学，一边从事研究。他治学严谨，循循善诱，反对投机取巧和急功近利。一次，权倾一时的埃及国王请欧几里德为他讲授几何学，欧几里德讲了半天，国王听得一头雾水，无奈之中，他问欧几里德：“了解几何学有没有什么简单的方法？”欧几里德回答：“在几何学里，大家只能走一条路，没有专为国王铺设的大道。”这几句话后来成为千古传诵的学习箴言。 虽然古希腊的数学研究有着十分悠久的历史，曾经出过一些几何学著作，者都只讨论某一方面的问题，内容不够系统。欧几里德汇集了前人的成果，采用前所未有的独特编写方法，先提出定义、公理或者公式，然后由简到繁地证明了一系列定理，讨论了平面图形和立体图形，还讨论了整数、分数和比例等等，终于完成了《几何原本》这部巨著。 这本书是历史上曾经出现过的最成功的教科书。它刚一问世就取代了以前所有的几何教科书，从此以后一直使用了2000多年。1482年此书印刷发行后，重版了大约1000多次，还被译成了多种文字。 第三讲直线型面积计算2各种具有一定综合性的直线形面积问题，重点是需要利用同底或同高的两三角形的面积相除的商等于对应高或对应底相除的商这一性质的问题，其中包括四边形和梯形被两条对角线分割而成的4个小三角形之间的面积关系．1．图16-1中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?【分析与解】ABD，ABC等高，所以面积的比为底的比，有,所以=180=90(平方厘米)．同理有×90=30(平方厘米)，×30=22.5(平方厘米)．即三角形AEF的面积是22.5平方厘米．2．如图16-2，把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米?【分析与解】方法一：如下图，连接BD，ED，BG，有EAD、ADB同高，所以面积比为底的比，有．同理．类似的，还可得，有=30平方厘米．连接AC，AF，HC，还可得，，有=30平方厘米.有四边形EFGH的面积为EAH,FCG,EFB,DHG,ABCD的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.)方法二：连接BD，有EAH、△ABD中∠EAD+∠BAD=180°又夹成两角的边EA、AH，AB、AD的乘积比，=2×3=6，所以=6．类似的，还可得=6，有+=6（+)=6=30平方厘米．连接AC，还可得=6，=6，有+=6（+）=6=30平方厘米．有四边形EFGH的面积为△EAH，△FCG，△EFB，△DHG，ABCD的面积和，即为30+30+5=65平方厘米．评注：方法二用到了一个比较重要的性质，若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°)，那么构成这个角的两边乘积的比为面积比．这个原则，我们可以在中学数学中的三角部分学到，当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明，有兴趣的同学可以自己试试．3．图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【分析与解】方法一：如下图所示，为了方便叙述，将某些点标上字母．因为△ADE、△DEC高相同，所以面积比为底的比，有=，所以=×6.同理有=，所以=×7．所以有△ADE与△ABE的面积比为6：7．又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷.)所以=×39=18(公顷)，=×39=21(公顷.)显然，最大的三角形的面积为21公顷．方法二：直接运用例2评注中的重要原则，在△ABE，△CDE中有∠AEB=∠CED，所以△ABE，△CDE的面积比为(AE×EB)：(CE×DE)．同理有△ADE，△BCE的面积比为(AE×DE)：(BE×EC)．所以有×=×，也就是说在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．即×6=×7，所以有△ABE与△ADE的面积比为7：6，=×39=21公顷，=×39=18公顷．显然，最大的三角形的面积为21公顷．评注：在方法二中，给出一个很重要的性质：在所有凸四边形中，连接顶点得到2条对角线，有图形分成上、下、左、右4个部分，有：上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积．希望大家牢牢记住，并学会在具体问题中加以运用.4.如图16-4，已知．AE=AC，CD=BC，BF=AB，那么等于多少?【分析与解】如下图，连接AD，BE，CF.有△ABE，△ABC的高相等，面积比为底的比，则有=，所以=×=同理有=,即==×=.