全国统考版2025届高考数学二轮复习专题六平面向量梳理纠错预测学案文含解析VIP

PAGE平面对量专题专题6××平面对量命题趋势命题趋势平面对量的命题以客观题为主，以熟知的平面图形为背景，考查平面对量的基本定理及基本运算，另外向量作为工具进行考查，三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题的形式出现．考点清单考点清单一、平面对量及其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)一般用有向线段来表示向量零向量长度为的向量记作，其方向是随意的单位向量长度等于个单位的向量非零向量的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量的相反向量为2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则（1）交换律：；（2）结合律：减法若，则向量x叫做与的差，求两个向量差的运算，叫做向量的减法三角形法则数乘实数λ与向量相乘，叫做向量的数乘（1）；（2）当λ>0时，的方向与的方向相同；当λ<0时，的方向与的方向相反；当λ=0时，；；3．共线向量定理向量与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得．二、平面对量基本定理和平面对量的坐标表示1．平面对量基本定理假如，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使．其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内全部向量的一组基底．2．平面对量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设，，则，，，．3．平面对量共线的坐标表示设，，其中．．三、平面对量的数量积1．定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos记作a⋅规定：零向量与任一向量的数量积为0．2．投影：|a|cos<a3．数量积的坐标运算：设向量，，则（1）a（2）a（3）精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．已知向量a=(m，-1)，，且|aA． B．1 C．4 D．7【答案】C【解析】因为|a|=1，所以m=0，所以a⋅b【点评】本题考点为向量的模长，以及向量的坐标运算，属于基础题．2．已知单位向量a，b满意a⋅b=0A． B． C． D．【答案】B【解析】因为a，b是单位向量，所以因为c=7a所以，所以，故选B．【点评】本题主要考查了向量数量积的定义及性质，考查了转化思想，属于基础题．3．已知双曲线(a>0，b>0)的左､右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C的渐近线在第四象限交点为P，A． B． C． D．【答案】A【解析】F1(-c，由，由a2+b2=c2，设，由2F1Q=得，，因为Q在双曲线上，∴，(1-2e)2解得或（舍去），故选A．【点评】解题关键是找到关于a，b，c的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得4．设a，b为单位向量，且a-A．3 B．7 C．3 D．7【答案】B【解析】因为a，b为单位向量，且a-所以a2-2a所以a+2b=a【点评】本题考查平面对量的数量积的求法与应用，是基本学问的考查．5．若向量a，b满意a=2，a+2bA．1 B． C． D．【答案】B【解析】设a，b的夹角为则a+2则，即b在a方向上的投影为，故选B．【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量投影的计算公式，考查了计算实力，属于基础题．6．如图所示的△ABC中，点D是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DE=A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，故选B．【点评】本题考查了向量的加法法则以及向量的数乘运算，属于基础题．高频易错题高频易错题一、选择题．1．已知平面上三点A，B，C满意A．48 B．-48 C．100 D．-100【答案】D【解析】AB=6，AC=8故ΔABC为直角三角形，且，AB⋅AC=0AB⋅=BC故选D．【点评】本题主要考查了向量的运算，解题关键是驾驭向量的基础学问，考查了分析实力和计算实力，属于基础题．二、填空题．2．已知，，，的夹角为，当向量与的夹角为锐角时，求实数的取值范围．【答案】【解析】，因为向量与的夹角为锐角，所以，由，得，当向量与方向相同时，，即当时，虽然，但向量与夹角为，所以的取值范围是．【点评】本题考查了平面对量的数量积的运算，考查数量积与夹角的关系，考查计算实力，是中档题．精准精准预料题一、选择题．1．如图，已知ΔABC与ΔAMN有一个公共顶点A，且MN与BC的交点O平分BC，若，，则的最小值为（）A．4 B． C． D．6【答案】C【解析】，又AB=mAM，又M，O，N三点共线，，即得m+n=2，易知m>0当且仅当，即时，取等号，故选C．【点评】本题主要考查平面对量基本定理的应用以及利用基本不等式求最值，属于难题．利用基本不等式求最值时，肯定要正确理解和驾驭“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要推断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最终肯定要验证等号能否成立（主要留意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）．2．若向量，BC=3，1A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，BC=3所以，BA=1，BC=2则，，所以，故选A．【点评】本题考查了三角形面积的求法，考查向量的数量积公式、向量的夹角公式、三角形面积公式、平面对量的坐标运算，向量数量积公式等基础学问，考查运算求解实力，考查函数与方程的思想，是基础题．3．在平行四边形ABCD中，CD=7ED，且BE=λA．-5 B．-6 C．5 D．6【答案】A【解析】因为CD=7ED，所以则BE=BC+CE=AD【点评】解答本题的关键是依据图形特点以及点的位置利用AD、DE表示出BE，从而完成求解．4．已知抛物线x2=4y的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，．若PB⊥AB则AF=A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，F0，1，设，则，，因为PB⊥AB，且A，B，F三点共线，则由，可得，所以，即，解得或（舍去），所以．设直线AB的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立，得，消去y，得x2-4kx-4=0，则x1x则．所以，故选D．【点评】解题关键是求出x1的值，本题中设直线方程并代入抛物线方程，整理后应用韦达定理求出x并结合向量，列出等式确定x2．二、填空题．5．已知向量a=(1，-2)，b=4，若a与a-b垂直，则【答案】【解析】∵a⋅(a-又b=4，∴a在b方向上的投影为，故答案为．【点评】本题主要考查向量垂直，以及向量投影的计算，属于基础题型．6．已知a=-1，3，b=1，t，若【答案】【解析】依题可得a-2∵a-2b⊥a即b=，又a与b的夹角的范围是0，π，则a与b的夹角为，故答案为．【点评】本题考查了平面对量的坐标运算与数量积公式应用问题，也考查了夹角的计算问题，是基础题型．7．已知实数x1、x2、y1、y2满意：x12+y12【答案】【解析】设Ax1，y1，Bx2，y由x12+y1可得A，B两点在圆x2+y即有，即三角形为等边三角形，，的几何意义为点A，B两点