2025年中考数学思想方法复习系列 【猜想归纳】周长面积问题中的猜想归纳思想（原卷版）

周长面积问题中的猜想归纳思想1．猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：

（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；

（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；

（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。归纳猜想类问题可以分成四大类：

（1）数式归纳猜想题

这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。

（2）图形归纳猜想题

此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。（3）结论归纳猜想题

结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。（4）类比归纳猜想题

类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。2．作图—应用与设计作图应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．3．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．一．选择题（共6小题）1．（2021秋•龙口市期末）如图，的周长为，以它的各边的中点为顶点作△，再以△各边的中点为顶点作△，如此下去，则△的周长为A． B． C． D．2．（2020秋•零陵区期末）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，按此规律继续下去，则矩形的周长为A． B． C． D．3．（2021•开封二模）如图，将沿着过，的中点，所在的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，点到的距离为；还原纸片后，再将沿着过，的中点，所在的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，点到的距离记为；按上述方法不断操作下去，，经过第次操作后得到点到的距离记为．若，则值为A． B． C． D．4．如图，正方形中，，与直线的夹角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形依此规律，则A． B． C．2 D．5．如图，，在上截取，，，，，，过点、、、、分别作的垂线与相交，得到并标出一组阴影部分，它们的面积分别为，，，．观察图中的规律，第个阴影部分的面积为A． B． C． D．6．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为，第（2）个图形的面积为，第（3）个图形的面积为，，则第个图形的面积为A． B． C． D．二．填空题（共10小题）7．（2021秋•朝阳期中）如图，△的面积为，分别延长△的三条边、、到点、、，使得，，，得到△；再分别延长△的三条边、、到点、、，使得，，，得到△；．按照此规律作图得到△，则△的面积为．8．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作第1个正方形；延长交轴于点，作第2个正方形，，按这样的规律进行下去，第2019个正方形的面积是．9．（2021春•瑶海区期中）如图，一系列等腰直角三角形（编号分别为①、②、③、④、组成了一个螺旋形，其中第1个三角形的直角边长为1，则第个等腰直角三角形的面积为．10．直线上有100个点，我们进行如下操作：在每相邻两点之间插入1个点，经过三次这样的操作后，直线上共有个点．11．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到第一个菱形，再依次连接所得菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为2，则第2013个菱形的面积为．12．如图，“把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形”称为第1次变换，接着“把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形”称为第2次变换，再“把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形”称为第3次变换，一直到第100次变换，我们得到一系列数：，，，，，，利用图形可求得前10个数的和是．13．已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积，第2次分割后的阴影部分面积，第3次分割后的阴影部分面积，．按照这样的规律分割，则第为正整数）次分割后的阴影部分面积可用表示为．14．如图，依次连接一个边长为1的正方形各边的中点，得到第二个正方形，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第二个正方形的面积是；第六个正方形的面积是．15．如图，从原点开始，以为直径画半圆，记为第1个半圆；以为直径画半圆，记为第2个半圆；以为直径画半圆，记为第3个半圆；以为直径画半圆，记为第4个半圆；，按此规律，继续画半圆，则第6个半圆的面积为．16．如图，的面积为1，分别取、两边的中点、，则四边形的面积为，再分别取、的中点、，、的中点、，依次取下去．利用这一图形，能直观地计算出．三．解答题（共4小题）17．（2021秋•广陵区期中）让我们一起探索有趣的“皮克定理”：用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为．（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，请完成下表，并写出与之间的关系式：．多边形的序号①②③④多边形的面积24各边上格点的个数和4568（2）探索：在上面网格图中画出四个格点多边形，其内部都只有两个格点，并写出所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式：；（3）猜想：当格点多边形内部有且只有个格点时，与之间的关系式是：．18．正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，设格点多边形各边上的格点的个数和为，格点边多边形内部的格点个数和为，格点多边形的面积为，图1、图2是两个格点多边形．（1）根据图中提供的信息填表：一般格点多边形多边形1（图61多边形2（图7211（2）在给定的正三角形网格中分别画出一个面积为3、4、5的格点多边形：（3）猜想与、之间的关系：（用含、的代数式表示）；（4）若一个格点多边形的面积为，是否存在最大值和最小值？若存在求出最大值和最小值；若不存在，请说明理由．19．用网格线将平面分成若干个面积为1的小等边三角形格子，小等边三角形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为．（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出与之间的关系式．多边形的序号①②③④多边形的面积3456各边上格点的个数和3456答：．（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点．此时所画的各个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式是：．（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想与有怎样的关系？答：．20．一般地，由条不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的平面图形称为边形，又称为多边形．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为，它各边上格点的个数和为．（1）如图1中的格点多边形，