类似的还可以得到=×=，=×=．所以有=-(++)=(1)=．即为．5．如图16-5，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，连接FC，△DBF、△BFG的面积相等，设为x平方厘米;△FGC、△DFC的面积相等，设为y平方厘米，那么△DEF的面积为y平方厘米．=2x+2y=1，=x+y=l×=．所以有．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x，②式右边比①式右边大0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25．而阴影部分面积为y+y=×0.25=平方厘米．评注：将这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积，再根据已知条件列出一个二元一次方程组，最终求出解的方法称为“凌氏类蝶形法”．类蝶形问题必须找好两块独立的图形，还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系．类似的还有一道题：△ABC中，G是AC的中点，D、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已△ABM的面积比四边形FCGN的面积大1.2平方厘米，则△ABC的面积是_______平方厘米?有兴趣的同学可以自己试试．6．如图16-6，已知D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成，其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【分析与解】因为E是DC中点，F为Ac中点，有AD=2FE且阳平行于AD，则四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有③=④，②×⑤=③×④，②：⑤=A：F=4．又已知②-⑤=6，所以⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4：8，所以②×⑤=④×④：16，而③=④，所以③=④=4，梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为8+4+4+2=18．有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比，即为1：4．所以△ADC面积为梯形ADEF面积的=，即为18×=24．因为D是BC中点，所以△ABD与△ADC的面积相等，而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和，即为24+24=48平方厘米．三角形ABC的面积为48平方厘米．评注：梯形中连接两条对角线．则分梯形为4部分，称之为：上、下、左、右．如下图：运用比例知识，知道：①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比．②左、右部分的面积相等．③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积．7．图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如图16-8，将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图16—8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?【分析与解】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母．有∠ABC为直角，而∠CED=∠ABC，所以∠CED也为直角.而CE=CB=5.△ADE与△CED同高，所以面积比为底的比，及===，设△ADE的面积为“8”，则△CED的面积为“5”．△CED是由△CDB折叠而成，所以有△CED、△CDB面积相等，△ABC是由△ADE、△CED、△CDB组成，所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为×5×12=30，所以“1”份对应为，那么△ADE的面积为8×=13平方厘米．即阴影部分的面积为13平方厘米．8．如图16-9，在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12，已知梯形的上底长是下底长的．