2021年中学教师资格（数学学科知识与教学能力）考试题库

2021年中学教师资格(数学学科知识与教学能力)考试题库

(完整版)

一、单选题

设，(力可微，则下列等式成立的是

J/Xx)dx=/(x)

A.

Jd/(x)=/(x)

B.」

dj/(x)dx=/(x)

•

f/(x)dx=/(x)

1.,

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

A选项，Jr(x)dx=f(x)+cd

B选项，jd/(x)=j/'(x)dx=/(x)+c^

C选项，dj/(x)dx=/(x)dx^

D选项，/_j/(x)dx=f(x)正确。“

解析：dx」

2若QeH，贝!J"。=1"是"。(。-1)=0"的()

A、充分而不必要条件

B、必要而不充分条件

C、充要条件

D、既不充分又不必要条件

答案：C

解析：

4=1成立能得到。(。-1)二0成立，〃

反之，。1)=0成立，则Q=1或Q=0,所以Q=1不成立。

3.新课程标准将义务教育阶段的数学课程目标分为()。

A、过程性目标和结果性目标

B、总体目标和学段目标

C、学段目标和过程性目标

D、总体目标和结果性目标

答案：B

解析：义务教育阶段数学课程目标分为总体目标和学段目标，总体目标是义务教

育阶段数学课程的终极目标，而学段目标则是总体目标的细化和学段化，故选B。

A(77•1/i7i•1/17*

B(7Z^7*)xT-Tx^iTx7*

c)(^.T；2-(7fxT/-«V

D|(i^xT)x,<♦1-(#-^)^-(7•7*)-^

4.下列关系不正确的是()。

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：

本题主要考查向量的基徒知识.

A项：向量数量税的运算满足分配律,A项正确,耳滁.

B项：日向量的性质可知，(寸+7*)xT="xT,,xf,B项不正确.

055:6-丁产+(寸.硝，-WE,MG+Im产|了『3尸6-,邛国产一it中,C我正确，排除.

D项：等式左边(J，*•>|=7xN|=0;等式右边闻“：了-(Tr)-)=0,所以左边等于右边，D项正

n阶行列式,力的展开式中含有演的项数为()

A

(I)!

B

n\

C

m-仔

D

,

rT

5.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

方法1:因为含有勺1的项的一般形式是生汹2/2…°或，〃

苴中JiJy力是“一1皴全排列的全体，所以共有5-1)!1页.“

方法2:由行列式展开定理“

anaUain

Q”’2a,2n=4i4+/&+…十知&>'

4»1a“2。加

而中不再含有a”，而,4n共有(，一1)!项,

所以含有阳的项数是(«-1)!.。

解析：注意：含有任何元素%的项数都是伽一1)!1

6.下列陈述可以作为数学定义的有（）.①不同在任何一个平面内的两条直线叫

异面直线②无穷小量是无限趋向于0的量③渐近线是与曲线很接近的直线

A、①

B、②

C、①②

D、①②③

答案：A

解析：本题考查对数学定义的理解。？异面直线：不同在任何一个平面内的两条

直线；？无穷小量：极限为零的变量称为无穷小量；？渐近线：当曲线上一点M

沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称

为这条曲线的渐近线；其中原题目将?渐近线的定义描述为与曲线很接近的直线，

“很接近”无法标准定义曲线与渐近线的接近程度,且??为性质，不能作为定义。

7.

若多项式〃上）一T'I.

（A）r+l

Br+3

©1

Dr-2

A、A

B、B

C、C

DxD

答案：A

本塞主要考查代率的分类，即多项式的囚式分解.

根据选项可知则/（，）和心）的公因式为-r+a"的形式，将/⑺和心迸行二分解，

f（jr）=4-1）-3"I）-（1+I）=（*+1）（/-Xr-I）.

0=*、/♦1-1>=旖♦!）<♦-”=（X*l）a（r-I）,则/"）和.（出的公因式为:+1.

解析：项确答案为A.

8.数学归纳法的推理方式属于（）。

A、归纳推理

B、演绎推理

C、类比推理

D、合情推理

答案：B

解析：数学归纳法是一种证明命题的方法，因此推理方式是演绎推理。B项正确。

9.创立解析几何的主要数学家是（）.

