2025年中考数学思想方法复习系列 【分类讨论】等腰三角形中的分类讨论思想（解析版）

等腰三角形中的分类讨论思想知识方法精讲1．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．2．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．3．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．4．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．5．等腰三角形的判定判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．6．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．7.分类讨论思想每个HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"数学思想，称之为分类讨论思想。一．选择题（共7小题）1．（2021秋•昌平区期末）如图，已知中，，，在直线上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】等腰三角形的判定【分析】分三种情况，，，．【解答】解：分三种情况，如图：，，，当时，以为圆形，长为半径画圆，交直线于，两个点，，，是等边三角形，，当时，以为圆形，长为半径画圆，交直线于，当时，作的垂直平分线，交直线于，综上所述，在直线上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有2个，故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，根据题目的已知画出图形是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．2．（2021秋•綦江区期末）如图，正方形的网格中，点，是小正方形的顶点，如果点是小正方形的顶点，且使是等腰三角形，则点的个数为A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定【分析】当是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与、顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形；当是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，垂直平分线上的格点都可以作为点，然后相加即可得解．【解答】解：如图，分情况讨论：①为等腰的底边时，符合条件的点有4个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有4个．所以是等腰三角形，点的个数为8个，故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想．3．（2021春•盐湖区校级期末）若等腰三角形的一个角是，则此等腰三角形的顶角为A． B． C．或 D．【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质【分析】可分两种情况：当角为顶角时；当角为底角时，结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理分别求解即可．【解答】解：当角为顶角时，则等腰三角形的顶角为；当角为底角时，等腰三角形的顶角为，即此等腰三角形的顶角为或．故选：．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．4．（2021秋•长春期末）若中刚好有，则称此三角形为“可爱三角形”，并且称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是A．或 B．或 C．或 D．或或【考点】三角形内角和定理【分析】分设三角形底角为，顶角为或设三角形的底角为，顶角为，根据三角形的内角和为，得出答案．【解答】解：①设三角形底角为，顶角为，则，解得：，②设三角形的底角为，顶角为，则，解得：，，三角形的“可爱角”应该是或，故选：．【点评】本题是新定义题，主要考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，运用分类思想是解题的关键．5．（2021秋•洪山区期末）如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中、在格点上，则图中满足为等腰三角形的格点的个数为A．7 B．8 C．9 D．10【考点】等腰三角形的判定【分析】根据等腰三角形的定义，分别以、为圆心，长为半径画弧，作的垂直平分线，即可确定点的位置．【解答】解：如图所示：分三种情况：①以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点，，即为点的位置；②以为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点，，，，，即为点的位置；③作的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；为等腰三角形的格点的个数为：8，故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，利用两圆一线来解答是解题的关键．6．（2019秋•蜀山区期末）在中，与相邻的外角是，要使为等腰三角形，则的度数是A． B． C．或 D．或或【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定【分析】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可．【解答】解：．当时，；当时，，则；当时，．的度数为或或，故选：．【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．7．（2020秋•河池期中）已知等腰三角形的一个外角为，则这个等腰三角形的顶角为A． B． C．或 D．