那么余下阴影部分的面积是多少?【分析与解】不妨设上底长2，那么下底长3，则上面部分的三角形的高为10÷2×2=10，下面部分的三角形的高为12÷3×2=8，则梯形的高为lO+8=18．所以梯形的面积为×(2+3)×18=45，所以余下阴影部分的面积为45-10-12=23．评注：这道题中上下底、梯形的高都不确定，但是余下阴影部分的面积却是确定的值，所以面积值与上下底、高的确定值无关，所以可以大胆假设，当然也可以谨慎的将上底设为2x下底为3x．9．图16-10中ABCD是梯形，三角形ADE面积是1．8，三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【分析与解】设△ADF的面积为“上”，△BCF的面积为“下”，△ABF的面积为“左”，△DCF的面积为“右”．左=右=9；上×下=左×右=9×9=81，而下=27，所以上=81÷27=3.△ADE的面积为1.8，那么△AEF的面积为1.2，则EF：DF=：=1.2：3=0.4．△CEF与△CDF的面积比也为EF与DF的比，所以有=0.4×=0.4×(3+9)=4.8．即阴影部分面积为4.8．10．如图16-11，梯形ABCD的上底AD长为3厘米，下底BC长为9厘米，而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?【分析与解】△ADD与△BCO的面积比为AD平方与BC平方的比，即为9：81=．而△DCO与△ABO的面积相等为12，又×=×=12×12=144，因为144÷9=4×4，所以=4，则=4×9=36，而梯形ABCD的面积为△ADO、△BCO、△ABO、△CDO的面积和，即为4+36+12+12=64平方厘米．即梯形ABCD的面积为64平方厘米．11．如图16-12，BD，CF将长方形ABCD分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【分析与解】连接BF，四边形BCDF为梯形，则BFE的面积与黄色CDE的面积相等为6.，所以..又因为BD是长方形ABCD的对角线，所以.绿色四边形面积为11平方厘米．12．如图16-13，平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．【分析与解】因为平行四边形面积等于底与对应高的积，所以有14×BC=16×CD，即BC：CD=8：7，而2(BC+CD)=75，所以BC=20，以BC为底，对应高为14，20×14=280，所以平行四边形ABCD的面积为280平方厘米．13．如图16-14，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米?【分析与解】为了方便叙述，将某些点标上字母，如下图：大正方形的面积为，所以大正方形的边长应为1.上面两个长方形的面积之比为=3：4，所以IG=．下面两个长方形的面积之比为=2：l，所以IG=．那么LI=，那么阴影小正方形的面积为．14．图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形，求阴影部分的面积．【分析与解】如下图所示，所以阴影部分在图中为四边形EFGH．设阴影部分面积为“阴”平方厘米，正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米．DGH、HMG的面积相等，GCF与GPF；FBE与EOF，HAE与HNE这3对三角形的面积也相等．阴一空=2×3=6，阴+空=lO×10=100．阴=(6+100)÷2=53．即阴影部分的面积为53平方厘米．15．如图16-16，长方形被其内的一些直线划分成了若干块，已知边上有3块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少?【分析与解】如下图所示，为了方便叙述，将部分区域标上序号，设阴影部分面积为“阴”：(49+①+35)+(13+②)=矩形的面积，①+阴+②=矩形的面积．比较上面两个式子可得阴影部分的面积为97．