A、笛卡尔，费马

B、笛卡尔，拉格朗日

C、莱布尼茨，牛顿

D、柯西，牛顿

答案：A

解析：本题主要考查数学常识。笛卡尔于1637年，在创立了坐标系后，不仅提

出了解析几何学的主要思想方法，还指明了其发展方向。笛卡尔引入了坐标系以

及线段的运算概念，他创新地将几何图形'转译'代数方程式，从而将几何问题

以代数方法求解，这就是今日的“解析几何”或称“坐标几何”。笛卡尔成功地

创立了解析几何学，他的这一成就也为微积分的创立奠定了基础。费马独立于笛

卡儿发现了解析几何的基本原理，笛卡儿是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费

马则是从方程出发来研究轨迹的，这正是解析几何基本原则的两个相反的方面。

费马于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。

10.如图是一个算法流程图，则输出的X的值是（）

A、37

B、42

C、59

D、65

答案：C

解析：模拟程序的运行，可得x=1,y=1满足条件yV50,执行循环体，x=3,y=

7满足条件yV50,执行循环体，x=13,y=33满足条件yV50,执行循环体，x=

59,y=151不满足条件yV50,退出循环，输出x的值为59.故选：0.

11.

已知曲线C”Y=2COSXTC2：y=V3sin2x-cos2x,则下面笠

把Cl各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，，

A再把得到的曲线向右平移等个单位长度，得到曲线（

把J上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

、

再把得到的曲线向左平移至gJT个单.位长度，得到曲线

B.3

把C1上各点的横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变:

再把得到的曲线向右平移等个单位长度，得到曲线（

c.J

把C1上各点的横坐标缩短到原来的之倍，纵坐标不变

再把得到的曲线向右平移等个单位长度，得到曲线G

D.J

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

;已知曲线。：y=2cosx,v

C2：y=V3sin2x-cos2x=2sin(2x-〃

~,2冗)、今,今2九、

=2cos(―-----2x)=2cos(2x-------"

故把Cl上各点的横坐标缩短到原来的之，纵坐标不变，，

可得y=2cos2x的图像，"

再把得到的曲线向右平移g7T个单位长度，得到曲线C2的图像

解析：故选：D."

设A和B为任意两个事件，八U",P(B)>0,则下列选项正确的是().

12.A.P(B)P(A|

A、

B、P

C、2P(A|

D、

答案：B

解析：本题主要考查条件概率公式的应用。

由于打,且P(B)<1,可得P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)<P(A|B).

A0

B1

C3

Inn-------的值是()o

n->0xcosrD

13.

A、A

B、B

c、c

答案：c

解析：

tan3r

本题主要考查极限的知识.由常用等价无穷小可知，当工，。时，tan3x~3x,即=P%

='1=3.CJ5IE确。

A、B、D三项：均为干扰项，与题干不符，排除。

14设函数/(x)=|x|,则函数在点x=0处()。

A、连续且可导

B、连续且可微

C、连续不可导

D、不连续不可微

答案：C

函数/(x)=|x|在X=0处有定义。〃

并且触/(x)=/(0)=0,所以函数“X)在后0处连续c

/(x)在点x=0处的右导数：〃

f701-lim〃0+&)一/(0)Km131”

J+(uj—hm--------------=lim----=19〃

Ax->0*AxAx->0*△x

/(x)在点x=0处的左导数："

广(0)-lim"0+­)一/(0)*131“

J-(u)-iim---------------=lim----=-1,

AXT°-AXAXT。-AX

皿匚则f/(O)Wf'(0)，所以在点x=0处不可导。一

解析：

若/（X）为（-1.1）内的可导奇函数，则f（x）（）.

15.

A是（-1,1）内的偎函数

B是（-1,1）内的奇函数

C是（-1,1）内的非奇非偶因数

D可能是奇凶数，也可能是偶函数

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

解析：

本题主要考查因数奇偶性的判断及求导，关腱是掌握函数奇偶性的判断方法与复合函数求导法则.

