2025年中考数学思想方法复习系列 【猜想归纳】数式规律中的猜想归纳思想（解析版）

数式规律中的猜想归纳思想知识方法精讲规律型：数字的变化类探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．2.猜想归纳思想归纳猜想类问题也是探索规律型问题，这类问题一般给出一组具有某种有规律的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，通过认真观察、分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。考查学生的归纳、概括、类比能力。有利于培养学生思维的深刻性和创造性。

解决归纳猜想类问题的基本思路是“观察→归纳→猜想→证明(验证)”，具体做法：

（1）认真观察所给的一组数、式、图等，发现它们之间的关系；

（2）根据它们之间的关系分析、概括，归纳它们的共性和蕴含的变化规律，猜想得出一个一般性的结论；

（3）结合题目所给的材料情景证明或验证结论的正确性。归纳猜想类问题可以分成四大类：

（1）数式归纳猜想题

这类题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论。找出题目中规律，即不变的和变化的，变化的部分与序号的关系是解这类题的关键。

（2）图形归纳猜想题

此类题通常给出一组图形的排列(或操作得到一系列的图形)探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系。其解题关键是找出相邻两个图形之间的位置关系和数量关系。（3）结论归纳猜想题

结论归纳猜想题常考数值结果、数量关系及变化情况。发现或归纳出周期性或规律性变化，是解题的关键。（4）类比归纳猜想题

类比归纳猜想题通常是指由两类对象的具有某些相同或相似的性质，和其中一类对象的某些已知的性质，推断出另一类对象也具有这些性质的一种题型，有时也指两个对象在研究方法、学习过程上类比，考查类比归纳推理能力。一．选择题（共8小题）1．（2021秋•天桥区期末）已知，，则的值为A． B． C．1010 D．1011【考点】代数式求值；规律型：数字的变化类【分析】根据已知得出，再进一步计算可得．【解答】解：，，，故选：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是将原式变形为．2．（2021秋•迁安市期末）如图，某“学子餐厅”把密码做成了数学题．小红在餐厅就餐时，思索了一会，输入密码，顺利地连接到了餐厅网络．则他输入的密码A．28140 B．110908 C．280930 D．280908【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据题中密码规律确定出所求即可．【解答】解：原式．故选：．【点评】此题考查了规律型—数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．（2021秋•鼓楼区校级期末）有依次排列的3个数：2，9，7，对任意相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：2，7，9，，7，这称为第1次操作；做第2次同样的操作后也可产生一个新数串：2，5，7，2，9，，，9，7，继续操作下去，从数串2，9，7开始操作第2022以后所产生的那个新数串的所有数之和是A．20228 B．10128 C．5018 D．2509【考点】规律型：数字的变化类；有理数大小比较【分析】根据题意分别求得第一次操作，第二次操作所增加的数，可发现是定值5，从而求得第2022次操作后所有数之和．【解答】解：第一次操作增加数字：，7，第二次操作增加数字：5，2，，9，第一次操作增加，第二次操作增加，即，每次操作加5，第2022次操作后所有数之和为．故选：．【点评】此题主要考查了数字变化类，关键是找出规律，要求要有一定的解题技巧，解题的关键是能找到所增加的数是定值5．4．（2021秋•长寿区期末）观察：世界上著名的莱布尼茨三角形，如图所示：请仔细观察排列规律，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是A． B． C． D．【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据题意和图形中的数据可以发现数字的变化规律，可知第行的第个数字等于第行的第个数字与第行的第个数字之差，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，第7行第一个数字是：，第8行第一个数字是：，第9行第一个数字是：，第二个数字是：，则第10行第一个数字是：，第二个数字是：，第三个数字是：，故选：．【点评】本题考查规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中的数字变化规律，求出相应的数据．5．（2021秋•嵩县期末）计算的值为A．1 B．0 C．2021 D．【考点】有理数的加减混合运算；规律型：数字的变化类【分析】每4个数为一组，从而可求解．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是分析清楚所求数据的规律．6．（2021秋•费县期末）已知，，，都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于A．0 B．110 C．210 D．220【考点】规律型：数字的变化类；绝对值【分析】从20个数的符号进行讨论，都相同时，有1个不同时，有2个不同时，，有10个不相同时，分别求出的值，再计算即可．