第三讲行程之多次相遇行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，多次相遇在行程问题中占有巨大比例，可说是重中之重。行程问题是各种竞赛与小升初入学考试必考大题，多次相遇在行程问题中占有巨大比例，可说是重中之重。教学目标教学目标回顾火车过桥与流水行程；精讲多次相遇：在直线型与环线型跑道上的不同规律（在相同时间内共行单程数并不相同）；在同一跑道上同一情况下出发后的不同类型相遇（即迎面相遇和追及相遇）；通过不同数量关系的分析，掌握相应的分析工具（画线段图、折线图等）。专题回顾 专题回顾火车过桥★★（《小学生数学报》第八届竞赛试题）一列火车通过长320米的隧道，用了52秒。当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高，结果用了1分36秒。求火车通过大桥时的速度。【解】设火车车身长为x米。（864+96）÷96=10米★★（2005年第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛）火车以标准速度通过1000米的大桥用50秒，通过1500米的大桥用70秒。如果火车速度降低20％，那么火车通过长1950米的隧道用秒。【解】标准速度是(1500—1000)÷(70—50)=25(米／秒)。火车长25×50—1000=250(米)。火车通过长1950米的隧道用(1950+250)÷[25×(1—20％)]=110(秒)。【点评】前者根据路程差与时间差的对应关系求出速度；后者运用了列车过桥的典型数量关系。★★（2007年第十二届《“华罗庚金杯“少年数学邀请赛》决赛）李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所记的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米，问货车行驶的速度是多少？【解1】设货车车速为x千米/小时，由题意得，（x+60）×=,解得x=44【解2】货车总长=0.52(千米)；客车行进的距离60×=0.3(千米)货车行进的距离0.52-0.3=0.22(千米)货车的速度：0.22÷=44(千米/小时)【解3】货车总长=0.52(千米)；则两车的速度和为0.52÷=104(千米/小时)货车的速度为104-60=44（千米/小时）【点评】今年的“华杯赛”决赛试题只考了这一道行程题，其难度较低，但要注意“细节决定成败”，出题者在这儿挖了一些小“坑”，比如单位转换。对于总的数量关系，应把握：速度和×时间=货车车长流水行程★★（第11届《华罗庚金杯少年数学邀请赛》模拟试题）两个口岸A、B沿河道相距离360千米。甲船由A到B上行需要10小时，下行由B到A需要5小时。若乙船由A到B上行需要15小时，那么下行由B到A需要（）小时。A．4B.5C.6D.7【解】由已知，甲船上行需要10小时，则甲船上行每小时行36千米，即：甲船速-水速=36；÷甲船下行需要5小时，则甲船下行每小时行72千米，即：甲船速+水速=72；根据和差关系求出水速：（72-36）÷2=18（千米）又乙船上行需要15小时，则乙船上行每小时行24千米，即乙船速－水速=24;乙船速+水速=(乙船速－水速)+2×水速=24+2×18=60，所以乙船下行需要360÷6=6(小时)【点评】通过本题，我们可以总结出： 在流水行程问题中，对于“静水速度、水流速度、逆水速度、顺水速度”四个量，只要知道其中两个量，就可以求出另外两个量。★★（小学生数学报）一条船顺水航行48千米，再逆水航行16千米，共用了5小时；这知船顺水航行32千米，再逆水航行24千米，也用5小时。求这条船在静水中的速度。【解】这道题的数量关系比较隐蔽，我们条件摘录整理如下：顺水逆水时间48千米16千米5小时32千米24千米比较条件可知，船顺水航行48千米，改为32千米，即少行了48-32=16千米，那么逆水行程就由16千米增加到24千米，这就是在相同的时间里，船顺水行程是逆水行程的16÷8=2倍。所以“逆水航行16千米”，可转换为“顺水航行16×2=32千米”，这样船5小时一共顺水航行18+32=80千米，船顺水速为80÷5=16千米，船逆水速为16÷2=8千米。船静水速为（16+8）÷2=12千米。【点评】有些题的数量关系不明显，要通过整理、比较找出题中的隐含关系。专题精讲专题精讲线段跑道【引题】★甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的。二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回。已知二人第二次相遇的地点相距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地相距多少千米？【解】根据题意，在相同时间内，甲、乙所行的路的比是，就是说，如果把全程看作有5份路，那么甲行3份，乙行了2份，这样，可以画出线段图，并标出第一次相遇的地点。根据题意，两人从第一次相遇到第二相遇，其间共需行进两个单程，也就是说甲行进了（3＋3）6份路程，乙行进了（2＋2）4份路程，这样，又可以画出线段图，并标出第二次相遇的地点。