依题意，设/是定义域内的任一实数，则/（-X）--/（X）,两边对/求寻得r（-r）--r（x）.所以r（-x）-r（

是偶函数.

16.下列关于反证法的认识，错误的是o.

A、反证法是一种间接证明命题的方法

B、反证法是逻辑依据之一是排中律

C、反证法的逻辑依据之一是矛盾律

D、反证法就是证明一个命题的逆否命题

答案：D

解析：本题主要考查推理与证明。反证法是“间接证明法”一类，是从反方向证

明的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾。反证法就是从反论题

入手,把命题结论的否定当作条件，使之得到与条件相矛盾,肯定了命题的结论，

从而使命题获得了证明。由此可知，反证法的理论依据可概括成形式逻辑的两个

基本规律一矛盾律和排中律。故A、B、C三项正确。

若既约分数二是整系敖多项式/(工)的根，贝吓面结论另昨正确(

S

A.s+

B.s+rl/(l),$+"(-l)

C.s+r|/(-l),s-r|/(l)

17D.s++

AxA

B、B

C、C

D、D

答案：C

光滑座数/(，)图像就下图所示，以下关系式正确的是()・

18.

A0<f(2)<r(3)</(3)-/(2)

[B)o</*(3)<-/(2|<

1C；0</*(3)<r(2)</(3)-/(2)

D0<f(：l)-/(2»<y<2|</<(3|

A、A

B、B

c、c

D、D

答案：B

解析：

本飘主要考查导致与函数单调性的关系.另外还考查读图能力，从图中获取信息的能力.对于近择期，还可

以选择特值法.

rm为的线斜至，由图可以看出/"）的斜至逐渐减小，所以八用<r（2）,所以A项、D项错误.

，（3）-/门可以看成/«）在2与口祸垄,所以八同〈/（引一,2）</*（2）

所以B项正鹏.

Anf>«*

Bx*><•

C"%”"htf/ytl

Dhff2>Wkt!

当。>1,0<工<〃<1,则下列关系式正确的是（）.

19.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析：本题是基础题，根据指数函数、鬲函数的性质，对数函数的性质，即可得

出正确结论。注意函数的单调性，是解题的关键。对于选择题，还可以选择特值

法。

AI5：因为a>1.0<x<r<1.所以.“=/诺道.错误.

B项:因为“>1,0<工<。<I,所以.v=J'递增，错误.

C项：因为<0.I”<0,底数大于零小于T1.真数相司，底数不同，底数越小，对数越大,所以向”>a

,正逢.

D项：因为。>1,0<x<><1,所以,y=向j递增，错误。

故正谛答案为C.

法2:特值法，令“■2,/二：,y=；.则

A项：蚯<0，错民

B项:（卜<1；尸，错误.

6：，叫2>log^2,正确.

D项：，峭4<^2，错误.

20下列内容属于高中数学必修课程内容的是（）。

A、风险与决策

B、平面向量

C、数列与差分

D、矩阵与变换

答案：B

解析：本题主要考查普通高中课程标准的内容。平面向量是高中数学必修课程主

题三”几何与代数”中的内容；风险与决策、数列与差分和矩阵与变换都为高中

数学选修课程。

21.与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（I-VI卷）的我国数学家是（）。

A、徐光启

B、刘徽

C、祖冲之

D、杨辉

答案：A

解析：本题主要考查数理知识。A项：《几何原本》是意大利传教士利玛窦和徐

光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译

所得，定名为《几何原本》。B项:刘徽是我国古典数学理论的奠基人之一，代

表作品有《九章算术注》和《海岛算经》。C项:祖冲之是南北朝数学家，首次

将圆周率精确到小数点后第七位。D项:杨辉为南宋数学家和数学教育家，著有

数学著作《详解九章算法》《日用算法》《乘除通变本末》《田亩比类乘除捷法》

《续古摘奇算法》，后三本合称为《杨辉算法》。

已知（1+2i）z=3-i（i为虚数单位）,则复数2为（）

A.1-7i

17

D.-I

22.55

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

3・i(3・i)=(l・2i)l・7i1

解析：z二^^5二丁二F

23.