【解答】解：当20个数的符号相同时，等于20或，当20个数的符号有1个相异时，等于18或，当20个数的符号有2个相异时，等于16或，当20个数的符号有3个相异时，等于14或，，当20个数的符号有10个相异时，等于0，所有可能等于的值的绝对值之和等于，故选：．【点评】本题考查数字的变化规律，能够根据所给信息，通过分类讨论，找到式子的规律是解题的关键．7．（2021•云南模拟）组按规律排列的多项式：，，，，，其中第个式子是A． B． C． D．【考点】规律型：数字的变化类；多项式【分析】把已知的多项式看成由两个单项式组成，分别找出两个单项式的规律，也就知道了多项式的规律．【解答】解：多项式的第一项依次是，，，，，，第二项依次是，，，，，，得到第个式子是：．故选：．【点评】此题主要考查了数字的规律多项式，本题属于找规律的题目，把多项式分成几个单项式的和，分别找出各单项式的规律是解决这类问题的关键．8．（2021•任城区二模）记，令，则为，，，，这列数的“凯森和”．已知，，的“凯森和”为2004，那么18，，，的“凯森和”为A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【考点】规律型：数字的变化类【分析】先根据已知求出的值，再设出新的凯森和，列出式子，把得数代入，即可求出结果．【解答】解：，，设新的“凯森和”为，，．故选：．【点评】此题考查了数字的变化类，解题的关键是掌握“凯森和”这个新概念，找出其中的规律，再根据新概念对要求的式子进行变形整理即可．二．填空题（共14小题）9．（2021秋•邵阳县期末）如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，，则第2022次输出的结果为2．【考点】代数式求值；有理数的混合运算；规律型：数字的变化类【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算．【解答】解：由设计的程序知，依次输出的结果是25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，，发现从第4个数开始，以8，4，2，1循环出现，则，，故第2022次输出的结果是2．故答案为：2．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的输出结果．10．（2021秋•青神县期末）根据下列各式的规律，在横线处填空：，，，，．【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类【分析】根据给定等式的变化，可找出变化规律“为正整数）”，依此规律即可得出结论．【解答】解：，，，，，为正整数），，．故答案为：．【点评】本题考查了规律型中数字的变化类，根据等式的变化，找出变化规律“为正整数）”是解题的关键．11．（2021秋•鲁甸县期末）一列关于的单项式：，，，，，按上述规律，第个单项式为．【考点】规律型：数字的变化类；单项式【分析】不难发现各项的指数部分为，据此进行作答即可．【解答】解：，，，，，第个单项式为：．故答案为：．【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚所给的单项式中系数与指数的变化规律．12．（2021秋•石景山区期末）一组按规律排列的代数式：，，，，，则第5个式子是；第2022个式子是．【考点】规律型：数字的变化类；多项式【分析】先根据已知算式得出规律，再根据多项式次数的定义得出答案即可．【解答】解：，，，，，的指数依次为1，2，3，4，5，6，，的指数依次为1，3，5，7，，，，，，且系数中，奇数项为正，偶数项为负，第个式子的是，第5个式子为：，第2022个式子为：．故答案为：，．【点评】本题考查了代数式和多项式的次数定义，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．13．（2021秋•新邵县期末）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为2，结果输出的是1，返回进行第2次运算则输出的结果是6，第3次运算则输出的结果是3，，则第2021次输出的结果是4．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算；代数式求值【分析】把代入程序中计算，以此类推得到一般性规律，即可确定出第2021次输出的结果．【解答】解：把代入得：，把代入得：，把代入得：，把代入得：，把代入得：，把代入得：，把代入得：，以此类推，，第2021次输出的结果为4，故答案为：4．【点评】此题考查了代数式求值，数字的变化规律，弄清题中的程序框图是解本题的关键．14．（2021秋•成都期末）小海在学习之余喜欢做智力闯关游戏，如图所示的游戏中，各正方形中的四个数之间都具有同一种规律，按此规律得出的值为14．【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据各个正方形中的数字，可以发现它们的变化规律，从而可以求得、、的值，进而求得的值．【解答】解：由题意可得，左上角的数字加2是右上角的数字，左下角的数字等于是左上角的数字的平方，右下角数字等于其它三个数的和，则，，，，故答案为：14．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形中数字的变化规律．15．（2021秋•泗洪县期末）为了保密，许多情况下都要采用密码进行交流，这时就要有破译密码的“钥匙”．英语字母表中字母顺序是按以下顺序排列的：，如果规定又接在的后面，使26个字母排成一个圈．