结合图示，很容易看出：两次相遇点间的距离20千米，正好相当于全程的，所以A、B两地间路程可求：20÷＝50（千米）★（北京二中选拔考试最后一道大题）甲，乙二人分别从A，B两地同时相向出发，往返于A，B之间，第一次相遇在距A地30公里处，第二次相遇地点在距第一次相遇地右边10公里处。求（1）A，B两地距离。（2）甲，乙的速度比。【解】画图易知，利用路程的倍数关系，第二次相遇的地点距离B点：（30×2－10）÷2=25公里；所以（1）A，B两地距离30＋10＋25=65公里；（2）甲，乙的速度比为30：35=6：7★★（思而行奥数研究中心教研组改编题）有甲、乙两个玩具狗，分别从A、B两点同时出发，相向而行，乙的速度是甲的。二狗相遇后继续行进，甲到达B点和乙到达A点后都立即沿原路返回。如此不停，已知它们第1000次迎面相遇的地点相距第1001次迎面相遇的地点20厘米，求A、B两点相距多少厘米？【解】根据题意，在相同时间内，甲、乙所行的路的比是，就是说，如果把全程看作有5份路，那么甲行3份，乙行了2份。在第1000次相遇时，共行了（1＋1000×2）2001个单程，根据甲在这段时间内的行程，求甲的位置：2001×3÷（5×2）＝600……3在第1001次相遇时，共行了（1+1001×2）2003个单程，根据甲在这段时间内的行程，求甲的位置：2003×3÷（5×2）＝600……9所以作图如下：请注意体会这里的周期是（5×2）,而余数的对应关系应如上图所示，在实际作图中，这些余数不用标出来。结合图示，很容易看出：两次相遇点间的距离20厘米，正好相当于全程的，所以A、B两地间路程可求：20÷＝50（厘米）【拓展】有甲、乙两个玩具狗，分别从A、B两点同时出发，相向而行，乙的速度是甲的。二狗相遇后继续行进，甲到达B点和乙到达A点后都立即沿原路返回。如此不停，已知它们第2008次迎面相遇时距A点20厘米，求A、B两点相距多少厘米？【解】这两个玩具狗在第2008次迎面相遇时，共行了（1＋2008×2）4017个单程，根据甲在这段时间内的行程，求甲的位置4017×3÷（5×2）＝1205……1所以，20厘米，正好相当于全程的，20÷＝100（厘米）【点评】通过例1的学习，同学们一定要体会：在线段上多次相遇问题的规律是，如果两人两地同时出发，相向而行，则在第N次迎面相遇时，共行了（2N+1）个单程，且在这段时间内每人的行程都是自己在一个单程内行程的（2N+1）倍。★★AB两地相距4千米，在从A地到B地的公交路线上，只有两辆BUS，一辆平均每小时行驶30千米，另一辆因为服役时间太长，所以跑不动了，平均每小时行20千米（乘客上下车时间忽略不计）。早上都从A地发车，求第三次迎面相遇点与第四次迎面相遇点相距多远？【解】根据题意，只关心迎面相遇点，所以我们不妨把线段AB两地看作一个封闭环形。因为两车速度比为30︰20=3︰2,则第N次相遇，共行了2N个单程，且甲车在每共行两个单程的时间里，行了“环形路程”的,如图：具体算法：3×3÷5=1……43×4÷5=2……2所以两车相距4÷5×2=1.6(千米)★★AB两地相距4千米，在从A地到B地的公交路线上，只有两辆BUS，一辆平均每小时行驶30千米，另一辆因为服役时间太长，所以跑不动了，平均每小时行20千米（乘客上下车时间忽略不计）。早上5：00都从A地发车，到晚上6：00共相遇了多少次？（两车在同一地视为一次相遇，包括出发时为第一次）【解】根据题意,两车所行速度比为30︰20=3︰2,所以两车各行完一个单程所需要时间比为2︰3,可作两车运动的折线图如下:由图可知,每五次相遇时,共行了十个单程程,正好是一个周期,(这个周期应看作包括五相遇点,第六次应算作下一个周期.)所以每行两个单程相遇一次，所以根据甲乙速度和与时间,求出甲乙共行了多少个单程:从早上5:00到晚上6:00,共行了13时,(30+20)×13÷4=162(个)……2（千米）162÷2=81（次）★★★甲、乙两辆车分别在A、B之间和A、C之间往返运行。已知A、B两地之间的距离为10千米，A、C两地之间的距离为15千米。若甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶50千米，现在两辆车同时从A站出发，经过多少小时，两车第一次在A站相遇？【解1】：当两车再次相遇时，所走路程不同，但所用时间相同，故可以考虑以时间做为等量关系．又当两车相遇时，两车所往返的次数必为整数，故可设两车再次相遇时甲车往返了x次，乙车往返y次，我们只需根据所用时间相等，求出满足条件的x、y的最小整数值即可．设两车再次相遇于A站时，甲车往返了x次，乙车往返了y次，列方程得：当y=5时，x即可取得整数．