已知卿度量A•服从正态分布.V如，J）,设随机变量X_23-3,则，.服从的分布是（）。

2

A.V（2M3.la3）

B.V(2p3.

C).V3”

DN(2M3.Ur-9)

A、A

B、B

C、C

D、D

答案:B

解析：

本题考查随叽交量的期望和方差。当随机变量.V的期望为E.V=〃,方差为DX=，,随矶变量丁=a.V+b的期望为E

加工+S)=aEX+6,D(o.V+6)=aV.

设随叽变量，=廿一3的期望为EX=〃，贝!JE(2.V-3)=如一3:DX=D(2.V-3)=4M.

332

矩阵11-2的属于特征根4的特征向量是()。

-3-10

24.

Ac?-(a.a.-a),afeR

B7r—(2a,a,€R

C<?=(a.—a.a).afcR

D才=(-2。,一3%。),。£K

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：A

本题主要考查根据方阵的特征值求特征向量的方法。

因为特征矩阵A的一个特征值为4,所以(IE-A)•m-0

1-3-2U

010100

则有000I)

解析,即特征司量为N=(“.a.-a).

25.下列命题正确的是()。

A、若三阶行列式D=。，那么D中有两行元素相同

B、若三阶行列式D=O,那么D中有两行元素对应成比例

C、若三阶行列式口中有6个元素为零，则D=。

D、若三阶行列式D中有7个元素为零，则D=。

答案:D

解析：本题考查行列式的性质。若三阶行列式中D有7个元素为。，则它至少有

一行或一列的元素全为。，即D=O。

A

B

C

D

26.下列图形符号中表示算法程序“判断框”的是()。

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：本题主要考查算法与框图的基础知识。A项：代表终止框（起止框），A

项不正确，排除；B项：代表输入、输出框，B项不正确，排除；C项：代表处

理框（执行框），C项不正确，排除；D项：代表判断框，D项正确。

数列（5——--IMS—1.2,3…），则数列&）中的最4项为（）.

27.

A、第4项

B、第5项

C、第6项

D、第4项和第5项

答案：D

解析：

本期主要考查的是求数列的最大项最小项问我，它的主要彝决方法有；一利用性数图像，二利用函数的单调性.

因为”-断100二（n-）2-4,当。1时，数列｛““）单调递减；当”>5时,数列｛““｝单调递W所以,数

列｛“八）最小项为第4和5项。

28.为研究7至10岁少年儿童的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了

某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别

记为、1。、3（

A、（单位:cm）则

c。和3|

B、

C、的大小关系为（）。

Aa>3

Ba<3

Ca—3

D不能琬走

D、

答案:D

解析：

本题主要考查统计的基础知识。

根据统计原理,甲乙二人的统计数据相差不大，样本容量达到100后，三均数受样本容量大小影晌小,但是不一定完

同，所以两个样本均值即。和,3的大小关系无法确定。

29.

从集合｛123...,11）中任选两个元素作为间B方程三十£=1中的m和n,则能组成落在矩形区域

且用<9｝内的桶因个数为

A、43

B、72

C、86

D、90

答案：B

30.最早记载勾股定理的我国古代名著是（）。

A、《九章算术》

B、《孙子算经》

C、《周髀算经》

D、《缀术》

答案：C

31.

格函数>=而（A的的图象下向右平移个单位长度得崛象。若尸的一条对称轴是直线x=:则

8的一个可能取值是（）

B.一工；r

A、A

B、B

CKC

D、D

答案：A

(3a-l)x4-4a,x<1

已知/住）是（f田）上的减函数，另必“的取值范围是

、3户

A.(0,1)

B.(0.1)

C.[1.1)

A、A

B、B

C、C

DvD

答案：D

A21“34-*3

B+必+£；+2X1

c2z]3]”3+式+1

D3r；+2x2J,3--1X1X3

33.以下多项式是二次型。.

A、A

B、B

C、C

DxD

答案：D

解析：本题主要考查二次型的相关内容。二次型是指含有n个变量的二次齐次函

数。四个选项中只有D项为二次齐次的，其他均含有常数项或一次项。

34.