代数式“”代表把一个字母换成字母圈中从它开始逆时针移动2位的字母，例如：密码“”表示“”，翻译成汉语就是“我”，又如密码“”表示“”，翻译成汉语就是“钢笔”，此时代数式“”就是破译此密码的“钥匙”，如果密码“”的钥匙是“”，则此密码翻译成汉语就是我是一位学生．【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据密码的钥匙是“”，可得密码“”表示“”，则可得此题结果．【解答】解：密码的钥匙是“”，密码“”应表示“”，翻译成汉语就是：我是一位学生，故答案为：我是一位学生．【点评】此题考查了密码规律的归纳能力，关键是能利用密码钥匙得到真正密码，再翻译成汉语．16．（2021秋•房山区期末）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，，0，且任意相邻4个台阶上数的和都相等．（1）第5个台阶上的数是；（2）若第个出现在第2022个台阶上，则的值为．【考点】规律型：数字的变化类【分析】（1）由题意可得，，解方程可得的值；（2）由题意得台阶上的数以，，，0四个数循环，用，再根据余数可得答案．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故答案为：；（2）由题意得，台阶上的数以，，，0四个数循环，，所以，故答案为：506．【点评】本题主要考查了有理数的加减法，数字的变化类．解题的关键是根据相邻四个台阶上数的和都相等得出台阶上的数字是每4个一循环．17．（2021秋•海珠区期末）观察下面三行数：1，，9，，25，，；，，7，，23，，；，8，，32，，72，；那么取每行数的第10个数，则这三个数的和为．【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据题目中的数字，得出这三行中每一行的第10个数字，再计算和即可．【解答】解：由题目中的数字可得，第1行的数字是平方数，奇数个是正，偶数个是负，故第10个数字是，第2行数字比第1行的数字小2，故第10个数字是，第3行的数字是第1行数字的倍，故第10个数字是200．所以这三个数的和为，故答案为：．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字之和．18．（2021秋•成华区期末）已知，，，，，（即当为大于1的奇数时，；当为大于1的偶数时，，按此规律，2．【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据题意求出前7个数，可得向得的数列每6个一循环，结合，即可得出，此题得解．【解答】解：当时，，，，，，，，由此可得：所得的数列每6个一循环，，．故答案为：2．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数值的变化找出数列的规律：每6个一循环是解题的关键．19．（2021秋•汕尾期末）在2022年迎新联欢会上，数学老师和同学们做了一个游戏．她在，，三个盘子里分别放了一些小球，小球数依次为，，，记为，，．游戏规则如下：三个盘子中的小球数，则从小球最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作；次操作后的小球数记为，，．若，5，，则，8，，．【考点】规律型：数字的变化类【分析】根据题意先列出前10个数列，得出从开始每3次为一个周期循环的规律，据此可得答案．【解答】解：，5，，，6，，，7，，，8，，，9，，，10，，，8，，，9，，，10，，，8，，，9，，从开始每3次为一个周期循环，，，8，，故答案为：，8，，，8，．【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是弄清题意得出从开始每3次为一个周期循环的规律．20．（2021秋•庆阳期末）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律，写出第个等式：．（用含的代数式表示）【考点】规律型：数字的变化类；列代数式【分析】观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可．【解答】解：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第个等式：；故答案为：．【点评】此题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．21．（2021秋•七星关区期末）观察下列等式：①；②；③．计算：的结果为．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算【分析】根据所给的等式的形式，把所求的式子进行整理，即可求解．【解答】解：，故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚所存在的规律并运用．22．（2021秋•唐县期末）我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．例如：，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；．则的展开式中系数和为16．【考点】多项式；规律型：数字的变化类；完全平方公式；数学常识【分析】根据数字找规律即可解答．【解答】解：，系数分别为1，1，系数和为2，，系数分别为1，2，1，系数和为4，，系数分别为1，3，3，1，系数和为8，展开式的系数和为：，所以的展开式中系数和为．故答案为：16．【点评】本题考查了多项式，完全平方式，数学常识，规律型：数字的变化类，根据数字找规律是解题的关键．三．解答题（共8小题）23．（2021秋•思明区校级期末）观察下面等式：；；；；根据你观察到的规律，解决下列问题：（1）写出第个等式，并证明；（2）计算：．