【考点】等腰三角形的性质；三角形的外角性质【分析】根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以得到：（1）当这个的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为；（2）当这个的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为．【解答】解：分为两种情况：（1）当这个的外角为顶角的外角时，则这个等腰三角形的顶角为；（2）当这个的外角为底角的外角时，可以得到这个等腰三角形的顶角为；故选：．【点评】本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．二．填空题（共2小题）8．（2021秋•淮南月考）如图，已知的半径为2．弦的长度为2，点是上一动点，若为等腰三角形，则的长为或12或4．【考点】垂径定理；勾股定理；等腰三角形的性质【分析】当为等腰三角形时，分两种情况：①如图1，，在的两侧各有一个符合条件的点，根据勾股定理可得结论；②如图2，当时，连接，，交于，则，根据直角三角形30度的性质和勾股定理，垂径定理可得结论．【解答】解：当为等腰三角形时，分以下两种情况：①如图1，以为底边时，，连接，，则过圆心，，，，，，，，；②如图2，以为腰时，，连接，，交于，则，，，△是等边三角形，，，，，，综上，或12或4．故答案为：或12或4．【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．9．（2021秋•盐池县期末）已知等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这个等腰三角形的周长为20．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：，，腰长不能为，只能为，等腰三角形的周长．故答案为：20．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．三．解答题（共10小题）10．（2021•婺城区模拟）在矩形中，，点是直线上（不与点重合）的动点，连结，过点作的垂线分别交直线、直线于点、，连结．（1）如图，当，点是的中点时，求的值；（2）当时，①若与相似，求的长．②若是等腰三角形，求的长．【考点】相似形综合题【分析】（1）根据矩形的性质及同角的余角相等可得，再运用三角函数定义即可求得答案；（2）①根据与相似，是公共斜边，可得或与，分两种情况讨论即可；③由是等腰三角形，可得或或，分三种情况进行讨论．【解答】解：（1）四边形是矩形，，，，，点是的中点，，，，，．（2）①与相似，是公共斜边，或，当时，，设，则，，在中，，，解得：，．当时，如图2，，点在的延长线上，与，，，在和中，，，，设，则，在中，，，解得：，，，，，，，，，即，，，综上所述，或．②是等腰三角形，或或，当时，如图3，，，，，，，；当时，如图4，设，则，，，，，，，，，，，即，，，，，，，，即，；当时，如图5，，，，，，设，则，，，，，，，，即，，，，，，解得：，；综上所述，的长为4或或．【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角函数定义等，涉及知识点较多，难度较大，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．11．（2021•高邮市二模）如图，是的高，，，，点是边上的一个动点（与、不重合），于点，，于点，交于点，连接．（1）若点是的中点，则；（2）在点的运动过程中，①的值为；②当点运动到何处时，线段最小？最小值是多少？③当是等腰三角形时，求的长．【考点】三角形综合题【分析】（1）如图1，设，根据三角形的中位线定理得，根据正切定义得，得，，根据，列方程可得的值，最后根据勾股定理计算的长；（2）①过点作于，证明四边形为矩形，得，，根据三角函数定义可得，可得结论；②由①得：，设，则，根据勾股定理计算，根据平方的非负性可得当时，取最小值为，由平行线分线段成比例定理得，计算的长，可得结论；③设，，，根据勾股定理计算和的长，为等腰三角形，分三种情况：，，，列方程可解答．【解答】解：（1）如图1，设，，，，，，，是的中位线，，，即，，，，，，，，，，，，；故答案：；（2）①如图2，过点作于，，，，四边形为矩形，，，，，故答案为：8；②由①得：，设，则，，当时，取最小值为，此时，，，，，中，由勾股定理得：，，当时，线段最小，最小值是；③设，，，，，，，，当为等腰三角形时，存在以下三种情况：，则，解得：，；，，，，，；，则，，解得：（舍，，；综上所述，的长为或或．【点评】本题是三角形的综合题，解答本题主要应用了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，二次根式的计算，勾股定理，等腰三角形的性质和判定三角函数等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是关键，并结合方程思想和分类讨论的思想解决问题．12．（2021秋•南沙区期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的半径为3．（1）试判断点与的位置关系，并加以说明．（2）若直线与相交，求的取值范围．（3）若直线与相交于点，．点是轴正半轴上的一个动点，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点的坐标．【考点】圆的综合题【分析】（1）计算与半径3进行比较即可；（2）当直线与相切于点时，求出的长度，即可得出相交时的范围；（3）首先得出，，分，，三种情形，分别计算即可．【解答】解：（1），，，点在外；（2）如图，当直线与相切于点时，连接，则，，，直线与相交时，；（3）直线与相交于点，．，，，当时，，，，，当时，轴，，，当时，点与重合，，点的坐标为，或，或或．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解题的关键．13．（2020秋•浦东新区校级期末）已知：如图，在纸片中，，，，按图所示的方法将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，点是射线上的一个动点．（1）求折痕长．（2）点在线段上运动时，设，．求关于的函数解析式，并写出此函数的定义域．（3）当是等腰三角形时，求的长．【考点】三角形综合题【分析】（1）由翻折可知：，，设，在中，根据，构建方程即可解决问题．（2）利用勾股定理即可解决问题．