不等式的解集是{X[z>3处<-2},则二^函数产2?+”的表达式是（）

A•>-br+2»*l2

B.}=2x:-2x+12

C.><=2x:*2x-12*

D•>fi=2r-2x-12

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

35.

如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点S

另一点；若停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次可以跳两个点，

蛙从5这点四掴，跳2008次后它将停在的点是()

B、2

C、3

D、4

答案：A

36.

已知集合A={xx2-3x-4<0},B={x|0WxW5},则AUB二

A、[0,4)

B、[0,4]

Cv[-1,5]

D、(-1,5]

答案：D

解析：VA={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},B={x|0^x^5},AAUB={x|-1

<x<4)U{x|0WxW5}二(-1,5].

37.命题P的逆命题和命题P的否命题的关系是。

Av同真同假

B、同真不同假

C、同假不同真

D、不确定

答案：A

解析：本题主要考查命题的知识。命题P的逆命题和命题P的否命题互为逆否命

题，而互为逆否命题的两个命题同真同假。A项正确。。B、C、D三项：均为干

扰项，与题干不符，排除。

38.

5.r=2+3(.

jy=-IT.(FWR)

已知直线L的参数方程是12=3+2/平面口的方程为2T+珈+z+3=0,则直经

置关系是()°

A、平行

B、直线在平面内

C、垂直

D、相交但不垂直

答案：A

解析：

本题考查空间直线与平面的位置关系的判定.

r—2“+1r—3

直设L的标准方程为一十=二~2~，方向向量痔,平面口的法向量"=(2,8,1),可得方J

点(2,-1,3)不在平面II内，故直浅L与平面H平行.

39.《普通高中数学课程标准:实验)》提出五种基本能力，没有包含在其中的是

A、推理论证能力

B、运算求解能力

C、数据处理能力

D、几何作图能力

答案：D

解析：五种基本能力为空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理。

40.一布袋中有红球8个，白球5个和黑球12个，它们除颜色外没有其他区别，

81

A.—B

255

1213

C.一D.—

2525

随机地从袋中取出1球不是黑球的概率为。

A、A

B、B

CvC

D、D

答案：D

41.某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的

方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别是

()

A、28、27、26

B、28、26、24

C、26、27、28

D、27、26、25

答案：A

解析：

根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为诉熹诉

560+540+52020

则在高一年级抽取的人数是560X焉=28人，，

乙x/

高二年级抽取的人数是540义焉=27人，“

高三年级抽取的人数是520义焉=26人，〃

乙V

故选，A.一

42.

把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两例，第三个括号三个数，第四个括号一

数，…，依次循环的规律分为

(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19f

23),(25)，…，则第50个括号内各数之和为()

A、98

B、197

C、390

D、392

答案：D

43.

・r设S为离散型随机变量，取值{力皿,…，.…，。"两两不同)，已知事件代

n

(£&=1,0w&w1),记£的数学期望为E,则弋的方差是()。

k=l

n

2

A£((小E)pk}

Jt=l

2

B£厢E)Pk

1t=l

n

CEg

k=l

_n

2

DE)pk)

t=i

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

本题考查淘散型随机变量的期望与方差。

nw

2

的+二由已知，得E(W)=七，所以方差。⑹-上丽E)Pk

解析：

44.数学的三个基本思想不包括。。

A、建模

B、抽象

G猜想

D、推理

答案：C

解析：数学的三个基本思想：抽象、推理、建模。人们通过抽象，从客观世界中

得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过推理，进一步得到更多的结论,

促进数学内部的发展；通过数学建模把数学应用到客观世界去，就产生了巨大的

效益，反过来又促进了数学学科的发展。

45.《义务教育数学课程标准（2011年版）》从四个方面阐述了课程目标，这四

个目标是（）o

A、知识技能、数学思考、问题解决、情感态度

B、基础知识、基本技能、问题解决、情感态度

C、基础知识、基本技能、数学思考、情感态度

D、知识技能、问题解决、数学创新、情感态度

答案：A

解析：本题主要考查课标的相关知识。《义务教育数学课程标准（2011年版）》

指出，义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思

考、问题解决和情感态度等四个方面加以阐述。A项正确。B、C、D三项：均为

干扰项。与题干不符，排除。

与向量/=（2,3,1）平行的平面是（）.

