2024-2025学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.22.2.1第1课时不等式及其性质学案新人教B版必修第一册

PAGE2.2不等式2.2.1第1课时不等式及其性质学习任务核心素养1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(一般)2．会用比较法比较两实数的大小．(重点)3．驾驭不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.1．借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养．2.通过大小比较，培育逻辑推理素养.清丽、美丽的芭蕾舞剧《睡美人》序曲奏响了，一名女演员双手摩挲着舞裙，眼里闪耀着倔强和自信的目光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋转，轻快地提着舞裙，飘然来到台上，在追光灯下飘起舞裙，那飘洒翩跹的舞姿，把整个舞台化成一片梦境……她为什么要踮起脚尖呢？因为一般的人，下半身长x与全身长y的比值eq\f(x,y)在0.57～0.6之间．设人的脚尖立起提高了m，则下半身长与全身长度的比由eq\f(x,y)变成了eq\f(x＋m,y＋m)，这个比值特别接近黄金分割值0.618.这便是不等式在实际生活中的应用，不等式还有哪些重要的性质呢？学问点一不等关系与不等式1．不等式的定义我们用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．2．比较两个实数(代数式)的大小作差法的理论依据：a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＞0⇔a＞b.1．(1)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，则t和s的大小关系是()A．t＞sB．t≥sC．t＜sD．t≤s(2)设a，b＞0，P＝eq\r(a)＋eq\r(b)，Q＝eq\r(a＋b)，则P与Q的大小关系是()A．P≥QB．P≤QC．P＞QD．P＜Q(1)D(2)C[(1)∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s.(2)P2＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，Q2＝(eq\r(a＋b))2＝a＋b.∵a，b＞0，∴P2＞Q2.∴P＞Q.]学问点二不等式的性质1．不等式的性质(1)性质1(可加性)：a＞b⇒a＋c＞b＋c.(2)性质2(可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞0))⇒ac＞bc.(3)性质3(可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＜0))⇒ac＜bc.(4)性质4(传递法)：a＞b，b＞c⇒a＞c.(5)性质5(对称性)：a＞b⇔b＜a.2．不等式性质的推论(1)推论1(移项法则)：a＋b＞c⇒a＞c－b.(2)推论2(同向可加性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞d))⇒a＋c＞b＋d.(3)推论3(同向同正可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0，,c＞d＞0))⇒ac＞bd.(4)推论4(正数乘方性)：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1)．(5)推论5(正数开方性)：a＞b＞0⇒eq\r(a)＞eq\r(b).利用不等式性质应留意哪些问题？[提示]在运用不等式时，肯定要弄清不等式(组)成立的前提条件．不行强化或弱化成立的条件．如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都须要留意．2.已知a≥b，可以推出()A．eq\f(1,a)≥eq\f(1,b) B．ac2≥bc2C．eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2) D．(ac)2≥(bc)2B[∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.]3.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a＞b，c＜d，则a－c＞b－d. ()(2)若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b). ()(3)若a＞b＞0，c＞d＞0，则eq\f(a,d)＞eq\f(b,c). ()(4)已知a＞b，e＞f，c＞0，则f－ac＜e－bc. ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√[提示](1)因为c＜d，所以－c＞－d，又a＞b.所以a－c＞b－d.(2)因为a＞b，若a＞0，b＜0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)错误．(3)因为c＞d＞0，所以eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0，又因为a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c).(4)因为a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故－ac＜－bc，又因为e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.类型1比较两数(式)的大小【例1】(对接教材P60例1)已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，∴当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．作差法比较两个实数(代数式)大小的基本步骤类型2利用不等式性质推断命题真假【例2】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0[思路点拨]本题可以利用不等式的性质干脆推断命题的真假，也可以采纳特别值法推断．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)⇒eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B为假命题；a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－eq\f(1,b)＞－eq\f(1,a)＞0⇒eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b⇒b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))⇒ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．法二：特别值解除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；取a＝2，b＝1，则eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1．有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B错；取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C错．故选D．]运用不等式的性质推断命题真假的技巧(1)运用不等式的性质推断时，要留意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能随意捏造性质．(2)解有关不等式选择题时，也可采纳特别值法进行解除，留意取值肯定要遵循如下原则：一是满意题设条件；二是取值要简洁，便于验证计算．eq\o([跟进训练])1．下列命题正确的是()A．若a2＞b2，则a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，则a＜bD[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故选D．]2．