（3）分三种情形：①，②，③当时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，由翻折可知：，，设，在中，，，解得，．（2）如图2中，当点在左侧，，则，，．当点在右侧，同理可得．关于的函数解析式为．（3）如图3中，①当时，设，在中，，，解得，．②当时，是等腰三角形，③当时，点在的延长线上．如图4，．综上所述，满足条件的的值为或或6．【点评】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题．14．（2020秋•浦东新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，过点的直线轴，且直线分别与反比例函数和的图象交于、两点，，．（1）求点的坐标；（2）若轴上有一点，使得为等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点的坐标．【考点】反比例函数综合题【分析】（1）由．得，设，代入反比例函数中即可；（2）首先利用勾股定理得，当若，则或；若，则，则；若，设点，则，从而解决问题．【解答】解：（1），，，，，，反比例函数的解析式为，，轴，，，设，，（负值舍去），点的坐标为，，（2），若为等腰三角形，可分三种情况：①若，则或；②若，则，则；③若，设点，则，解得：，，，综上所述，满足条件的点的坐标为：，或，或或．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，的几何意义，等腰三角形等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．15．（2020秋•沈北新区校级期末）如图1，在中，，，，点以每秒个单位长度的速度从点处沿射线方向运动，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿边向点运动，点，两点同时出发，当运动至点时，点、同时停止运动，设点运动时间为秒．（1）用含的代数式分别表示线段和的长度．则，．（2）若为等腰三角形，求值．（3）如图2，以为对角线作正方形，在运动过程中，若正方形的一边恰好落在的一边上，请直接写出所有符合条件的值．【考点】四边形综合题【分析】（1）由运动速度与时间的关系，直接可求；（2）分三种情况求解：①当时，；②当时，过点作交于点，则，即；③当时，过点作交于点，，即；分别求出的值即可；（3）分四种情况求解：①当在上时，，再由，可得，可求；②当在上时，，，即，可求；③当在上时，，由，可求；④当在上时，，由，可求．【解答】解：（1）由题意可得，，故答案为：，；（2）①当时，，；②如图1，当时，过点作交于点，，，，，，，，在中，，，；③如图2，当时，过点作交于点，，在中，，，；综上所述：若为等腰三角形，的值为或2或；（3）如图3，当在上时，，，，，，在中，，，；②如图4，当在上时，在中，，，，，，，；③如图5，当在上时，在中，，，，，；④如图6，当在上时，在中，，，，，；综上所述：的值为或或或．【点评】本题考查四边形综合，熟练掌握正方形的性质，角的直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．16．（2020秋•虹口区期末）如图，中，，，的平分线与线段交于点，且有，点是线段上的动点（与、不重合），联结，设，．（1）求的度数；（2）求关于的函数解析式（无需写出定义域）；（3）当是等腰三角形时，求的长．【考点】三角形综合题【分析】（1）根据等腰三角形的性质、角平分线的定义得到，根据直角三角形的性质求出；（2）作于，根据勾股定理求出，再根据勾股定理列式计算求出关于的函数解析式；（3）分、两种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．【解答】解：（1），，是的平分线，，，，；（2）如图，作于，在中，，，，，，，，，在中，，，在中，，即，解得：；（3）在中，，，，当时，；当时，，解得：，即，点与、不重合，，综上所述：当是等腰三角形时，的长为或8．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想、勾股定理是解题的关键．17．（2021秋•鸡冠区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，点在轴上，，、的长分别是一元二次方程的两个根，且．（1）求点的坐标；（2）点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点的直线与轴平行，直线交边或边于点，设点的横坐标为，线段的长为，求关于的函数解析式；（3）在（2）的条件下，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】三角形综合题【分析】（1）解一元二次方程求出、，证明，根据相似三角形的性质求出，得到点的坐标；（2）利用待定系数法分别求出直线、直线的解析式，分点在线段上、点在线段上两种情况，根据一次函数图象上点的坐标特征得到关于的函数解析式；（3）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质、勾股定理计算即可．【解答】解：（1）解方程，可得，，、的长分别是一元二次方程的两个根，且，，，，，，又，，，即，解得，；（2）由（1）可知，，，设直线解析式为，，解得，直线的解析式为，同理可求得直线解析式为，当点在线段上时，即时，则点在直线上，点坐标为，；当点在线段上时，即时，则点在直线上，点坐标为，；综上可知关于的函数关系式为；（3）存在．由勾股定理得，，当，点在点的右侧时，点的坐标为，，当时，，，点的坐标为，当时，如图，，在中，，即，解得，，，点的坐标为，，综上所述，为等腰三角形时，点的坐标为，或或，．【点评】本题考查的是一元二次方程的解法、待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．18．（2021秋•金牛区期末）如图，已知平面直角坐标系内，点，点，，连接．动点从点出发，沿线段向运动，到达点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为秒．（1）当点运动到中点时，求此时的解析式；（2）在（1）的条件下，若第二象限内有一点，当时，求的值；（3）如图2，当点从点出发运动时，同时有点从出发，以每秒1个单位的速度沿直