46.

A、x-2y+z=1

B、2x+y+3z=3

C、2x+3y+z=3

D、x-y+z=3

答案：D

解析：本题主要考查空间解析几何中平面的法向量的相关知识。平面的法向量是

垂直于平面的非零向量。在直角坐标系中，平面Ax+By+Cz+D=0（A,B,C不同时

为零）的一个法向量为"7八团。.本题是求向量/一".3.1平行的平面，则向

量,72・3.1与该平面的法向量垂直，即点乘为0。D项正确。A项：对应的平面

的法向量为（1,-2,1）,则2X1+3X（-2）+1X1=3。与题干不符，排除。B

项：对应的平面的法向量为（2,1,3）,则2X2+3X1+1X3=10。与题干不符,

排除。C项：对应的平面的法向量为（2,3,1）,则2*2+3X3+1X1=14；与题

干不符，排除。

设函数/"）=加（2I产岫,则/'（『）的零点个数为（）.

Jo

47.

A、0

B、1

C、2

D、3

答案：B

解析：本题主要考查定积分的应用。求函数零点的方法：令原函数的导函数等于

零求出驻点，判断原函数与坐标横轴的交点，由题可知，

r⑺,则/⑷一加a♦力»2工？>°恒成立，所以川”在定义域内单调递增，所以/'⑺的零点

48.设f（x）=acosx+bsinx是R到R的函数，V={f（x）|f（x）=acosx+bsinx,

a,b£R}是线形空间，则V的维数是（）。

A、1

B、2

C、3

D、8

答案：B

解析：本题主要考查线性代数的知识。由题意知，线性空间V中的每一个元素都

是cosx和sinx的线性组合。而cosx和sinx是线性无关（如果存在实数m,n,

使得mcosx+nsins）=0对任意x£R都成立，则m=n=0）。因此cosx和sinx是

线性空间V的一组基，所以V的维数是2。B项正确。A、C、D三项：均为干扰

项，与题干不符，排除。

sin(9X2-16

计算lim—-----------=(

X、3x-4

49.

A、6

B、7

C、8

D、9

答案：C

令3x-4=f,则（9x?-16）=（3x+4）（3x-4）=r«+8）

于是，原式可转化为，

sin（9X2-16）.snr（t+8）

lim-------------=lim----------

x-43x-4t~

3

=lim（2r+8）cosr（r+8）=8…

解析：小）x'

50.教师要积极利用各种教学资源，创造性地使用教材，学会（）。

A、教教材

B、用教材教

C、不确定

答案：B

解析：##

51.边长为4的正方体木块，各面均涂成红色，将其锯成64个边长为1的小正方

体，并将它们搅匀混在一起，随机取出一个小正方体，恰有两面为红色的概率是

A

8

B

8

9

C

3

D正

0O

A、A

B、B

CvC

D、D

答案：A

解析：本题主要考查概率的计算及空间想象能力。根据题意，是将大正方体分成

四层，每层16个小正方体，两个面都为红色的处于上（除过顶点处），每条棱

有2个，12条棱共有24个符合条件的小正方体，因此取到面为红色的小正方体

的概率为

cos9—sin0

siu"con8

52.下面4个矩阵中，不是正交矩阵的是（）.

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

解析:

主题土要考查的是正父矩阵的定义及具判定力法.

正交矩阵的判定方法：1、定义：-1是一个“阶方阵，H是.1的转置，如果有.1M-L（单位阵）,即A^A我

.1是正交矩阵.2、正交矩阵每一行（列）n个元的平方和等于1,两个不同行（列）的对应元乘积之和等于0.E

断，A、B、C三项正确.

1-lip1_2O"

选项C:11-11=02结果不是单位矩阵，错误。

012

矩阵301的秩为（）o

-120

53.