所以：当乙车第五次返回A站时，再次与甲车相遇，此时乙车行驶的路程为15×2×5=150，所用的时间为150÷50=3（小时）答：经过3小时，甲、乙两车又在A站相遇．【解2】：甲每过20/40=1/2小时回到A一次乙每过30/50=3/5小时回到A一次因为[1/2,3/5]=3所以最早经过3小时，两车又在A站相遇二、环形跑道★★★甲从A点、乙从B点同时出发相背而跑。两人相遇后，乙即转身与甲同向而跑，当甲跑到A时乙恰好跑到B。当甲追上乙时，甲从出发算起共跑了多少米？【解】设两人在C点相遇(见右图)。乙从B到C时，甲从A到C；乙从C到B时，甲从C到A。说明A到C与C到A相等，都是200米，甲的速度是乙的2倍。两人在C点相遇后，乙跑1圈甲跑2圈，所以甲追上乙时共跑了200+400×2=1000(米)。【点评】这里应用了比例关系，即时间一定，路程与速度成正比。对于六年级同学来说，掌握数量关系中的定量（不变）和变量（变化）之间的比例关系，行程中使用频率很高，而在其它诸如平面几何、价格、工程等等关系当中都有很重要的应用。如图5，在长为490米的环形跑道上，A、B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从A、B两点出发反向奔跑．两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25％，乙把速度提高了20％．结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米?【解1】相遇后乙的速度提高20％，跑回B点，即来回路程相同，乙速度变化前后的比为5︰6，∴所花时间的比为6：5。设甲在相遇时跑了6单位时间，则相遇后到跑回A点用了5单位时间。设甲原来每单位时间的速度V甲，由题意得：6V甲＋5×V甲×（1＋25％）＝490，得：V甲＝40。从A点到相遇点路程为40×6＝240，∴V乙＝（490－50－240）÷6＝。两人速度变化后，甲的速度为40×（1＋25％）＝50，乙的速度为×（1＋20％）＝40，从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，∴甲一共跑了490÷（50－40）×50＋240＝2690（米）【点评】对于行程问题，“抓等量，看比例”是要诀。至于环形跑道问题，抓住相遇（或追及的）的路程和（或路程差）恰好都是一圈。（这是指同地出发的情况，不同地，则注意两地距离在其中的影响）另外，本题涉及量化思想，即将比中的每一份看作一个单位，进一步来说，一个时间单位乘以一个速度单位，得到一个路程单位。【解2】设相遇处为C点：因为甲前后速度比为1︰125%=4︰5，乙前后速度比为1︰120%=5︰6,所以，乙先后在BC处的时间比为6︰5,也即甲先后两段路程AC与CA所用的时间比也是6︰5，则甲所行AC段路程与CA段路程之比为4×6︰5×5=24︰25.所以，CA的路程为490÷(24+25)×25=250(米)，BC的路程为250-50=200（米）所以，在1个单位时间内的速度为：甲是250÷5=50（米）；乙是200÷5=40（米）。则甲追上乙的时间需要（490-50）÷（50-40）=44（单位时间）所以，甲一共行全程是50×44+490=2690（米）【点评】结合比例，运用量化思想，本题的解法更美了。★★（2005年《小学生数学报》优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点A出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点A点多少厘米?【解】第一次在B1点相遇，甲、乙共跑了400厘米(见左下图)。第二次在B点相遇，甲、乙共跑了700厘米(见右上图)。同理，第三次相遇，甲、乙又共跑了700厘米。共用时间(400+700+700)÷(6+4)=180(秒)，甲跑了6×180=1080(厘米)，距A点400×3—1080=120(厘米)。【点评】通过这两道例题，请同学们体会一下处理多次相遇问题时，有一种常见思考方法——分段考虑。专题展望专题展望欲看行程精彩，敬请继续关注：下一讲“行程之多人行程与钟面问题”真题实战真题实战（2006年广东省育苗杯数学竞赛）一列火车长200米，如果整列火车完全通过一条长400米的隧道，那么需要10秒，如果以同样的速度整列火车完全通过一座大桥需要15秒，那么大桥长是（）米。【解1】火车的速度是（200+400）÷10=60（米）大桥长60×15-200=700(米)【解2】设大桥长x米，得：或者解得x=700【点评】在此处进一步渗透比例思想、方程思想，训练学生的解方程能力。