若a，b∈R，则使a＜b与eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)同时成立的条件是________．a＜b＜0或0＜a＜b[由eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)得eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＞0，即eq\f(b－a,ab)＞0①，又a＜b，故b－a＞0②，由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a＞0，,ab＞0，))所以a＜b＜0或0＜a＜b.]类型3不等式性质的应用1．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？[提示]不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不行随意“创建”性质．2．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.这怎么与－2<a＋b<2冲突了呢？[提示]利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要留意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次运用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．[思路点拨]依据不等式的性质，找到－b与eq\f(1,b)的范围，进而求出a－b与eq\f(a,b)的取值范围．[解]因为1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2，所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因为eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.求含字母的数或式子的取值范围时，一要留意题设中的条件，二要正确运用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不行减，可乘不行除.eq\o([跟进训练])3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．[解]∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，两式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).又∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又知α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0.故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.1．设M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(aA．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤NC[N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)22．假如a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a＋d＞b＋c D．ac＞bdC[由已知及不等式的性质可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正确；由c＞d＞0，得eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)，－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)，即B正确；明显D正确，因此不正确的选项是C．]3．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1A[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1．∴－2＜α－β＜2，但α＜β，故知－2＜α－β＜0.故选A．]4．(多选题)已知a，b，c为非零实数，且a－b≥0，则下列结论正确的有()A．a＋c≥b＋c B．－a≤－bC．a2≥b2 D．eq\f(1,ab2)≥eq\f(1,ba2)ABD[因为a－b≥0，所以a≥b.依据不等式的性质可知A，B正确；因为a，b的符号不确定，所以C不正确；eq\f(1,ab2)－eq\f(1,ba2)＝eq\f(a－b,a2b2)≥0.可得eq\f(1,ab2)≥eq\f(1,ba2)，所以D正确．]5．已知60＜x＜84,28＜y＜33，则x－y的取值范围是________，eq\f(x,y)的取值范围是________．(27,56)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,11)，3))[由28＜y＜33得－33＜－y＜－28，eq\f(1,33)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,28)，则60－33＜x－y＜84－28，即27＜x－y＜56，则eq\f(60,33)＜eq\f(x,y)＜eq\f(84,28)，即eq\f(20,11)＜eq\f(x,y)＜3.]回顾本节学问，自我完成下列问题：1．作差比较法的四个步骤是什么？[提示](1)作差：对要比较大小的两个式子作差．(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方、有理化等方法进行变形．(3)推断符号：对变形后的结果结合题设条件推断出差的符号．(4)作出结论．上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“推断符号”是目的，“变形”是关键．2．利用不等式的性质推断正误有哪2种方法？[提示](1)干脆法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．(2)特别值法：留意取值肯定要遵循三个原则：一是满意题设条件；二是取值要简洁，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．实际问题中的不等关系糖水跟煲汤一样，具有滋补养生的功效．可以作为糖水的材料有许多，不同的材料具有不同的功效，有的具有凉爽性，有的具有燥热性．依据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果．专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠．在烦躁而不简洁入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出怎样的不等关系呢？(1)假如向一杯糖水里加糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水肯定比淡的浓、比浓的淡；(3)假如向一杯糖水里加水，糖水变淡了．[提示](1)设糖水b克，含糖a克，糖水浓度为eq\f(a,b)，加入m克糖，即证明不等式eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)(其中a，b，m为正实数，且b＞a)成立．不妨用作差比较法，证明如下：eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ba＋m－ab＋m,bb＋m)＝eq\f(mb－a,bb＋m).∵a，b，m为正实数，且a＜b，∴b＋m＞0，b－a＞0，∴eq\f(mb－a,bb＋m)＞0，即eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).(2)设原糖水b克，含糖a克，糖水浓度为eq\f(a,b)；另一份糖水d克，含糖c克，糖水浓度为eq\f(c,d)，且eq\f(a,b)＜eq\f(c,d)，求证：eq\f(a,b)＜eq\f(a＋c,b＋d)＜eq\f(c,d)(其中b＞a＞0，d＞c＞0)．证明：∵eq\f(a,b)＜eq\f(c,d)，且b＞a＞0，d＞c＞0，∴ad＜bc，即bc－ad＞0，eq\f(a,b)－e