A、0

B、1

C、2

D、3

答案：D

解析：

本题考查的是矩法的秩的求法，对于矩除的秩有3种求法：

1.利用初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变?

秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩；

2.计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶菱

阵的秩（很少用）：

3.如果是低阶方阵可以求出对应行列式的值,如果行列式不为零，那么矩阵是满秩。采用第一种方法，利用初等至

0120120110

301Z06\〜001

阵化为阶梯型矩陡，由此得到下面的式子：-120120-100,观察可以发现矩年

«lI«12<*13

"21023

行数为3行，所以矩阵的秩为3.采用第三种方法，本题中矩阵的行列式为3阶行列式，根免公式：，必“32曲*

。11。22。33+212a23a31+3a21。32一。13a22a31一。12a21a33一<*11。23a32本题中矩阵的仃列式为0-1+12-11/。r可;

满秩，即矩阵的秩为3.

n

B»f(x)=£(-1)-'/9n.M21,则f(i)=().

”=ii-

54.

A、-1

B、0

C、1

D、n

答案：B

解析：

-3-5-2tn-1f7M(U2mtl

(-1)

本塞主要考查泰勒公式的相关知识."“上一/一1+而一…十存=m+(一)(2m+l)!

8户吁I81

、、_______、、(_］)•一I'2H-1

二白⑵…沙，所以的0=W(2w-D!=sinnx,f(l)=sinn=0.B项正确.

A、C、D三项：均为干扰项.与题干不符,琲除.

//(加=0,且/(x)在［明，上隹旗，则在［«3］上().

Ja

55.

A/U)-o

B必存在r使/(z)=0

(C)存在唯一的r■使/3=0

D不一定存在.r使/U)=0

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析：本题主要考查定积分的应用。

则［：/*）公=41一4+4

设/⑺在区间I*，，上连续,定积分（/m"的几何意义是介于，轴.函数"I的图像以及直线

，一”.，一。之间各部分面积的代数租."七I:表示上图中阴影部分的面积，因为L/3'心一0,所以

I-I.-L.此时存在两个点八」.满足/"♦二.3二。，则至少存在T.r■使得/"）=（）.

56.下列函数不属于初中数学课程内容的是。。

A、一次函数

B、二次函数

0\指数函数

D、反比例函数

答案：C

解析：本题主要考查义务教育阶段课程标准的内容。一次函数、二次函数和反比

例函数是初中数学的内容。指数函数是高中数学必修1的内容。

57.

函整型」｛/“(©｝与函数都是在闭区间四目上有定义，则在上，(/£/))一致收敛于/")的充

().

A3r>0,<h.«»].1正整数N,使得当”>、.时，有|/，G)r(/)|<r

B3r>0,Vzo€[<i,fc],3IE^N,使得当，，>.V时,有|/“(0-/(r)|<e

cm正整数N,Vf>o.，w,使得兰〃〉.v时，有|/«(八)/uo)l<•

DVr>0,UE^IN,使得当”v时，Yz€la.b],有|/,G)-〃/)|<r

AxA

B、B

C、C

D、D

答案：D

解析：本题主要考察函数的性质。本题根据函数的一致收敛定义即可知道结果,

考杳一致收敛的概念。

若a>0,b>0M+b=2,则科①ab<l；②邪&&；③a:-d3>2；

“0J+b、3；OLI",对一切满足条件的。石恒成立的所有正确命题是()

58.ab

A、①②③

B、①③⑤

C、①②④

D、③④⑤

答案：B

函数/（X）=sinx-cosx的最大值为（）

A.1

B.五

c.G

59.D.2

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

已知数列q,为等比数列，且嗫+限=晨43小,

则4）14（马012+2%<+4（）16）的值为---------。♦

60.

,

71’

A"2"

n

B3

D.7r

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：D

由积分的几何意义可得积分£-一-女表示圆x2+/=4,

在第一象限的图形的面积，即四分之一圆的面积，一

故可得叼013+a2O15=(X2dx=—X7TX22=7T°

Jo4

所以一

叫(7012+2*+02016)=*2+2020M2+.心

痴匚=。2013+2a2013a2015+a2015=(^2013+^15)=冗

解析：

当xw[oR时,宙数/3=++4(。-1)工-3在"2时取得最大值，则a的取值厄围是

Ar1、

B.[0,-MD)

C.[1,+®)

D.[p4CD)

61.