解方程，建议用“方程的恒等原理”，即对小学生不用移项的说法，强调：方程就像天平一样，两边同时加上相同“重量”或同时减去相同“重量”或者同时乘法N倍，两边恒等。形象直观，有利快速解题。这种方法的注意点是“乘法分配律”的运用，也就是如果两边都乘以一个数，是总的一边跟它相乘，要注意怎么“打散”的问题。（江苏省吴江市2005年小学数学联赛五年级）快车长250米，慢车长600米，这两车相向而行，坐在慢车上的王小玲看见快车开过窗口的时间是5秒，快车的速度是慢车速度的1.5倍，快车速度为每秒（）米。A.30B.36C.48D.以上都不是【解】慢车速度为250÷5÷(1+1.5)=20(米/秒)快车速度为20×1.5=30(米/秒)【点评】请注意是坐在慢车上的人所记时间对应路程为快车车长，那么坐在快车上的人记了一个时间呢？还可以拓展为过路人看到两车相遇时间，又怎么求两车的速度各是多少呢？另外，就本题来讲，其数量关系特点主要是确定行程求速度和，再根据和倍关系求各自速度。从这道题可以感受到，同学们学习一定要注意“再深入一步”去钻研问题，这种“深入”，有时候就是换一种角度或者是换一下条件。这种学习方法很重要。（江苏省吴江市2003年小学数学联赛）一只快艇从A地至B地往返共用4小时，去时顺水比返回逆水每小时多行10千米，因此前2小时比后2小时多行16千米，求AB的路程。【解】如图：前2小时从A到B折回到C，后2小时从C到A。CB长为16÷2=8(千米)，所以顺水从A到B的时间，逆水只能行（AB-16）千米。顺水比逆水多行16千米需要16÷10=1.6(时)所以从A到B用了1.6小时，从B到A用了4-1.6=2.4(时)从而BC段行2.4-2=0.4(时)，逆水每小时行8÷0.4=20(千米)，AB路程有20×2.4=48(千米)。(2006年第十一届《“华罗庚金杯”少年数学邀请赛》已知一条航道下游的A港与上游的B港间的水路路程为150千米。若甲船从A港、乙船从B港同时出发相向航行，两船在途中的C点相遇。若乙船从A港、甲船从B港同时出发相向航行，两船在途中的D点相遇。已知C、D间的水路路程为21千米。则甲、乙两船在静水中航行的速度比为（）A．B.C.D.【解】设水速为a,甲船的静水速度为v1,乙船的静水速度为v2,由此可得：=，所以=【点评】应用等量关系列方程，注意这里的“设而不求”思想，即没有分别求出a、v1、和v2各是多少，而是直接求两者的倍比关系。★★（2006年《小学数学ABC》精选题）如图，甲、乙分别从A，B两地同时出发相向而行，在C处相遇甲没有休息，到B地后立即往返；乙则休息了15分钟才继续走，到A地后立即折返。两人折返后仍在C处相遇。如果甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，那么A，B两地相距米。【解】如图：设A，B两地相距x米。由AC︰CB=60︰80=3︰4知，AC=x，CB=x。由甲从A到B再到C所用时间比乙从B到A再到C所用时间多15分钟，可得方程6．（2006年第十一届《华罗庚金杯少年数学邀请赛》初赛）如图，长方形ABCD中AB︰BC=5︰4。位于A点的第一只蚂蚁按A→B→C→D→A的方向，位于C点的第二只蚂蚁按C→B→A→D→C的方向同时出发，分别沿着长方形的边爬行。如果两只蚂蚁第一次在B点相遇，则两只蚂蚁第二次相遇在（）边上。A.ABB.BCC.CDD.DA【解】如右图，长方形ABCD中AB︰BC=5︰4。将AB，CD边各5等分，BC，DA边各4等分。设每份长度为a。由于两只蚂蚁第一次在B点相遇，所以第一只蚂蚁走5a,第二只蚂蚁走4a.接下来，第一只蚂蚁由B走到E点时，第二只蚂蚁由B走到F点，再接下来，当第一只蚂蚁由E走到G点时，第二只蚂蚁由F也走到G，这时，两只蚂蚁第二次相遇在DA边上。数学语絮数学语絮“哥德巴赫猜想”也不过是一道奥数题好像在大的环境上有反奥数的声音，我竟然听不到多少为奥数正名的声音，很是不爽，所以要轻轻地告诉你——“哥德巴赫猜想”也不过是一道奥数题。这不是对“哥德巴赫猜想”的小看，也不是对奥数的抬举，因为事实如此。有很多人看不出来这么简单的道理，这是因为他不知道：奥数跟“哥德巴赫猜想”一样，可以激发兴趣与引导志向。当你登山时，你永远不会对爬上一个小土丘而拥有非份的自豪——“我已降服这么高的……大山”，防止把人笑死。而当你“会当凌绝顶，一览众山小”时，别人都要仰视才见。这个道理谁不知道？而我们的奥数题就是一道道高山，这种高是相对的，但是客观的。每一个学段，都能挖掘出与之适应的难题，成为在相应“地域”中的难得的“高山”，对于爱学习爱挑战“巨勇敢”的人，是一种多么难得的诱惑！这种诱惑，并不亚于“哥德巴赫猜想”对数学家的诱惑。而“哥德巴赫猜想”也不过是摆在数学家们面前的一道奥数题，让人唏嘘的是，能出这样的奥数题的人真正难找！