【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类【分析】（1）先根据所给的式子写出第个式子的表达式，再经过计算可验证；（3）把每一个分数拆分，进一步相乘抵消进行计算．【解答】解：（1）第个等式为：，左边右边，故等式成立；（2）原式．【点评】本题考查的是有理数的混合运算，是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，熟练掌握分数的拆分计算．24．（2021秋•中山市期末）仔细观察下列三组数：第一组：1，，9，，25，第二组：0，，8，，24，第三组：0，10，，34，，根据它们的规律，解答下列问题：（1）取每组数的第10个数，计算它们的和；（2）取每组数的第个数，它们的和能否是，说明理由．【考点】规律型：数字的变化类【分析】（1）不难看出第一组的第个数为：，第二组的数是第一组相应的数减去1，第三组的数是第二组相应的数乘以，据此写出第10个数再相加即可；（2）可设第一组的第个数是，则表示出第二组，第三组相应的数再相加运算即可判断．【解答】解：（1）第一组第个数为：，则第10个数为：，则第二组第10个数为：，第三组第10个数为：202，故；（2）不能，理由如下：设第一组的第个数是，则第二组的第个数为：，第三组第个数为，，所以取每组数的第个数，它们的和是1．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字总结出存在的规律．25．（2021秋•任城区期末）观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：，，，．（1）第4个等式中正整数的值是9；（2）第5个等式是：；（3）第个等式是：．（其中是正整数）【考点】规律型：数字的变化类【分析】（1）根据给出的算式计算即可；（2）总结规律继续写出第5个算式即可；（3）根据上面的式子可归纳第个等式为．【解答】解：（1），且取正整数，，故答案为：9；（2）观察上面的规律可得：第5个等式是：，故答案为：；（3）根据已知等式可归纳为：第个等式是：．故答案为：．【点评】本题主要考查数字的变化规律，总结归纳出数字的变化规律是解题的关键．26．（2021秋•苏州期末）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：请解答下列问题：（1）按以上规律写出：第个等式为正整数）；（2）求的值；（3）探究计算：．【考点】规律型：数字的变化类；有理数的混合运算【分析】（1）对所给的等式进行分析，不难总结出其规律；（2）利用所给的规律进行求解即可；（3）仿照所给的等式，对各项进行拆项进行，再运算即可．【解答】解：（1）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；，第个等式：，故答案为：；（2）；（3）．【点评】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数字分析清楚所存在的规律．27．（2021•安徽模拟）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的式子表示），并证明；（3）应用：计算的值．【考点】有理数的混合运算；规律型：数字的变化类；列代数式【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可；（2）分析所给的等式，进行总结即可得出结果；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．【解答】解：（1）由题意得：第4个等式：，故答案为：；（2），证明：，；故答案为：；（3）．【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．28．（2021•德州模拟）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为，排在第二位的数称为第二项，记为，依次类推，排在第位的数称为第项，记为．所以，数列的一般形式可以写成：，，，，，．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示．如：数列1，3，5，7，为等差数列，其中，，公差为．根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，的公差为5，第5项是．（2）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，那么根据定义可得到：，，，，，．所以，，，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：．（3）是不是等差数列，，的项？如果是，是第几项？（4）如果一个数列，，，，，是等差数列，且公差为，前项的和记为，请用含，，的代数式表示，．【考点】规律型：数字的变化类【分析】（1）根据等差数列的定义可得答案；（2）根据前面几个式子的规律可得等差数列的通项公式；（3）把代入（2）中得到的公式可得答案；（4）把前面几个数字相加可得．【解答】解：（1），，，后面的几项分别是20、25、，第5项是25．故答案为：5，25．（2），，，．故答案为：．（3），，解得，是等差数列，，的项，是第1346项．（4）．故答案为：．【点评】本题考查了数字变化类问题，解决问题的关键是找出变化规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．29．（2021秋•石景山区期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运