AxA

B、B

C、C

D、D

答案：D

62.

P-11\

若矩阵A=z4/y有三个线性无关的特征向量，A=2是A的二重特征根，则（）°

y-3—35J

A、x=-2,y=2

B、x=1,y=-1

C\x—2,y-—2

Dxx=-1,y=1

答案：C

解析：

r本题主要考查矩除的相似对角化的相关知识.由题急知，走阵A可以同以对角化，且入=2对应两个线性无关的

r1-1）p1

|一1-2—J/I-»I2

量，所以（2E-A）x=0有两个线性无关的解，即有3-r（2E-A）=2。2E-A=\33-3/\00

11-1

使r（2E-A）=1,则有7=2=V-可得x=2,y=-2.C项正确.

A、B、D三项：均为干扰项.与题干不符，排除.

63.在集合、三角函数、导数及其应用、平面向量和空间向量五个内容中，属于

高中数学必须的课程内容的有。。

Av1个

B、2个

C、3个

D、4个

答案：C

解析：本题考查高中知识必修系列课程内容。集合、三角函数和平面向量是必修

系列中的内容，是高中课程必须的课程内容，而导数及其应用和空间向量是选修

的内容。因此是3方面。

64.某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴。洗

浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟的匀加速度自动注水。

当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为6

5升，则该热水器一次至多可供

A、3人洗浴

B、4人洗浴

C、5人洗浴

D、6人洗浴

答案：B

65.

若矩阵（:J与（::，的秩均为2,贝（I线性方程组｛鲁髯二,，解的个数是（）.

A、0

B、1

C、2

D、无穷多个

答案：B

解析：

本题主要考查送性方程组解的结构.n寿E齐次线性方程组Ax=b,(1)无解的充分必要条件是r(A)<r(A,b);

唯一解的充分必要条件是r(A)=r(A,b)=n;(3)有无穷多解的充分必要条件

”+如="(ah\(abA

是r(A)=r(A,b)<n0本题中，线性方程组(a+曲=r，的系数矩阵〃与塔广矩阵dt)的秩均为2

于未知量的个数，所以此非弁次线性方程组有唯一解。

已知数列｛%｝与数列也,｝,n=1,2.3...,则下列结论不正确的是()。

66.

@若对任意的正整数〃，修/饵，觇*二明胆如=心且心I),则av。

若ab=b,且,则对任意的正整数”，a<b

B“lTim8n"T=OOo,lim„av6nn

©若觇厮^且存名E=.v,使得ev,3%,则aAb

D若对于任意的正整数n,有5%,胆心=3.儿3且QO，则。>。

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：B

解析:

本题主要考查数列极限的基址知识.

A项：艰据L攵敛数据的保号性，存在任意的正整数M，有%W4，J典「叱出二°,则a<u,A项正确，

{0.n=1

2.n>2,若”比。“=。，翘耳,=b,满足“<6,但不是对任意正整数“，都爷

Un<九，比如"1一bl,所以B项不正确.

C项：根据收敛数据的保号性，若/里0an=a，屈2%="且存在正整数N,使得。,N,aw2%，则la>b

确,排除.

D项：根据收敛数据的保号性，存在任意的正整数n,^an>bn,Jhn=。，）如M。，则。>（）rD项正琬，

67.

当XTO时，与无穷小量/+/鬲―1同阶的无穷小蚩是（

cd

A、A

B、B

C、C

D、D

答案：C

-----3x^+广

「x3+vx+l-12JY+1

A选项>lim--------s-------=lim---------y-----=8,.

XT)/XT)3x2

所以X34-4+1-1是X3的低阶无穷小。一

B选项，产所河=8一

x-x)<x^o2x

所以/+Jx+1-1是X2的低阶无穷小。V

___3x2+」

…A3+Vx+l-l2/+11

c选项，lim---------------=hm---------±----=一,，

20£XTO1