解出这道奥数题的人也很少，但一定有，而且就在我们当中！！因为，我们的奥数“研究生”真不知道有什么不可以去思考和研究的，这是一种地道的学术勇气。奥数跟“哥德巴赫猜想”一样，可以整合已有知识体系。一位伟大的数学家邱成桐先生，成为华人中第一位菲尔兹奖——数学界的诺贝尔奖获得者，（第二位是澳大利亚籍的华裔陶哲轩，今天31岁，曾获得过国际数学奥林匹克大赛金奖），邱成桐先生的老师是更伟大的数学家陈省身老先生对学奥数的学生们说过“数学好玩”，确实一道好的奥数题，可以帮学生把学过的零散知识进行整合，从而达到高屋建瓴、触类旁通的境界。（尽管是某种低层面上的境界，但这正是成为学习过程中所必需的一以贯之的境界，直至彻底拿下“哥德巴赫猜想”）奥数的未来走向是永远而且光明的，它是为那些渴望攀登高峰的勇士而准备的。第四讲行程之多人行程与钟面问题在行程问题中，只出现两者的相对运动，可以表现为相遇和追及两大类，它的一种特殊形式表现为钟面问题。在行程问题中，只出现两者的相对运动，可以表现为相遇和追及两大类，它的一种特殊形式表现为钟面问题。在很多重点中学小升初的入学考试或者其它竞赛中，往往会出现三人或者说多人行程，对这样的专题进行归纳和总结是很有意义的。教学目标教学目标回顾基本相遇、追及问题与变速问题；精讲：钟面问题：钟面追及、钟面相遇、时钟校准。多人行程：其本质是从两两关系中推出结论。可以看作是多个两者运动关系在某一等量联系下的变化。专题回顾专题回顾相遇与追及★★（第三届“走进美妙的数学花园”解题技能展示大赛）猎狗发现北边200米处有一点兔子正要逃跑，拔腿就追。兔子的洞穴在兔子的北边480米，若兔子每秒跑13米，猎狗每秒跑18米，可怜的兔子能逃过这一劫吗？（判断“能”还是“不能”，并说明理由）【解】能。因为猎狗要追上兔子要200÷(18-13)=40(秒)而兔子跑回洞穴要480÷13=36（秒）所以兔子能逃过这一劫。★★（2006浙江省小学数学活动课夏令营）甲、乙两人的速度之比是5:4,乙先从B地出发行往A地，当走到离B地336米的地方时，甲从A地出发行往B地。结果两人相遇的地方离A、B两地距离之比是3:4,那么A，B两地的距离是米。【解1】从甲出发到相遇两人走的路程之比是5︰4=15︰12,而相遇地点离A，B两地距离之比是3︰4=15︰20,说明乙走的336米占全程的，所以，全程为336÷=1470（米）【解2】如图，由题意知AD︰DC=5︰4； AD︰DB=3︰4 所以可以把AD看作“1”的量， BC=(-)AD 所以AD=336÷(-)=630（米） 所以AB=630÷3×7=1470（米）【点评】本题综合运用了比例关系，解法1考虑通比，通比的要点的是“不变量”为中介，而解法2运用“量率对应”思想，要点在于“以不变量为单位‘1’”。★★★（2006年“我爱数学杯”数学竞赛）甲、乙两车同时从A地出发开往B地，甲车的速度为每小时45千米，乙车的速度为每小时50千米。乙车到达B地后立即返回，在距B地5千米处与甲车相遇，那么A，B两地相距千米。【解】因为从出发到相遇甲车比乙车少行10千米，所以，从出发到相遇共用10÷(50-45)=2(时)B两地相距2×50-5=95（千米）【点评】本题还可以用比例关系灵活地处理，请同学们思考一下。45︰50=9︰10 19-9×2=1 5÷=95（千米）变速问题★★★（《华罗庚金杯少年数学邀请赛》决赛模拟题）一个圆周长70厘米，甲、乙两只爬虫从同一点同时出发，同向爬行，甲以4厘米/秒的速度不停地爬行，乙爬行15厘米后，立即反向爬行，并且速度增加1倍，在离出发点30厘米处与甲相遇。则乙爬虫原来的速度是。【解】设A点是起始点，乙的爬行速度是每秒v厘米，乙爬到B点走了15厘米，所用时间为秒。乙反向后在离出发点30厘米处与甲相遇，所用时间是秒，即从出发开始计算，乙爬行时间是（+）秒。从出发开始计算，甲爬行时间是秒。所以，+=，30+15+30=2v，v=3(厘米/秒)【点评】本题的条件“在离出发点30厘米处与甲相遇”不够严密，有岐义，可以理解为两种情况，第一种情况如原解，表示回到A点后又走到C是30厘米；第二种情况是从A走到C走了40厘米，即从C到B到A还有30厘米。所以有解：+=V=5(厘米/秒)★★★（2006年北京市“数学解题能力展示”读者评选活动高年级组初赛）甲、乙两地相距100千米，张山骑摩托车从甲地出发，1小时后李强驾驶汽车也从甲地出发，二人同时到达乙地。已知摩托车开始的速度是每小时50千米，中途减为每小时40千米；汽车的速度是每小时80千米并在途中停留10分钟。那么，张山骑摩托车在出发分钟后减速。【解】汽车行驶了 100÷80×60=75（分） 摩托车行驶了 75+60+10=145（分）。 设摩托车减速前行驶了x米，则